1、复习专题：复习专题：平行四边平行四边形形的计算与证明的计算与证明一、一、知识梳理知识梳理 平行四边形平行四边形定定 义义性质性质边边角角对角线对角线判判 定定两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形的四边形。对边平行，对边相等。对边平行，对边相等。对对角角相等相等，邻角互补邻角互补。互相互相平分。平分。两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形是的四边形是平行四边平行四边形形。两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是的四边形是平行四边平行四边形形。两组对角分别相等两组对角分别相等的四边形是的四边形是平行四边平行四边形形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四
2、边形。对角线对角线互相平分互相平分的四边形是的四边形是平行四边平行四边形。形。几何中的距离几何中的距离图例图例重要结论重要结论两点之间的距离两点之间的距离点到直线的距离点到直线的距离两平行线之间的距离两平行线之间的距离.BA两点之间，两点之间，线段最短线段最短.B 垂线段最短垂线段最短.abAaAB CD两条平行线之间两条平行线之间的距离的距离处处相等处处相等.三角形的中位线平行于三角形的第三边，三角形的中位线平行于三角形的第三边，三角形的中位线三角形的中位线定义定义性质性质定理定理位置关系位置关系数量关系数量关系连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。连接三角形两边中点的线段叫做三角形的
3、中位线。且等于第三边的一半。且等于第三边的一半。二、二、知知对点训练对点训练平行四边平行四边形形的的性质性质点对点练（点对点练（一一）：1如图平行四边形如图平行四边形ABCD的对角线交于点的对角线交于点O，ACD70，BEAC，则，则ABE的度数为（）的度数为（）A50 B40 C30 D20D7070？2.如图，如图，ABCD的周长的周长为为60cm，对角线对角线AC、BD相交于点相交于点O，AOB的周长比的周长比BOC的周长的周长多多8cm，则，则AB_cm.19AB+BC30AB-BC8AB19BC11解得解得：3.如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，E为边为边CD上一点
4、，将上一点，将ADE沿沿 AE折叠至折叠至ADE处，处，AD与与CE交于点交于点F，若，若B52，DAE20，则，则FED的大小为的大小为_365252205220?924如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，CD3cm，依下列步骤作图，并，依下列步骤作图，并 保留作图痕迹：保留作图痕迹：步骤步骤1：以：以B为圆心，为圆心，BE长为半径画弧，分别交长为半径画弧，分别交AB，BC于点于点E，F；步骤步骤2：以：以A为圆心，以为圆心，以BE长为半径画弧，交长为半径画弧，交AD于点于点G；步骤步骤3：以：以G为圆心，以为圆心，以EF长为半径画弧，弧和弧交于点长为半径画弧，弧和弧交于点H，
5、过过H作射线，交作射线，交BC于点于点M则下列叙述不正确的是（）则下列叙述不正确的是（）AAMCC BAMCDCAM平分平分BAD DBEF AGHCE5.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD中，中，BCD的平分线的平分线CE交边交边 AD于于E，ABC的平分线的平分线BG交交CE于于F，交，交AD于于G 求证：求证：AE=DG四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，BC AD，AB=DC，AGB=GBC，DEC=BCE，又又 BG平分平分ABC，CE平分平分BCD，证明：证明：ABG=GBC，DCE=BCE，ABG=AGB，DCE=DEC，AB=AG，DE=DC，AB=D
6、C，AG=DE，AG EG=DE EG，即即 AE=DG.6如图，如图，E是平行四边形是平行四边形ABCD的边的边CD的中点，延长的中点，延长AE交交BC 的延长线于点的延长线于点F（1）求证：）求证：AEEF；E是边是边CD的中点，的中点，CE=DE，（1）证明：）证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，BC AD，DAF=F，AED FEC（AAS），），又又 AED=FEC，AE=EF.（2）若）若BAF90，BC15，EF9，求，求CD的长的长BAF90，AE=EF，（2）解：）解：AF=AE+EF=9+9=18.四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，BC=AD
7、，AB=CD.AED FEC（AAS），），CF=AD.BF=BC+CF=15+15=30.由勾股定理得，由勾股定理得，AB=CD=24.915?15159点点对点练（二）对点练（二）：平行四边平行四边形的形的判判定定1如图，四边形如图，四边形ABCD的对角线的对角线AC，BD交于点交于点O，则不能，则不能判断判断 四边形四边形ABCD是平行四边形的是（）是平行四边形的是（）AABDBDC，OAOC BABCADC，ABCDCABCADC，ADBC DABDBDC，BADDCBBABCD2.如图，分别以如图，分别以RtABC的直角边的直角边AC及斜边及斜边AB向外作等边向外作等边ACD、等边等
8、边ABE.已知已知BAC30，EFAB，垂足为，垂足为F，连结，连结DF（1）试说明试说明ACEF；（1）解：）解：ABE为等边三角形，为等边三角形，AB=AE=EB，BAE=60，又又 EFAB，垂足为，垂足为F，ABC60，RtABC中，中，BAC30，AB为斜边为斜边 ABCEAF，ACBAFE，AC=EF，AFE90，ABC EAF（AAS）AC=EF.Rt ABCACDABE（2）求证：四边形求证：四边形ADFE是平行四边形是平行四边形ACD为等边三角形，为等边三角形，AC=AD，DAC=60，AC=EF，BAC30，EF=AD，DAB=DAC BAC=60 30=90，DAB=EF
9、A=90，EF AD，四边形四边形ADFE是平行四边形是平行四边形点对点练（三）点对点练（三）：两平行线间的距离两平行线间的距离.如如图，已知直线图，已知直线ab，点，点A、B在直线在直线a上，点上，点C、D在在直线直线b上，线段上，线段BC、AD相交于点相交于点E，写出图中，写出图中面积面积相等相等的三角形：的三角形：_.等式性质等式性质：ACD与与BCDCAB与与DAB同底等高：同底等高：AEC与与BED点对点练（四）点对点练（四）：三角形中三角形中位位线线的性质的性质.1如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O，点点E，F分别是分别是A
10、D，OD的中点，若的中点，若EF2，则，则AC的长是（的长是（）A2B4 C6D8D2如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相交于点相交于点O，ACCD，E为为CD中点中点，连接，连接OE.若若OC4，CE3，则，则BC的的 长是长是 10433.如图，点如图，点E、F、G、H分别是线段分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则的中点，则四边形四边形EFGH是什么图形？并说明理由。是什么图形？并说明理由。解：解：连接连接AC.点点E、F、G、H分别是线段分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，的中点，EF、GH分别是分别是BAC、DAC的中位线，的中位线，
11、EF AC，且，且 ，HG AC，且，且 ，EF HG，且，且 EF=HG ，四边形四边形EFGH为平行四边形为平行四边形.四边形四边形EFGH为平行四边形为平行四边形.理由：理由：点对点练（五）点对点练（五）：平行四边平行四边形形的性质与的性质与判定判定的综合的综合1如图，点如图，点B、F、C、E在一条直线上，在一条直线上，FBCE，ABED，ACFD，AD交交BE于点于点O（1）求证：）求证：AD与与BE互相平分；互相平分；（1）证明：）证明：FB=CE，BF+FC=CE+FC，即即 BC=EF.ABED，ACFD，B=E，ACB=DFE，ABC DEF（ASA）.AB=DE.连接连接AE
12、、BD，四边形四边形ABDE是平行四边形，是平行四边形，AD与与BE互相平分互相平分.AB DE，且，且AB=DE，（2）若）若ABAC，ACBF，BE8，FC2，求，求AB的长的长（2）解：）解：BF=CE=（8-2）2=3，BF=CE，BF+FC+CE=BE=8，FC2，BC=BF+FC=3+2=5，ACBF=3，ABAC，由勾股定理得，由勾股定理得，BAC90，2如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD中，点中，点E、F分别在边分别在边BC、AD上，上，EAAC，FCAC（1）求证：）求证：ABE CDF；四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AB CD，AB=CD，B=D.（
13、1）证明：）证明：EAAC，FCAC EAC=FCA=90.BAC=DCA.BAC EAC=DCA FCA，即即 BAE=DCF.ABE CDF（ASA）EAAC，FCAC EAC=FCA=90.AE CF，四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AD BC，AB=CD，AD=BC，B=D.点点E、F分别在边分别在边BC、AD上，上，AF EC，AE CF，AF EC，四边形四边形AECF是平行四边形，是平行四边形，AF=CE，ADAF=BCCE，即即 DF=BE.ABE CDF（SAS）第二种证法：第二种证法：（2）若）若B30，AEC45，求证：，求证：ABAFAB=EC，45AE
14、=AC，（2）证明：）证明：G过点过点A作作AGEC于点于点G，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.）EAAC，AEC45，ACE=180 EAC AEC=1809045=45，AEC ACE，AE=AC，AGEC，AGEC，B30，G为为EC的中点，的中点，ABE CDF，BE=DF，四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AD=BC，ADDF=BCBE，即即 AF=EC.AB=AF.30点对点练（六）点对点练（六）：平行四边形中平行四边形中的的动点问题动点问题1如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，ADBC，AD3，BC8，E是是BC的中
15、的中点，点点，点P以每秒以每秒 1个单位长度的速度从个单位长度的速度从A点出发，沿点出发，沿AD向点向点 D运动；点运动；点Q同时以每秒同时以每秒2个单位个单位 长度的速度从点长度的速度从点C出发，沿出发，沿 CB向点向点B 运动，点运动，点P停止运动时，点停止运动时，点Q也随之停止也随之停止 运动当运动时间运动当运动时间t 秒时，以点秒时，以点 P，Q，E，D为顶点的四边形为顶点的四边形 是平行四边形是平行四边形 38t2t3-t4-2t3-t=4-2tPQ3-t=2t-4 PEQD PQED2如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，AABC90，AD1，BC3，E是边是边CD的的 中点，连
16、接中点，连接BE并延长与并延长与AD的延长线相交于点的延长线相交于点F（1）求证：四边形）求证：四边形BDFC是平行四边形；是平行四边形；AABC90，A+ABC180，BC AF，CBE=DFE，E是边是边CD的中点，的中点，CE=DE，BEC FED（AAS），），又又 CEB=DEF，BC=DF，BC DF，且，且BC=DF，四边形四边形BDFC是平行四边形是平行四边形.（1）证明：）证明：（2）若）若BCD是等腰三角形，求四边形是等腰三角形，求四边形BDFC的面积的面积BCBD3时，时，四边形四边形BDFC是平行四边形，是平行四边形，DF=BC=3，13（2）解：）解：3由勾股定理得，
17、由勾股定理得，3由勾股定理得，由勾股定理得，A=ABC=AGC=90，BCCD3时，时，过点过点C作作CGAF于于点点G，133G2四边形四边形AGCB是矩形，是矩形，AGBC3，DGAGAD312，综上所述，综上所述，过点过点D作作DGBC于于点点G，13G显然，前后矛盾，故此时不成立；显然，前后矛盾，故此时不成立；DBDC时，时，A=ABC=DGB=90，四边形四边形ABGD是矩形，是矩形，BGAD1，CGBCBG312，又又 DBDC，DGBC于于点点G，四边形四边形BDFC的面积为的面积为3如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD中，中，E为为BC边上的一个动点（不与边上的一个动点（不
18、与B、C重合），过点重合），过点E作直线作直线AB的垂线，垂足为的垂线，垂足为F，FE与与DC的延长的延长 线相交于点线相交于点G（1）若）若E为为BC中点，求证：中点，求证：BFCG；（1）证明：）证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AB CD，B=BCG.又又BEF CEG，E为为BC中点，中点，BE=CE，BEF CEG（ASA）BFCG.（2）若）若AB5，BC10，B60，当点，当点E在线段在线段BC上运动时，上运动时，FG的长度的长度 是否改变？若不变，是否改变？若不变，求求FG；若改变，请说明理由；若改变，请说明理由；51060解：解：FG的长度不变的长度不变G
19、理由：理由：过点过点A作作AGBC于点于点G，AGBC，B60，BAG=180 AGB B =1809060=30，由勾股定理得，由勾股定理得，AGBC，FG AB，（3）在（）在（2）的条件下，）的条件下，H为直线为直线AD上的一点，设上的一点，设BEx，若，若A、B、E、H四点四点 构成一个平行四边形，请用含构成一个平行四边形，请用含x的代数式表示的代数式表示BH在在R t BHM中，中，51060GHM当点当点H在线段在线段AD上时，上时，过点过点H作作HMBC于于M四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AD BC.又又 AGBC，HMBC，AG=HM.四边形四边形ABEH是平
20、行四边形，是平行四边形，AB=EH.R tABG R t HEM（HL）由勾股定理得，由勾股定理得，BG=EM.在在R t BHM中，中，51060GHM当点当点H在线段在线段AD的反向延长线上时，的反向延长线上时，过点过点H作作HMBC交交BC的反向延长线于的反向延长线于M四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AD BC.又又 AGBC，HMBC，AG=HM.四边形四边形AEBH是平行四边形，是平行四边形，AE=BH.R tAEG R t HBM（HL）由勾股定理得，由勾股定理得，BM=EG.综上所述，综上所述，BH的长为的长为积跬步以致千里，积怠惰以致深渊积跬步以致千里，积怠惰以致深渊.
