1、2.1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 数学必修数学必修5 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数点或用小石子来表示数三角形数：三角形数：1 1，3 3，6 6，1010，.正方形数：正方形数：1 1，4 4，9 9，16,16,.1740，1823，1906，1989，2072，2，4，8，16，32，15，5，16，16，28，32，51 人们在人们在17401740年发现了一颗彗星，并推算出它年发现
2、了一颗彗星，并推算出它每隔每隔8383年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为星出现的年份依次为 1984 1984年到年到20082008年，我国体育健儿共参加了年，我国体育健儿共参加了7 7次次奥运会，获得的金牌数依次为：奥运会，获得的金牌数依次为：某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2 2个，个，那么每过一分钟，一个细胞分裂的个数依次为：那么每过一分钟，一个细胞分裂的个数依次为：再来看几个问题：再来看几个问题：1 1、均是一列数均是一列数，2 2、有一定次序有一定次序.观察上面观察上面5 5个例子它们有什么
3、共同特点？个例子它们有什么共同特点？（1）1，3，6，10，（2）1，4，9，16，（4）15，5，16，16，28，32，51（5）2，4，8，16，32，（3）1740，1823，1906，1989，数列中的每一个数叫做这个数列的数列中的每一个数叫做这个数列的项项.各项依次叫做这个数列的第各项依次叫做这个数列的第1 1项（首项）项（首项）,第第2 2项，项，第，第n n项，项，如：，如：2，4，8,16，第第四四项项第第一一项项第第二二项项第第三三项项第第五五项项321.1.定义定义按照一定顺序排列着的一列数称为按照一定顺序排列着的一列数称为数列数列.问题问题2：数列：数列：1，1，1，1
4、，数列：数列：1，1，1，1，它们是不是同一数列？它们是不是同一数列？问题问题1：数列数列:1，2，3，4，5 数列数列:5，4，3，2，1 它们是不是同一数列？它们是不是同一数列？其中右下标其中右下标n n表示项的位置序号，表示项的位置序号，上面的数列又上面的数列又可简记为可简记为 na数列的一般形式可以写成：数列的一般形式可以写成：如数列如数列1 1，2 2，3 3，,n,n,可简记为：可简记为：注意：注意：表示一个数列表示一个数列.项，项，表示第表示第nnana n可简记为：可简记为：又如数列又如数列,31211,1,n n1,321aaa,na2.2.数列的分类数列的分类项数有限的数列
5、叫做,有穷数列项数无限的数列叫做.无穷数列1）按项数是否有限分2）按单调性分从从第第2项项起，有些项大于它的前一项，有些项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做小于它的前一项的数列叫做摆动数列摆动数列 从从第第2项项起，每一项都大于它的前一项的数起，每一项都大于它的前一项的数列叫做列叫做递增数列递增数列；即；即1nnaa(2)从从第第2项项起，每一项都小于它的前一项的数起，每一项都小于它的前一项的数列叫做列叫做递减数列递减数列；即；即nnaa1各项都相等的数列叫做各项都相等的数列叫做常数数列常数数列；即；即1nnaa 对于数列中的每个序号对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个
6、都有唯一的一个数（项）数（项）an与之对应与之对应.数列的项数列的项an与它对应的序号与它对应的序号n能否用一个公能否用一个公式来表示呢？式来表示呢？项数项数n 1 2 3 4 n 项项an 1 22 32 42 n2 （自变量）（自变量）（函数值）（函数值）3.3.数列与函数数列与函数 数列是一种定义在正整数集或其数列是一种定义在正整数集或其子集上的特殊的函数子集上的特殊的函数可以认为：可以认为：)(nfan nan2 nan1 之间的函数关系式与通项公式就是nan如数列如数列 2,4,6,2n,如数列如数列,514131211,n1 数列的项数数列的项数 n n 与项与项 a an n 之
7、间的关系如果可以之间的关系如果可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式通项公式。4.4.数列通项公式数列通项公式例例1、已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为an=2n-1，用，用列表法写出这个数列的前列表法写出这个数列的前5项，并作出图象项，并作出图象.解：解：n12345an=2n-1 13579:特特点点数列的图象是一群孤立的点。y=2x-1数列的图象数列的图象有何特点？有何特点？1、通项公式法、通项公式法2、列表法、列表法3、图象法、图象法问题问题1：数列的表示法：数列的表示法：问题问题2：写出这个数列的第：写出这个数列的第
8、10项？项？问题问题3：2006是这个数列的项吗？是这个数列的项吗？解：设解：设2006是此数列的项，则是此数列的项，则 2n-1=2006 n=1003.5 N*2006不是这个数列的项。不是这个数列的项。10210119a 例例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的写出下面数列的一个通项公式，使它的 前前4项分别是下列各数：项分别是下列各数：。，）（；，；，）（）（020244131211)3(2516942;7,5,3,1112 nan2)1(nannann1)1(11)1(1nna思考思考:数列的通项公式是唯一的数列的通项公式是唯一的吗吗?不唯一不唯一练习与巩固练习与巩固根据下面数列根
9、据下面数列an的通项公式，写出的通项公式，写出它的前它的前5项：项：an=n2an=10nan=5(-1)n+1221(4).1nnan 1,4,9,16,2510,20,30,40,505,-5,5,-5,537911,1,210 17 26根据下面数列根据下面数列an的通项公的通项公式，写出它的第式，写出它的第7项与第项与第10项：项：31)1(nanan=n（n+2）nann1)1()3(an=-2n+310001,343163，120101,71-125，-1021说出下面数列一个通项公式，说出下面数列一个通项公式，使它的前使它的前4项分别是下列各数项分别是下列各数 2，4，6，820
10、1,151,101,51)2(161,81,41,21)3(5141,4131,3121,211)4(an=2nnan51nnna2)1(111nnan(4)1,2,2,5,7111 1(3)1,245 6（2）（）（），），4，9，16，25，（，（），），49648 36 1713163观察下面数列的特点，用适当的数填观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式空，并写出每个数列的一个通项公式 2，4，（，（）16，32，（，（），），128an=2n an=n21(3)(1)nnan(4)nan注意：注意：一些数列的通项公式不是唯一的一些数列的通项公式不是唯一的不是每
11、一个数列都能写出它的通项公式不是每一个数列都能写出它的通项公式 序序号号。表表示示项项的的位位置置项项，其其中中中中的的第第数数列列表表示示这这个个；而而，数数列列表表示示为为通通项项的的数数列列，即即表表示示以以nnaaaaaaaaannnnnn321 例例3、图图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形。在下图）三角形。在下图4个三角形中，个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。标系中画出它
12、的图象。13nn 解解：如如图图，这这四四个个三三角角形形图图案案中中着着色色的的小小三三角角形形的的个个数数依依次次为为1 1，3 3，9 9，2 27 7，即即所所求求数数列列的的前前4 4项项都都是是3 3的的指指数数幂幂，所所以以，这这个个数数列列的的一一个个通通项项公公式式是是a a小结小结1.1.本节课学习的主要内容有：本节课学习的主要内容有：数列的定义；数列的定义；数列的通项公式。数列的通项公式。2.2.本节课的能力要求是：本节课的能力要求是：(1)(1)会由通项公式会由通项公式 求数列的特定项；求数列的特定项；(2)(2)会由数列的前几项求数列的通项公式。会由数列的前几项求数列的通项公式。3.3.本节学习的数学思想：归纳的思想、函数本节学习的数学思想：归纳的思想、函数的思想、归纳猜想的思想、数形结合的思的思想、归纳猜想的思想、数形结合的思想方法等。想方法等。练习：已知无穷数列练习：已知无穷数列7，4，3，nn6（1）求这个数列的第）求这个数列的第10项；项；（2）是这个数列的第几项？是这个数列的第几项？（3）有否等于序号的）有否等于序号的 的项？如果有，求出的项？如果有，求出这些项；如果没有，试说明理由。这些项；如果没有，试说明理由。505331
