1、一元二次方程定义与解法一元二次方程定义与解法直接开平方，配方法直接开平方，配方法教学目标1.理解一元二次方程的概念；会把一元二次方程化为一般形式；会找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。2.理解方程解（根）的概念。3.会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高分析问题的能力。新知探究方程 有什么特点？（）这些方程的两边都是整式（）方程中只含有一个未知数像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.562 xxx275x+350=0 x22x4=0 （3）未知数的最高次数是2.知识归纳一元二次方程的概念 像
2、这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。21109000 xx 是一元二次方程吗？新知探究一元二次方程的一般形式20axbx c 20axbx c 为什么要限制想一想 a x 2+b x+c=0(a 0)二次项系数一次项系数常数项只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。例1 用直接开平方法解方程(1)观察(x+3)2=5与这个方程有什么关系？x2+2nx+n2=8n2+n2，(x+n)2=9n2，（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（1）（2）【例1】解方程：x 2+6x+4=0（3）把长为1
3、的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(x-a)2=b(b0)类的一元二次方程。C(m1)x2(m1)2 D （m21)x2m20像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整x1=4，x2=-2.配方法解一元二次方程的步骤：C(m1)x2(m1)2 D （m21)x2m20 x275x+350=0 （）这些方程的两边都是整式(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。方程
4、（2a-4）x2-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？新知探究这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式200axbxca知识讲解例:将方程3x(x1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项3x23x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为8，常数项为10.解：去括号，得二次项、二次项系数、一次项、
5、一次项系数、常数项都是包括符号的 巩固练习05212 xx)(013422 yx)(032cbxax)(22)1()4(xxx0152aa)(1262)(m)(1)(6巩固练习2.将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。解：去括号，得3x2+3x-2x-2=8x-3移项，合并同类项得3x2-7x+1=0巩固练习3.方程（2a-4）x2-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？解：当a2时是一元二次方程；当a2，b0时是一元一次方程；巩固练习选择题1.方程（m1)x2mx1=0为关于x的
6、一元二次方程则m的值为（）A 任何实数 B m0 C m1 D m0 且m1 答案 C2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是()A ax2bxc0 B mx2xm20 C(m1)x2(m1)2 D （m21)x2m20答案 DC小结1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式 20axbx c 20axbxc 课堂检测1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：221 514 2 481xxx；25410.xx xx415 12一般式：二次项系数为，一次项系数4，常数项1.8
7、14 2 2x一般式：24810.x 二次项系数为4，一次项系数0，常数项81.课堂检测 25243xx 381234xxx一般式：二次项系数为4，一次项系数8，常数项25.248250.xx一般式：二次项系数为3，一次项系数7，常数项1.23710.xx 3 4225 432183x xxxx课堂检测2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；4x2=25（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；x(x2)=100.x22x100=0.（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，
8、等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；x1=(1x)2x23x1=0.教学目标 1.体会解一元二次方程的基本思想“降次”.2.根据平方根的意义会解一元二次方程.如果方程能化成x2=p或（mx+n）2=p的形式，那么可得x=p或mx+n=p.新知探究一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？106x2=1500由此可得x2=25根据平方根的意义，得：x1=5，x2=5可以验证，5和5是方程 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根
9、据一桶油漆可刷的面积，列出方程怎样解这个方程？新知探究 对照上面解方程的过程，你认为方程 应该怎样解呢?2215x215x 215,215xx 121515,22xx方程两边开平方得即分别解这两个一元一次方程得通过降次，把一元二次方程转化成两个一元一次方程(2x+1)2=-3无意义（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解直接开平方法的理论根据是(x-a)2=b(b0)类的一元二次方程。(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。又（x+2）2+（2y1）2的最小值是0，【例3】当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y24y+1取得最小值
10、，并求出最小值像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程x2+4x+4y24y+1的最小值为4对于x2+px，再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一次式的完全平方式.2、一元二次方程的一般形式直接开平方法的理论根据是又（x+2）2+（2y1）2的最小值是0，(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。解：当a2时是一元二次方程；C(m1)x2(m1)2 D （m21)x2m20
11、根据平方根的意义会解一元二次方程.像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。知识讲解例1 用直接开平方法解方程（1）（2）（3）29x 2910y 225 0 x x1=3，x2=-32x2=-5没有意义原方程无解新知探究例2 解下列方程（1）（2）2(1)2x2(1)40 x新知探究例3 解下列方程（1）（2）24410 xx 2(23)30 x(2x+1)2=-3无意义原方程无解1.直接开平方法的理论根据是平方根的定义平方根的定义 2.用直接开平方法可解形如x2=a(a0)或(x-a)2=b(b0)类的一元二次方程。3.方程
12、x2=a(a0)的解为：x=aab方程(x-a)2=b(b0)的解为：x=小结中的两类方程为什么要加条件：小结中的两类方程为什么要加条件：a0,0,b00呢？呢？议一议议一议(1)观察观察(x+3)2=5与这个方程有什么关系？与这个方程有什么关系？(2)你能将方程转化成你能将方程转化成(x+h)2=k(k 0)的形的形式吗式吗?如何解方程如何解方程:x2+6x+4=0？.2;2)()(222222babababaabab因式分解的完全平方公式因式分解的完全平方公式完全平方式完全平方式_)(_)(_)(_)(22222222_21)4(_5)3(_8)2(_2)1(yyyyxxxxyyxx）（2
13、5225）（412411242它们之间有什么关系它们之间有什么关系?14总结归律总结归律:对于对于x2+px，再添上一次项系数一半的平方，再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一次式的完全平方式就能配出一个含未知数的一次式的完全平方式.22_)(_xpxx22p2p体现了从特殊到一般的数学思想方法体现了从特殊到一般的数学思想方法新知探究【例1】解方程：x 2+6x+4=0 两边加 9，左边配成完全平方式 移项左边写成完全平方形式 降次解一次方程解:x2+6x+4=0 x2+6x=-4x2+6x+9=-4+953x，或53 x53x，531x532x（x+3）=52新知探究【例2】用
14、配方法解方程：3x2+8x-3=0解：两边除以3，得：移项，得：配方，得：开方，得：28103xx 2813xx 222844()1()333xx 4533x 121,33xx 分析：配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把二次项的系数化为1；（2）把常数项移到等号的右边；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方（4）用直接开平方法解这个方程.知识讲解【例3】当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y24y+1取得最小值，并求出最小值解：x2+4x+4y24y+1=x2+4x+4+4y24y+14=（x+2）2+（2y1）24，又（x+2）2+（2y1）2的最小值是0，x2+4x+4y24y+
15、1的最小值为4当x=2，y=时有最小值为412解析：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.1用配方法解一元二次方程x24x5时，此方程可变形为()A(x2)21 B(x2)21C(x2)29 D(x2)292下列配方有错误的是()Ax22x30化为(x1)24Bx26x80化为(x3)21Cx24x10化为(x2)25Dx22x1240化为(x1)2124D D 巩固练习巩固练习3一元二次方程 x22x10 的解是()Ax1x21Bx11 2，x21 2Cx11 2，x21 2Dx11 2，x21 24
16、解方程 3x29x10，两边都除以 3 得_配方后得_.5方程 3x24x20 配方后正确的是()A(3x2)26B3(x2)27C3(x6)27D3(x23)2103C D 21303xx2323()212x小结配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到方程右边；（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解【例1】解方程：x 2+6x+4=0一元二次方程定义与解法(1)观察(x+3)2=5与这个方程有什么关系？(
17、a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。C(m1)x2(m1)2 D （m21)x2m20Cx24x10化为(x2)25又（x+2）2+（2y1）2的最小值是0，如果方程能化成x2=p或（mx+n）2=p的形式，那么可得x=p或mx+n=p.（）方程中只含有一个未知数可以验证，5和5是方程 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dmx(x2)=100.方程（2a-4）x2-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：（2）一个矩形的长比宽多2，面积是1
18、00，求矩形的长x；x2+2nx+n2=8n2+n2，(x+n)2=9n2，像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；x2+2nx+n2=8n2+n2，(x+n)2=9n2，会把一元二次方程化为一般形式；（4）用直接开平方法解这个方程.课堂检测1对于任意实数 x，多项式 x24x5 的值一定是()A非负数B正数C负数D无法确定2方程 3x2 2x6，左边配方得到的方程是()A(x26)23718B(x26)23718C(x26)23518D(x26)261183已知方程 x26xq0 可以配方成(xp)27 的形式，那么 x26xq2 可以配
19、方成下列的()A(xp)25B(xp)29C(xp2)29D(xp2)25B B B 课堂检测3用配方法解一元二次方程x24x5 时，此方程可变形为()A(x2)21B(x2)21C(x2)29D(x2)294 用配方法解一元二次方程x252 5x 的两个根为()Ax11，x25Bx11，x2 5Cx1x2 5Dx1x2 5C D 课堂检测3.有n个方程：x2+2x-8=0；x2+22x-822=0；x2+2nx-8n2=0.小静同学解第1个方程x2+2x-8=0的步骤为：“x2+2x=8；x2+2x+1=8+1；(x+1)2=9；x+1=3；x=13；x1=4，x2=-2.”(1)小静的解法是从步骤_开始出现错误的；(2)用配方法解第n个方程x2+2nx-8n2=0.(用含n的式子表示方程的根)解：(2)x2+2nx-8n2=0，x2+2nx=8n2 x2+2nx+n2=8n2+n2，(x+n)2=9n2，x+n=3n，x=-n3n，x1=-4n，x2=2n.
