2020年北京市中考数学模拟试卷（12）.docx

1、 第 1 页（共 30 页） 2020 年北京市中考年北京市中考数学模拟试卷（数学模拟试卷（12） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分）截止到 2019 年 9 月 3 日，电影哪吒之魔童降世的累计票房达到了 47.24 亿， 47.24 亿用科学记数法表示为（ ） A47.24109 B4.724109 C4.724105 D472.4105 2 （2 分）实数 a，b，c，d 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） Aa4 Bbd0 Cb+c0 D|a|b| 3（2 分） 从三个不同方向看一个几何体， 得到

2、的平面图形如图所示， 则这个几何体是 （ ） A圆柱 B圆锥 C棱锥 D球 4 （2 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，ab，若245，则1 等于（ ） A125 B130 C135 D145 5 （2 分）如图，在四边形 ABCD 中，A+D，ABC 的平分线与BCD 的平分线交 于点 P，则P（ ） A90 1 2 B1 2 C90+ 1 2 D360 6 （2 分）已知 1 + 1 = 1 :，则 + 等于（ ） 第 2 页（共 30 页） A1 B1 C0 D2 7 （2 分）小强同学投掷 30 次实心球的成绩如表所示： 成绩（m） 11.8 11.9 12 12.1 12.2

3、 频数 1 6 9 10 4 由上表可知小强同学投掷 30 次实心球成绩的众数与中位数分别是（ ） A12m，11.9m B12m，12.1m C12.1m，11.9m D12.1m，12m 8 （2 分）如图，MN 是等边三角形 ABC 的一条对称轴，D 为 AC 的中点，点 P 是直线 MN 上的一个动点，当 PC+PD 最小时，PCD 的度数是（ ） A30 B15 C20 D35 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分） 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题： “今有勾五步，股十二步， 问勾中容方几何？”其意思为

4、： “今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直 角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案 是 步 10 （2 分）已知一次函数 ykx+b 的图象交 y 轴于负半轴，且 y 随 x 的增大而增大，请写出 符合上述条件的一个解析式： 11 （2 分） 如图是 44 的正方形网格， 每个小正方形的边长均为 1 且顶点称为格点， 点 A， B 均在格点上在网格中建立平面直角坐标系，且 A（1，1） ，B（1，2） 如果点 C 也 在此 44 的正方形网格的格点上，且ABC 是等腰三角形，那么当ABC 的面积最大 第 3 页（共 30 页） 时，点

5、 C 的坐标为 12 （2 分） 二次函数 = ( 1 )( 6) （其中 m0） ， 下列命题： 该函数图象过 （6， 0） ；该函数图象顶点在第三象限；当 x3 时，y 随着 x 的增大而增大；若当 x n 时，都有 y 随着 x 的增大而减小，则 3 + 1 2正确的序号是 13 （2 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 为O 上的点，P 为圆外一点，PC、PD 均与圆 相切，设A+B130，CPD，则 14 （2 分）今年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，5 年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，设今 年儿子的年龄为 x 岁，则可列方程 15 （2 分）某商场店庆活动中，商家准备对某种进

6、价为 600 元、标价为 1100 元的商品进行 打折销售，但要保证利润率不低于 10%，则最低折扣是 16 （2 分）如图，在 43 的矩形方框内有一个不规则的区域 A（图中阴影部分所示） ，小 明同学用随机的办法求区域 A 的面积若每次在矩形内随机产生 10000 个点，并记录落 在区域 A 内的点的个数，经过多次试验，计算出落在区域 A 内点的个数的平均值为 6700 个，则区域 A 的面积约为 三解答题（共三解答题（共 12 小题，满分小题，满分 68 分）分） 17 （5 分）计算：2sin60+2cos45tan30 第 4 页（共 30 页） 18 （5 分）解一元一次不等式组5

7、 + 5 3 2 1 23 ，并写出它的整数解 19 （5 分）如图，在ABC 中，BC，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AC 上一点且 DE AE，求证：DEAB 20 （5 分）已知：关于 x 的一元二次方程 x24x+2m0 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）如果 m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求 m 的值 21 （5 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 B 作 BECD 于点 E，延 长 CD 到点 F，使 DFCE，连接 AF （1）求证：四边形 ABEF 是矩形； （2）连接 OF，若 AB6，DE2，ADF45，求 O

8、F 的长度 22 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（5，3） ，点 B（3，3） ，过点 A 的直 线 y= 1 2x+m（m 为常数）与直线 x1 交于点 P，与 x 轴交于点 C，直线 BP 与 x 轴交于 点 D （1）求点 P 的坐标； （2）求直线 BP 的解析式，并直接写出PCD 与PAB 的面积比； （3）若反比例函数 y= （k 为常数且 k0）的图象与线段 BD 有公共点时，请直接写出 k 的最大值或最小值 第 5 页（共 30 页） 23 （6 分）已知：如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，B30，延长 BA 到 D，使BDC 30 （1）求证：DC 是O

9、的切线； （2）若 AB2，求 DC 的长 24 （6 分）某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校 300 名男 生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如图两幅尚不完整的统计图请根据以上信息解 答下列问题： （1）课外体育锻炼情况扇形统计图中， “经常参加”所对应的圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）该校共有 1200 名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项 目是篮球的人数 25 （6 分）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形” 例如：凸四边 形 ABCD 中，若AC，BD，则称四边形 ABCD 为准平行四边形 （1）如图

10、，A，P，B，C 是O 上的四个点，APCCPB60，延长 BP 到 Q， 第 6 页（共 30 页） 使 AQAP求证：四边形 AQBC 是准平行四边形； （2） 如图， 准平行四边形 ABCD 内接于O， ABAD， BCDC， 若O 的半径为 5， AB6，求 AC 的长； （3）如图，在 RtABC 中，C90，A30，BC2，若四边形 ABCD 是准 平行四边形，且BCDBAD，请直接写出 BD 长的最大值 26 （6 分）已知抛物线 ymx24mx+3（m0） （1）求出抛物线的对称轴方程以及与 y 轴的交点坐标； （2）当 m2 时，求出抛物线与 x 轴的交点坐标； （3）已知

11、A（1，0） ，B（4，0） ，C（3，3）三点构成三角形 ABC，当抛物线与三角形 ABC 的三条边一共有 2 个交点时，直接写出 m 的取值范围 27 （7 分）如图 1，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是O 外一点且满足DCA B，连接 AD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 ADCD，AB10，AD8，求 AC 的长； （3）如图 2，当DAB45时，AD 与O 交于 E 点，试写出 AC、EC、BC 之间的数 量关系并证明 第 7 页（共 30 页） 28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1） ，点 Q 的坐标为（x2，y2） ，

12、 且 x1x2， y1y2， 若 P， Q 为某个矩形的两个顶点， 且该矩形的边均与某条坐标轴垂直 则 称该矩形为点 P，Q 的相关矩形“如图为点 P，Q 的“相关矩形”的示意图 （1）已知点 A 的坐标为（1，0） 若点 B 的坐标为（2，5） ，求点 A，B 的“相关矩形”的周长； 点 C 在直线 x3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，已知抛物线 yx2+mx+n 经过点 A 和点 C，求抛物线 yx2+mx+n 与 y 轴的交点 D 的坐标； （2）O 的半径为 4，点 E 是直线 y3 上的从左向右的一个动点若在O 上存在一点 F，使得点 E，F 的“相关矩形”为正方形，直接

13、写出动点 E 的横坐标的取值范围 第 8 页（共 30 页） 2020 年北京市中考年北京市中考数学模拟试卷（数学模拟试卷（12） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分）截止到 2019 年 9 月 3 日，电影哪吒之魔童降世的累计票房达到了 47.24 亿， 47.24 亿用科学记数法表示为（ ） A47.24109 B4.724109 C4.724105 D472.4105 【解答】解：47.24 亿4724 000 0004.724109 故选：B 2 （2 分）实数 a，b，c，

14、d 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） Aa4 Bbd0 Cb+c0 D|a|b| 【解答】解：A、a4， 结论 A 错误； B、b1，d4， bd0，结论 B 错误； C、2b1，0c1， b+c0，结论 C 错误； D、a4，b2， |a|b|，结论 D 正确 故选：D 3（2 分） 从三个不同方向看一个几何体， 得到的平面图形如图所示， 则这个几何体是 （ ） A圆柱 B圆锥 C棱锥 D球 【解答】解：主视图和左视图都是长方形， 此几何体为柱体， 第 9 页（共 30 页） 俯视图是一个圆， 此几何体为圆柱 故选：A 4 （2 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，a

15、b，若245，则1 等于（ ） A125 B130 C135 D145 【解答】解：如图， ab，245， 3245， 11803135， 故选：C 5 （2 分）如图，在四边形 ABCD 中，A+D，ABC 的平分线与BCD 的平分线交 于点 P，则P（ ） A90 1 2 B1 2 C90+ 1 2 D360 【解答】解：四边形 ABCD 中，ABC+BCD360（A+D）360， PB 和 PC 分别为ABC、BCD 的平分线， PBC+PCB= 1 2（ABC+BCD）= 1 2（360）180 1 2， 则P180（PBC+PCB）180（180 1 2）= 1 2 故选：B 第 1

16、0 页（共 30 页） 6 （2 分）已知 1 + 1 = 1 :，则 + 等于（ ） A1 B1 C0 D2 【解答】解： 1 + 1 = 1 :， : = 1 :， （m+n）2mn， m2+n2mn， + = 2:2 = ; = 1， 故选：B 7 （2 分）小强同学投掷 30 次实心球的成绩如表所示： 成绩（m） 11.8 11.9 12 12.1 12.2 频数 1 6 9 10 4 由上表可知小强同学投掷 30 次实心球成绩的众数与中位数分别是（ ） A12m，11.9m B12m，12.1m C12.1m，11.9m D12.1m，12m 【解答】解：12.1 出现了 10 次，

17、出现的次数最多， 小强同学投掷 30 次实心球成绩的众数是 12.1m； 把这些数从小到大排列，最中间的数是第 15、16 个数的平均数，则中位数是12:12 2 =12 （m） ； 故选：D 8 （2 分）如图，MN 是等边三角形 ABC 的一条对称轴，D 为 AC 的中点，点 P 是直线 MN 上的一个动点，当 PC+PD 最小时，PCD 的度数是（ ） A30 B15 C20 D35 【解答】解：连接 PB 第 11 页（共 30 页） 由题意知，B、C 关于直线 MN 对称， PBPC， PC+PDPB+PD， 当 B、P、D 三点位于同一直线时，PC+PD 取最小值， 连接 BD 交

18、 MN 于 P， ABC 是等边三角形，D 为 AC 的中点， BDAC， PAPC， PCDPAD30 故选：A 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分） 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题： “今有勾五步，股十二步， 问勾中容方几何？”其意思为： “今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直 角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案 是 60 17 步 【解答】解：如图 1，四边形 CDEF 是正方形， CDED，DECF， 设 EDx，则 CDx，AD12x，

19、DECF， ADEC，AEDB， 第 12 页（共 30 页） ADEACB， = ， 5 = 12; 12 ， x= 60 17， 如图 2，四边形 DGFE 是正方形， 过 C 作 CPAB 于 P，交 DG 于 Q， 设 EDx， SABC= 1 2ACBC= 1 2ABCP， 12513CP， CP= 60 13， 同理得：CDGCAB， = ， 13 = 60 13; 60 13 ， x= 780 229 60 17， 该直角三角形能容纳的正方形边长最大是60 17（步） ， 故答案为：60 17 第 13 页（共 30 页） 10 （2 分）已知一次函数 ykx+b 的图象交 y

20、轴于负半轴，且 y 随 x 的增大而增大，请写出 符合上述条件的一个解析式： yx1（k0，b0 即可） 【解答】解：一次函数 ykx+b 的图象交 y 轴于负半轴， b0， y 随 x 的增大而增大， k0， 例如 yx1（答案不唯一，k0，b0 即可） 故答案为：yx1（答案不唯一，k0，b0 即可） 11 （2 分） 如图是 44 的正方形网格， 每个小正方形的边长均为 1 且顶点称为格点， 点 A， B 均在格点上在网格中建立平面直角坐标系，且 A（1，1） ，B（1，2） 如果点 C 也 在此 44 的正方形网格的格点上，且ABC 是等腰三角形，那么当ABC 的面积最大 时，点 C

21、的坐标为 （0，1）或（2，0） 【解答】解：如图：ABACBCAC= 22+ 12= 5， ABC 的面积= 1 2 412， ABC的面积23 1 2 122 1 2 13= 5 2， ABC的面积23 1 2 122 1 2 13= 5 2， 则当ABC 的面积最大时，点 C 的坐标为（0，1）或（2，0） ， 故答案为： （0，1）或（2，0） 第 14 页（共 30 页） 12 （2 分） 二次函数 = ( 1 )( 6) （其中 m0） ， 下列命题： 该函数图象过 （6， 0） ；该函数图象顶点在第三象限；当 x3 时，y 随着 x 的增大而增大；若当 x n 时，都有 y 随着

22、 x 的增大而减小，则 3 + 1 2正确的序号是 【解答】解： = ( 1 )( 6) =mx 2（6m+1）x+6， 对称轴为 x= (6+1) 2 =3+ 1 2，（6m+1） 224m（6m1）20， 当 x6 时，y0， 该函数图象过（6，0） ；故正确； = ( 1 )( 6) =mx 2（6m+1）x+6， 对称轴为 x= (6+1) 2 =3+ 1 20，该函数图象顶点不在第三象限，故错误； 当 x3+ 1 2时，y 随 x 的增大而增大，故错误； C、当 xn 时，y 随 x 的增大而减小，即 x3+ 1 2，此选项正确； 故答案为： 13 （2 分）如图，AB 是O 的直径

23、，C、D 为O 上的点，P 为圆外一点，PC、PD 均与圆 相切，设A+B130，CPD，则 100 【解答】解：连结 OC，OD， PC、PD 均与圆相切， PCO90，PDO90， 第 15 页（共 30 页） PCO+COD+ODP+CPD360， CPD+COD180， OBOC，ODOA， BOC1802B，AOD1802A， COD+BOC+AOD180， 180CPD+1802B+1802A180 CPD100， 故答案为：100 14 （2 分）今年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，5 年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，设今 年儿子的年龄为 x 岁，则可列方程 3x54（x5）

24、 【解答】解：设今年儿子的年龄为 x 岁，则今年父亲的年龄为 3x 岁， 依题意，得：3x54（x5） 故答案是：3x54（x5） 15 （2 分）某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为 600 元、标价为 1100 元的商品进行 打折销售，但要保证利润率不低于 10%，则最低折扣是 6 折 【解答】解：设可以打 x 折 1100x60060010% 解得 x60%，即最低折扣是 6 折 故答案为：6 折 16 （2 分）如图，在 43 的矩形方框内有一个不规则的区域 A（图中阴影部分所示） ，小 明同学用随机的办法求区域 A 的面积若每次在矩形内随机产生 10000 个点，并记录落 在区域

25、A 内的点的个数，经过多次试验，计算出落在区域 A 内点的个数的平均值为 6700 个，则区域 A 的面积约为 8.04 第 16 页（共 30 页） 【解答】解：由题意，在矩形内随机产生 10000 个点，落在区域 A 内点的个数平均值 为 6700 个， 概率 P= 6700 10000 =0.67， 43 的矩形面积为 12， 区域 A 的面积的估计值为 0.67128.04 故答案为：8.04； 三解答题（共三解答题（共 12 小题，满分小题，满分 68 分）分） 17 （5 分）计算：2sin60+2cos45tan30 【解答】解：原式2 3 2 + 2 2 2 3 3 = 23

26、3 +1 18 （5 分）解一元一次不等式组5 + 5 3 2 1 23 ，并写出它的整数解 【解答】解：5 + 5 3 2 1 23 解不等式，得 x 7 2； 解不等式，得 x 1 5， 不等式组的解集为 7 2 x 1 5， 则不等式组的整数解是3，2，1，0 19 （5 分）如图，在ABC 中，BC，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AC 上一点且 DE AE，求证：DEAB 第 17 页（共 30 页） 【解答】证明：BC， ABAC， AD 是 BC 边上的中线， BADCAD（等腰三角形三线合一） ， 又DEAE， ADECAD， ADEBAD； DEAB； 20 （5 分）已

27、知：关于 x 的一元二次方程 x24x+2m0 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）如果 m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求 m 的值 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x24x+2m0 有两个不相等的实数根， 0 （4）2412m0， 解得 m2； （2）m2 且 m 为非负整数， m0 或 m1 当 m0 时，方程为 x24x0，解得方程的根为 x10，x24，符合题意； 当 m1 时，方程为 x24x+0，它的根不是整数，不合题意，舍去 综上所述，m0 21 （5 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 B 作 BECD 于点

28、 E，延 长 CD 到点 F，使 DFCE，连接 AF （1）求证：四边形 ABEF 是矩形； （2）连接 OF，若 AB6，DE2，ADF45，求 OF 的长度 【解答】 （1）证明：在ABCD 中， 第 18 页（共 30 页） ADBC 且 ADBC， ADFBCE， 在ADF 和BCE 中， = = = ADFBCE（SAS） ， AFBE，AFDBEC90， AFBE， 四边形 ABEF 是矩形； （2）解：由（1）知：四边形 ABEF 是矩形， EFAB6， DE2， DFCE4， CF4+4+210， RtADF 中，ADF45， AFDF4， 由勾股定理得：AC= 2+ 2=

29、42+ 102=229， 四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC， OF= 1 2AC= 29 22 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（5，3） ，点 B（3，3） ，过点 A 的直 线 y= 1 2x+m（m 为常数）与直线 x1 交于点 P，与 x 轴交于点 C，直线 BP 与 x 轴交于 点 D （1）求点 P 的坐标； （2）求直线 BP 的解析式，并直接写出PCD 与PAB 的面积比； 第 19 页（共 30 页） （3）若反比例函数 y= （k 为常数且 k0）的图象与线段 BD 有公共点时，请直接写出 k 的最大值或最小值 【解答】解： （1） = 1 2 +

30、过点 A（5，3） ， 3= 1 2 5+m， 解得 m= 1 2， 直线为 y= 1 2x+ 1 2， 当 x1 时， = 1 2 + 1 2 = 1 P（1，1） ； （2）设直线 BP 的解析式为 yax+b 根据题意，得3 = 3 + 1 = + ，解得 = 1 2 = 3 2 直线 BP 的解析式为 y= 1 2x+ 3 2， p（1，1） ，A（5，3） ，B（3，3） ， =（ 1 3;1） 2=1 4； （3）当 k0 时，反比例函数在第二象限，函数图象经过 B 点时，k 的值最小，此时 k 9； 当 k0 时，反比例函数在第一象限，k 的值最大， 联立得： = = 1 2 +

31、 3 2 ， 消去 y 得： 1 2x+ 3 2 = ， 整理得：x23x+2k0， 第 20 页（共 30 页） 反比例函数与线段 BD 有公共点， 32412k0， 解得：k 9 8， 故当 k0 时，最小值为9；当 k0 时，最大值为9 8； 23 （6 分）已知：如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，B30，延长 BA 到 D，使BDC 30 （1）求证：DC 是O 的切线； （2）若 AB2，求 DC 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC OBOC，B30， OCBB30 CODB+OCB60 （1 分） BDC30， BDC+COD90，DCOC （2 分） BC 是弦， 点 C

32、 在O 上， DC 是O 的切线，点 C 是O 的切点 （3 分） （2）解：AB2， OCOB= 2 =1 （4 分） 在 RtCOD 中，OCD90，D30， DC= 3OC= 3 （5 分） 第 21 页（共 30 页） 24 （6 分）某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校 300 名男 生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如图两幅尚不完整的统计图请根据以上信息解 答下列问题： （1） 课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加” 所对应的圆心角的度数为 144 ； （2）请补全条形统计图； （3）该校共有 1200 名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最

33、喜欢的项 目是篮球的人数 【解答】解： （1）360（115%45%）36040%144； 故答案为：144； （2） “经常参加”的人数为：30040%120 人， 喜欢篮球的学生人数为：1202733201208040 人； 补全统计图如图所示； （3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为： 1200 40 300 =160 人； 25 （6 分）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形” 例如：凸四边 形 ABCD 中，若AC，BD，则称四边形 ABCD 为准平行四边形 （1）如图，A，P，B，C 是O 上的四个点，APCCPB60，延长 BP 到

34、 Q， 第 22 页（共 30 页） 使 AQAP求证：四边形 AQBC 是准平行四边形； （2） 如图， 准平行四边形 ABCD 内接于O， ABAD， BCDC， 若O 的半径为 5， AB6，求 AC 的长； （3）如图，在 RtABC 中，C90，A30，BC2，若四边形 ABCD 是准 平行四边形，且BCDBAD，请直接写出 BD 长的最大值 【解答】证明： （1）APCCPB60， APQ60，且 AQAP， APQ 是等边三角形， Q60QAP， 四边形 APBC 是圆内接四边形， QPAACB60， Q+ACB+QAC+QBC360， QAC+QBC240，且QACQAP+BA

35、C+PAB120+PAB120， QBC120， QACQBC，且QPAACB60Q， 四边形 AQBC 是准平行四边形； （2）如图，连接 BD， 第 23 页（共 30 页） ABAD，BCDC， ABDADB，CBDCDB， ABCADC， 四边形 ABCD 是准平行四边形， BADBCD， 四边形 ABCD 是圆内接四边形， BAD+BCD180，ABC+ADC180， BADBCD90， BD 是直径， BD10， AD= 2 2 = 100 36 =8， 将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到CDH， ABDH6，ACCH，ACH90，ABCCDH， ABC+ADC180， AD

36、C+CDH180， 点 A，点 D，点 H 三点共线， AHAD+DH14， AC2+CH2AH2， 2AC2196 AC72； （3）如图，作ACD 的外接圆O，过点 O 作 OEAC 于 E，OFBC 于 F， 第 24 页（共 30 页） C90，A30，BC2， ABC60，ABC60，AC= 3BC23 四边形 ABCD 是准平行四边形，且BCDBAD， ABCADC60， AOC120，且 OEAC，OAOC， ACOCAO30，CEAE= 3， OE1，CO2OE2， OEAC，OFBC，ECF90， 四边形 CFOE 是矩形， CEOF= 3，OECF1， BFBC+CF3，

37、BO= 2+ 2 = 9 + 3 =23， 当点 D 在 BO 的延长线时，BD 的长有最大值， BD 长的最大值BO+OD23 +2 26 （6 分）已知抛物线 ymx24mx+3（m0） （1）求出抛物线的对称轴方程以及与 y 轴的交点坐标； （2）当 m2 时，求出抛物线与 x 轴的交点坐标； （3）已知 A（1，0） ，B（4，0） ，C（3，3）三点构成三角形 ABC，当抛物线与三角形 ABC 的三条边一共有 2 个交点时，直接写出 m 的取值范围 【解答】解： （1）ymx24mx+3m（x2）24m+3， 对称轴为：x2， 令 x0，得 ymx24mx+33， 第 25 页（共

38、30 页） 抛物线 ymx24mx+3 与 y 轴的交点为（0，3） ； （2）当 m2 时，y2x28x+3， 令 y0，得 y2x28x+30， 解得，x= 410 2 ， 抛物线与 x 轴的交点坐标为： （4;10 2 ，0）和（4:10 2 ，0） ； （3）m0， 4m+33， 抛物线的顶点在 y3 下方， 当 x4 时，ym（x2）24m+34m4m+33， 抛物线 ymx24mx+3 恒过点（4，3） ， A（1，0）C（3，3） ， 直线 AC 的解析式为：y= 3 2 3 2， 当 x2 时，y= 3 2 3 2 = 3 2， 抛物线与三角形 ABC 的三条边一共有 2 个交

39、点， 当 x2 时，ym（22）24m+3 3 2，或当 x1 时，ym（12） 24m+30， 解得：m 3 8或 m1， m0， m 的取值范围为 0m 3 8或 m1， 27 （7 分）如图 1，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是O 外一点且满足DCA B，连接 AD （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 ADCD，AB10，AD8，求 AC 的长； （3）如图 2，当DAB45时，AD 与O 交于 E 点，试写出 AC、EC、BC 之间的数 量关系并证明 第 26 页（共 30 页） 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图 1 所示： AB 是O 的直径， ACB90，

40、 OCOB， BOCB， DCAB， DCAOCB， DCODCA+OCAOCB+OCAACB90， CDOC， CD 是O 的切线； （2）解：ADCD ADCACB90 又DCAB ACDABC = ，即 10 = 8 ， AC45， 第 27 页（共 30 页） 即 AC 的长为 45； （3）解：ACBC+2EC；理由如下： 在 AC 上截取 AF 使 AFBC，连接 EF、BE，如图 2 所示： AB 是直径， ACBAEB90， DAB45， AEB 为等腰直角三角形， EABEBAECA45，AEBE， 在AEF 和BEC 中， = = = ， AEFBEC（SAS） ， EFC

41、E，AFEBCEACB+ECA90+45135， EFC180AFE18013545， EFCECF45， EFC 为等腰直角三角形 CF= 2EC， ACAF+CFBC+2EC 28 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1） ，点 Q 的坐标为（x2，y2） ， 且 x1x2， y1y2， 若 P， Q 为某个矩形的两个顶点， 且该矩形的边均与某条坐标轴垂直 则 称该矩形为点 P，Q 的相关矩形“如图为点 P，Q 的“相关矩形”的示意图 （1）已知点 A 的坐标为（1，0） 若点 B 的坐标为（2，5） ，求点 A，B 的“相关矩形”的周长； 点 C 在直线 x

42、3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，已知抛物线 yx2+mx+n 经过点 A 和点 C，求抛物线 yx2+mx+n 与 y 轴的交点 D 的坐标； 第 28 页（共 30 页） （2）O 的半径为 4，点 E 是直线 y3 上的从左向右的一个动点若在O 上存在一点 F，使得点 E，F 的“相关矩形”为正方形，直接写出动点 E 的横坐标的取值范围 【解答】解： （1）如图 1， 矩形 ACBD 是点 A，B 的“相关矩形” ， ADCB， 点 A（1，0） ，B（2，5） ， 点 C（2，0） ，BC5， AC211， 点 A，B 的“相关矩形”的周长为 2（AC+BC）2（1+5）12； 如图 2， 点 C 在直线 x3 上， 点 C 的横坐标为 3， 点 A（1，0） ，C 的“相关矩形”为正方形， BCAD，ABBC， 点 B 的坐标为（3，0） ， BCAB312 点 C 的纵坐标为（3，2） ， 抛物线 yx2+mx+n 经过点 A 和点 C， 1 + + = 0 9 + 3 + = 2， = 3 = 2 ， 抛物线的解析式为 y