1、题型题型2 圆的证明与计算圆的证明与计算 考查类型考查类型 年份年份 考查形式考查形式 题型题型 分值分值 与圆的性质 有关的证明 与计算 2015 以圆内接四边形为背景，判断三角形的形状 ，结合全等三角形探究线段间关系，通过图 形分割探究四边形最大面积 解答 10分 与圆的切线 有关的证明 与计算 2018 已知圆的切线，根据圆的性质证明两线垂直 ，并求出线段长度及弧长 解答 12分 2017 已知直角三角形和圆的组合图，判定圆的切 线，并求线段长 解答 8分 2016 以三角形的外接圆为背景，判定圆的切线， 并结合等腰三角形性质证线段相等，结合相 似三角形性质求线段长 解答 10分 201
2、4 已知圆的直径、弦及角平分线等条件，结合 勾股定理求线段长，并判定圆的切线 解答 10分 2013 已知圆的切线和平行四边形等条件，求线段 长并判定圆的切线 解答 8分 与扇形有关 的计算 2018 已知扇形的圆心角，求出扇形的半径，进而 求扇形的面积 选择 4分 类型类型与圆的性质有关的证明与计算与圆的性质有关的证明与计算 例例1 2018 深圳如图，在O中，BC2，ABAC，点D为 上的动点，且cosB . (1)求AB的长度； (2)求AD AE的值； (3)过点A作AHBD于H， 求证：BHCDDH. 10 10 规范解答：(1)如图，作AMBC于点M. ABAC，AMBC，BC2，
3、 BMCM BC1. 在RtAMB中，cosABC ，BM1， AB .(5分) 2 1 10 10 AB BM 10 (2)如图，连接DC. ABAC，ACBABC. 四边形ABCD内接于O， ADCABC180. ACEACB180，ADCACE. 又CAE为公共角，EACCAD. ， AD AEAC2( )210.(10分) AD AC AC AE 10 (3) 证明：如图，在BD上取一点N，使得BNCD. 在ABN和ACD中， ABN ACD(SAS)ANAD. 又AHBD，NHDH. 又BNCD，BHBNNHCDDH.(15分) 满分技法圆的性质综合运用题中，经常用到的重要性质 及技
4、法：运用圆是轴对称图形也是中心对称图形可以对 相关结论作合理的猜测；利用垂径定理，通过在由半弦、 半径、弦心距组成的直角三角形，运用勾股定理或锐角三 角函数进行计算；在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、 弦心距等量对等量关系，可以转化相等关系；由直径所 对的圆周角是直角构造直角三角形；相似三角形、锐角 三角函数、勾股定理是计算线段长度及其线段数量关系的 重要手段 【满分必练】【满分必练】 12018烟台如图，四边形ABCD内接于O，点I是 ABC的内心，AIC124，点E在AD的延长线上，则 CDE 的度数为( ) A56 B62 C68 D78 第1题图 22018 自贡 如图，若ABC内接于半
5、径为R的O，且 A60，连接OB，OC，则边BC的长为( ) A.R B. R C. R D. R 第2题图 2 3 2 2 3 C D 32018 扬州如图，已知O的半径为2，ABC内接于 O，ACB135，则AB_ 第3题图 42018 宜昌如图，在ABC中，ABAC， 以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E， 延长AE至点F，使EFAE，连接FB，FC. (1)求证：四边形ABFC是菱形； (2)若AD7，BE2，求半圆和菱形ABFC的 面积 解：解：(1)证明：AB是直径， AEB90， AEBC. ABAC， BECE. AEEF， 四边形ABFC是平行四边形 ACAB， 四边形
6、ABFC是菱形 (2)设CDx.连接BD，如图 AB是直径， ADBBDC90， AB2AD2CB2CD2， 即(7x)27242x2， 解得x1或8(舍去) AC8，BD S菱形ABFCAC BD8 . S半圆 428. 解：解：如图，延长AD，BC交于点E. 52018 无锡如图，四边形ABCD内接于圆 O，AB17，CD10，A90，cosB ，求AD的长 5 3 A90，ADCB180， DCB90.DCE180DCB 90.EEDC90. 又EB90，BEDC. 在RtECD中，cosBcosEDC . DE CD ， 在RtECD中，cosB ， BE AB . EA ADEADE
7、 类型类型与圆的位置关系有关的证明与计算与圆的位置关系有关的证明与计算 例例2 2018 黄冈如图，AD是O的直径，AB为O的弦， OPAD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C. (1)求证：CBPADB； (2)若OA2，AB1，求线段BP的长 规范解答：(1)证明：如图，连接OB. BC是O的切线 OBBC， OBC90，即OBDDBC90. AD为O的直径， ABD90， DBP90，即CBPDBC90， OBDCBP. OBOD， OBDADB， CBPADB.(5分) (2)OPAD，POA90， PA90，PD， AOPABD， ，即 ， BP7.(8分) AD
8、AP AB AO 4 1BP 1 2 满分技法与切线有关的证明与计算，最常用的辅助线是连 接经过切点的半径，利用直径构造直角三角形，利用圆周角 相等转移角的位置等运用三角形全等、三角形相似、勾股 定理、锐角三角函数等知识进行证明与计算 【满分必练】【满分必练】 62018 重庆如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长 线上，PD与O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长 线于点C，若O的半径为4，BC6，则PA的长为( ) A4 B C3 D2.5 第6题图 32 72018 宜宾在ABC中，若O为BC边的中点，则必有AB2 AC22AO22BO2成立依据以上结论，解决如下问题： 如图，
9、在矩形DEFG中，已知DE4，EF3，点P在以DE为 直径的半圆上运动，PF2PG2的最小值为( ) A. B. C34 D10 第7题图 10 2 19 A D 82018 湖州如图，已知ABC的内切圆O 与BC边相切于点D，连接OB，OD.若ABC 40，则BOD的度数是_ 70 92018 荆门如图，AB为O的直径，C为O上一点，经 过点C的切线交AB的延长线于点E，ADEC交EC的延长线于 点D，AD交O于点F，FMAB于点H，分别交O、AC于 点M，N，连接MB，BC. (1)求证：AC平分DAE； (2)若cosM ，BE1，求O的半径；求FN的长. 5 4 直线DE与O相切于点C
10、， OCDE. 又ADDE， OCAD.13. OAOC， 23.12. AC平分DAE. 解：解：(1)证明：连接OC，如图 连接BF，如图 (2)AB为直径，AFB90. DEAD，BFDE.OCBF. ，COEFAB. FABM，COEM. 设O的半径为r. 在RtOCE中，cosCOE ， 即 ，解得r4，即O的半径为4. 在RtAFB中，cosFAB ，AF8 . 在RtOCE中，OE5，OC4，CE3. ABFM， ，54. FBDE，5E4. 又12， AFNAEC. ，即 . FN . 类型类型与扇形面积有关的证明与计算与扇形面积有关的证明与计算 例例3 2018 河南如图，在
11、ABC中，ACB 90，ACBC2，将ABC绕AC的中点 D逆时针旋转90得到ABC，其中点B的运 动路径为 ，则图中阴影部分的面积为 _. 满分技法求与圆有关的阴影部分的面积时，常常是通过 把不规则图形的面积，用扇形的面积和三角形的面积的和 差来解决特别地，对于旋转图形，要利用旋转的性质， 确定旋转的中心(扇形的圆心)和旋转半径(相应的线段)的 位置的变化，常常运用三角形全等进行面积的割补 【满分必练满分必练】 A A 102018 包头如图，在ABC中，AB2，BC4，ABC 30，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图 中阴影部分的面积是( ) A2 B2 C4 D4 3 3
12、 6 6 第10题图 112018 济南如图1，一扇形纸片的圆心角为90，半径为 6.如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕 为CD，图中阴影为重叠部分，则阴影部分的面积为( ) A6 B6 C12 D. 2 39 39 2 39 4 9 第11题图 4 D 122018 广西如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点 为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三 角形，若AB2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积) 为( ) A B. C. D. 3 332 322 第12题图 132018 贵港如图，在RtABC中，ACB90，AB 4，BC2，将ABC绕点B顺时针方向旋转
13、到ABC 的位置，此时点A 恰好在CB的延长线上，则图中阴影部 分的面积为_.(结果保留) 第13题图 解：解：DE与O相切 理由：如图，连接OD. OBOD. ODBOBD. BD平分ABC， EBDOBD， ODBEBD， ODBE， ODEE180. DEBC，E90， ODE 90， DEOD， DE与O相切 142018 泰州如图，AB为O的直径，C为O上一点， ABC的平分线交O于点D，DEBC于点E. (1)试判断DE与O的位置关系，并说明理由 (2)过点D作DFAB于点F，若BE ，DF3，求图中 阴影部分的面积 33 解：解：BD平分ABC，DEBC，DFAB， DEDF3. BE ，tanDBE ， DBE30ABD， AOD2ABD60， OF ，OD2OF ， SODF S扇形ODA S阴影S扇形ODA SODF 2 . 检测学习成果，体验成功快乐！请用高分提升训练第215216页。祝你取得好成绩！
