1、 滚动小专题(八) 与四边形有关的计算与证明 1(2017 广州)如图，平面直角坐标系中 O 是原点，OABC 的顶点 A，C 的坐标分别是(8，0)，(3，4)，点 D，E 把线段 OB 三等分，延长 CD，CE 分别交 OA，AB 于点 F，G，连接 FG，则下列结论： F 是 OA 的中点；OFD 与BEG 相似；四边形 DEGF 的面积是20 3 ；OD4 5 3 .其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号) 2(2016 苏州)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线 于点 E. (1)求证：四边形 ACDE
2、是平行四边形； (2)若 AC8，BD6，求ADE 的周长 解：(1)证明：四边形 ABCD 是菱形， ABCD，ACBD. AECD，AOB90. 又DEBD，即EDB90， AOBEDB.DEAC. 四边形 ACDE 是平行四边形 (2)四边形 ABCD 是菱形，AC8，BD6， AO4，DO3，ADCD5. 又四边形 ACDE 是平行四边形， AECD5，DEAC8. ADE 的周长为 ADAEDE55818. 3(2017 徐州)如图，在平行四边形 ABCD 中，点 O 是边 BC 的中点，连接 DO 并延长，交 AB 延长线于点 E，连 接 BD，EC. (1)求证：四边形 BECD
3、 是平行四边形； (2)若A50，则当BOD100时，四边形 BECD 是矩形 证明：四边形 ABCD 为平行四边形， ABDC，ABCD. OEBODC. 又O 为 BC 的中点，BOCO. 在BOE 和COD 中， OEBODC， BOECOD， BOCO， BOECOD(AAS) OEOD. 四边形 BECD 是平行四边形 4(2017 湖州)已知正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O. (1)如图 1，E，G 分别是 OB，OC 上的点，CE 与 DG 的延长线相交于点 F.若 DFCE，求证：OEOG； (2)如图 2，H 是 BC 上的点，过点 作 EBC，交线段 O
4、B 于点 E，连接 D 交 CE 于点 F，交 OC 于点 G. 若 OEOG. 求证：ODGOCE； 当 AB1 时，求 HC 的长 解：(1)证明：四边形 ABDC 是正方形， ACBD，ODOC. DOGCOE90.OECOCE90. DFCE，OECODG90. ODGOCE. DOGCOE(ASA) OEOG. (2)证明：ODOC，DOGCOE90 ， OGOE， DOGCOE(SAS) ODGOCE. 设 CHx，四边形 ABCD 是正方形，AB1， BH1x，DBCBDCACB45. EHBC，BEHEBH45. EHBH1x. ODGOCE， BDCODGACBOCE. HD
5、CECH. EHBC，EHCHCD90. CHEDCH. EH HC HC CD. HC2EH CD，即 x21x. 解得 x1 51 2 ，x2 51 2 (舍去) HC 51 2 . 5(2017 上海)已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADCD，E 是对角线 BD 上一点，且 EAEC. (1)求证：四边形 ABCD 是菱形； (2)如果 BEBC，且CBEBCE23，求证：四边形 ABCD 是正方形 证明：(1)在ADE 和CDE 中， ADCD， DEDE， EAEC， ADECDE.ADECDE. ADBC，ADEDBC. BDCDBC.CDBCAD. 又ADBC.四边形
6、 ABCD 是菱形 (2)BEBC，BECBCE. 设CBE2x，BCEBEC3x，则 2x3x3x180，解得 x22.5. CBDCDB45. BCD90. 四边形 ABCD 是正方形 6(2017 宁波)在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题， 请你来解一解： 如图，将矩形 ABCD 的四边 BA，CB，DC，AD 分别延长至 E，F，G，H，使得 AECG，BFDH，连接 EF， FG，GH，HE. (1)求证：四边形 EFGH 为平行四边形； (2)若矩形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且FEB45，tanAEH2，求 AE 的长 解
7、：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，BADBCD90. 又BFDH，ADDHBCBF， 即 AHCF. 在 RtAEH 中，EH AE2AH2. 在 RtCFG 中，FG CG2CF2. EHFG. 同理：EFHG. 四边形 EFGH 为平行四边形 (2)在正方形 ABCD 中，ABAD1. 设 AEx，则 BEx1. 在 RtBEF 中，BEF45， BEBF. BFDH，DHBEx1. AHADDHx2. 在 RtAEH 中，tanAEH2， AH2AE. 2x2x. x2. 故 AE2. 7(2017 兰州)如图 1，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠，
8、顶点 C 落到点 E 处，BE 交 AD 于点 F. (1)求证：BDF 是等腰三角形； (2)如图 2，过点 D 作 DGBE，交 BC 于点 G，连接 FG 交 BD 于点 O. 判断四边形 BFDG 的形状，并说明理由； 若 AB6，AD8，求 FG 的长 图 1 图 2 解：(1)证明：由折叠性质知DBCDBE. 四边形 ABCD 是矩形， ADBC.DBCADB. DBEADB. DFBF. BDF 是等腰三角形 (2)四边形 BFDG 是菱形理由： ADBC，DGBE， 四边形 BGDF 为平行四边形 又DFBF，四边形 BGDF 为菱形 AB6，AD8，A90， BD10，OB1
9、 2BD5. 设 DFBFx，AFADDF8x. 在 RtABF 中，AB2AF2BF2， 即 62(8x)2x2，解得 x25 4 . BF25 4 . FO BF2OB2（25 4 ）25215 4 . FG2FO15 2 . 8准备一张矩形纸片 ABCD，按如图所示操作： 将ABE 沿 BE 翻折，使点 A 落在对角线 BD 上的 M 点；将CDF 沿 DF 翻折，使点 C 落在对角线 BD 上的 N 点 (1)求证：四边形 BFDE 是平行四边形； (2)若四边形 BFDE 是菱形，AB2，求菱形 BFDE 的面积 解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， AC90，ABCD，ADB
10、C. 由翻折性质得 BMAB，DNDC，AEMB，CDNF， BMDN，EMBDNF90. BNDM，EMDFNB90. ADBC，EDMFBN. EDMFBN(ASA)EDFB. 又EDFB， 四边形 BFDE 是平行四边形 (2)四边形 BFDE 是菱形， EBDFBD，BEED. ABEEBD，ABC90， ABE1 39030. 在 RtABE 中，AB2， AE2 3 3，BE4 3 3. ED4 3 3，AD2 3. SABE1 2AB AE 2 3 3， S矩形ABCDAB AD4 3. S菱形BFDE4 322 3 38 3 3. 9(2016 济宁)如图，正方形 ABCD 的
11、对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CB 至点 F，使 CFCA，连接 AF，ACF 的平分线分别交 AF，AB，BD 于点 E，N，M，连接 EO. (1)已知 EO 2，求正方形 ABCD 的边长； (2)猜想线段 EM 与 CN 的数量关系并加以证明 解：(1)四边形 ABCD 是正方形， AOOC，ABC 是等腰直角三角形 在ACF 中，ACCF，CE 平分ACF， AEEF. EO 为AFC 的中位线 CF2EO2 2.AC2 2. ABAC 22，即正方形 ABCD 的边长为 2. (2)猜想：EM1 2CN. 证明：CFCA，CE 是ACF 的平分线， CEAF.AENCBN90. ANECNB， BAFBCN. 在ABF 和CBN 中， BAFBCN， ABCB， ABFCBN90， ABFCBN(ASA) AFCN. BAFBCN，ACNBCN， BAFOCM. 四边形 ABCD 是正方形， ACBD.ABFCOM90. ABFCOM. CM AF CO AB. CM CN CO AB 2 2 ，即 CM 2 2 CN. 由(1)知 EOBC，EOMCBM. EO CB EM CM 2 2 . EM 2 2 CM 2 2 2 2 CN1 2CN.
