1、二、重难专题精讲优练二、重难专题精讲优练专题十二专题十二 二次函数与几何图形二次函数与几何图形的综合题的综合题 类型类型一一与线段有关的问题与线段有关的问题跟踪训练跟踪训练 1.如图，直线y5x5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数yax24xc的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作NDx轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值第1题图解解：(1)直线y5x5与x轴交于点A，与y轴交于点C，令y0，得x1，令x0，得y5，A(1，0)，C(0，5)，抛物线yax24xc过点A(1，0)，C(0，5)，则 ,解得 ,二次
2、函数的表达式为yx24x5；40ac 5c 5c 1a (2)如解图，令yx24x50，解得x11，x25，点A的坐标为(1，0)，B(5，0)，设过B(5，0),C(0，5)的直线BC解析式为ykxb，则 ,解得 ,直线BC表达式为yx5，第1题解图5b 50k b 5b 1k DNx轴，DNy轴，点N在BC上，点D在抛物线上，设N(x，x5)，D(x，x24x5)，DNx24x5(x5)x25x(x )2 ，当x 时，线段DN有最大值 .5225452254平行于y轴的线段最值问题的解题步骤：步骤一：设动点的横坐标(若题设已知，不用再设)，如题1中，设点N的横坐标为x；步骤二：把动点横坐标
3、分别代入直线和抛物线解析式得到对应点的纵坐标，如题1中，将点N的横坐标代入直线BC的解析式，得点N的坐标为(x，x5)，代入抛物线得点D的坐标为(x，x24x5)；步骤三：用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标即可表示线段的函数关系式，如题1中，DNx24x5(x5)x25x；步骤四：利用二次函数性质求线段的最值备考指备考指导导 类型类型二二与面积有关的问题与面积有关的问题跟踪训练跟踪训练 1.(2018菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx5交y轴于点A，交x轴于点B(5，0)和点C(1，0)，过点A作ADx轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的表达式；(2)点E是抛物线上一点，且点E
4、关于x轴的对称点在直线AD上，求EAD的面积；(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和ABP的最大面积第1题图解：解：(1)二次函数yax2bx5的图象过B(5，0)，C(1，0)两点，,解得 ,抛物线的解析式为 yx24x5；2555 0b 5 0a b 1a 4b(2)令x0，则y5，A(0，5)，OA5，ADx轴，D纵坐标与A相同，当 y5时，x24x55，解得x0或 x4，D(4，5)，AD4，点E关于x轴的对称点在直线上，AD边上的高为2OA10，SEAD 41020；(3)如解图，过点P作PQ平行于y轴，交AB于点Q
5、，A(0，5)，B(5，0)，设直线AB解析式为 ykx5，05k5，k1，直线AB解析式为yx5.第1题解图12设P(x，x24x5)，则Q(x，x5)，PQx5(x24x5)x25x，SABP PQ|xB|(x25x)5 x2 x (x )2 ，当x 时，ABP的面积最大，此时P点的坐标为(，)，SABP最大 .1212522525252125852523541258三角形面积关系式的确定方法：(1)如图，当有一边在坐标轴上，则以坐标轴上的边为底边，以另一点的纵(横)坐标的绝对值为高，即可计算即SABC AB|yc|图图图图12备考指备考指导导(2)如图，若三边均不在坐标轴上，可过一点作平
6、行于坐标轴的直线把所求三角形面积分成两部分即SPACSAPPSCPP PP|xCxA|.12特殊三角形形状的特殊三角形形状的判定判定类型类型三三1.(2018山西)如图，抛物线y x2 x4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，交BC于点Q，过点P作PEAC交x轴于点E，交BC于点F.跟踪训练跟踪训练 1313(1)求A，B，C三点的坐标；(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出此时点Q
7、的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值 第1题图解解：(1)由y0，得 x2 x40，解得x13，x24，点A，B的坐标分别为A(3，0)，B(4，0)，由x0，得y4，点C的坐标为C(0，4)；(2)存在，Q1(，4)，Q2(1，3)；【解法提示】解法提示】设直线BC的解析式为ykxb将B(4，0)，C(0，4)代入ykxb得，解得 直线BC的解析式为yx4，13135 2240k b 4b 1k 4b 5 22点Q在直线BC上，且点Q的横坐标等于点P的横坐标m，点Q的坐标为(m，m4)，A(3，0)，C(0，4)，AC2OA2OC
8、225，CQ2(m0)2m4(4)22m2，AQ2m(3)2(m4)22m22m25，要使以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论()当ACCQ时，即AC2CQ2，252m2，解得m1 ，m2 ,5 225 22点Q在第四象限，m0，m40.0m4，m ，m4 4，点Q1的坐标为(，4)；()当ACAQ时，即AC 2AQ 2，252m22m25，解得m30，m41，m4143，点Q2的坐标为(1，3)，5 225 225 225 22()当AQCQ时，即AQ2CQ2，2m22m252m2，解得m5 ，当m 时，m4 ，此时点Q在第一象限，不符合题意，舍去综上所述，满足使得以A，
9、C，Q为顶点的三角形为等腰三角形的点Q坐标为Q1(，4)，Q2(1，3)(3)如解图，过点F作FGPQ于点G，则FGx轴，2522521725 225 22由B(4，0)，C(0，4)，得OBC为等腰直角三角形，OBCQFG45，GQFG FQ，PEAC，12，FGx轴，23，13，FGPAOC90，第1题解图FGPAOC，即 GP FG FQ FQ，QPGQGP FQ FQ FQ，FQ QP，PMx轴，点P的横坐标为m，MBQ45，QMMB4m，PM m2 m4，FGAO3FGGPOC4GP4343222 23222 237 263 2713 13QPPMQM m2 m4(4m)m2 m，Q
10、F QP (m2 m)m2 m，0，QF有最大值，当m 2时，QF有最大值3 271313 13 4327 13 433 274 2727 4 27227()1.试题类型：已知两定点A、C，求满足条件(在坐标轴上、直线上、抛物线上等)的动点Q，使得AQC是等腰三角形2.求点Q坐标的步骤步骤一：设点Q的坐标(当点Q在x轴上，设坐标为(m，0)，当点Q在y轴上，设坐标为(0，m)，当点Q在对称轴上，设坐标为(，m)，若点Q在直线ykxb上，设坐标为(m，kmb)，若点Q在抛物线yax2bxc上，设点Q的坐标为(m，am2bmc)；2ba备考指备考指导导步骤二：用含m的代数式分别表示AQ，CQ，利用
11、勾股定理求AC的长；步骤三：分别令ACAQ，ACCQ，AQCQ，列方程求解；步骤四：排除点Q与点A，点C重合或在直线AC上的情况(此时不能构成三角形)，得出点Q的坐标.(3)试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由第2题图解解：(1)由题意得，将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得，解得，抛物线的解析式为yx22x3，02ac 0 96 ca 1a 3c 2.(2018怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线
12、顶点(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；C(0，3)，设直线AC的解析式为ykxb(k0)，则将A、C点坐标代入，得，解得，直线AC的解析式为y3x3；(2)yx22x3(x1)24，顶点D(1，4)，D点关于y轴的对称点E的坐标为(1，4)，0k b 3b 3k 3b 如解图，连接BE与y轴交于点M，此时BDM的周长最小，设BE的解析式为：ymxn(m0)，则将B、E点坐标代入，得，解得，直线BE的解析式为yx3，第2题解图当x0时，y3，点M的坐标为(0，3)，此时点M与点C重合；4m n 0 3m n 1m 3n(3)在
13、抛物线上存在点P.使以点P，A，C为顶点，且AC为直角边的三角形是直角三角形如解图，当点A为直角顶点时，设直线AP与y轴的交点为Q，则AOQCAQ90，AQOOAQAQCACQ，QAOACO，AOQCOA，即 ，OQ ，Q(0，)，易求AQ的解析式为y x-，OQOAOAOCOQ 11313 13 1313联立方程组，解得 (为A点坐标，舍去)，点P的坐标为(，)；如解图，当点C为直角顶点时，过点P作PKy轴于点K，PCKACOACOCAO90，PCKCAO，1133yx 223yxx 1x1 10y 103x2 2139y 103139 第2题解图又PKCCOA，PCKCAO，设P(t，t2
14、2t3)，则PKt，CK3(t22t3)t22t，解得t10(为C点的横坐标，舍去)或t2 ，点P的坐标为(，)；PKCOCKAO2231ttt 7373209 第 2 题 解图综上，在抛物线上存在点P，使以点P，A，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形，点P的坐标为 (，)或(，)103139 73209已知两定点A、B，求满足条件的动点P，使得ABP为直角三角形，方法如下：可先设点P的坐标，再根据距离公式(构造直角三角形)分别表示AB2、AP2、BP2，由PAB90，得AP2AB2PB2；由PBA90，得PB2AB2PA2；由APB90得AP2BP2AB2，分别列方程求解备考指备考指
15、导导1.(2018恩施州节选)如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为(1，0)，OC2，OB3，点D为抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式；(2)P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标跟踪训练跟踪训练 类型类型四四特殊四边形形状的判特殊四边形形状的判定定 解：(1)OC2，OB3，C(0，2)，B(3，0)，设抛物线的解析式为yax2bxc，将A(1，0)，B(3，0)，C(0，2)代入，得 ，解得 ，抛物线的解析式为y x2 x2；2c 43b 23a 2c 0a b c 930ab c 4323 C(0，2)，B(3，0)，CD的中点
16、为(，)，BC的中点为(，1)，BD的中点为(2，)当CD、BP为平行四边形的对角线时，CD与BP互相平分，P为(2，)；当BC、PD为平行四边形的对角线时，BC与PD互相平分，P为(2，)；当BD、PC为平行四边形的对角线时，BD与PC互相平分，1273324314323(2)D为y x2 x2的顶点D(1，)，8323 43P为(4，)综上所述，当P为(2，)或(2，)或(4，)时，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形；【一题多解一题多解】C(0，2)，B(3，0)，D(1，)，由待定系数法得，直线BC为：y x2，直线BD为：y x4，直线CD为：y x2，23 14323 238
17、343 2323过B作CD的平行线l1，可设为y xb1，将B(3，0)代入解得b12，l1为：y x2，过C作BD的平行线l2，可设为 y xb2，将C(0，2)代入解得b22，l2为：y x2，过D作BC的平行线l3，可设为y xb3，将D(1，)代入解得b3 ，l3为：y x ，232323 43 43 8310323 103由 得l1与l2的交点为(2，)，l3与l2的交点为(2，)，l1与l3的交点为(4，)，当P为(2，)或(2，)或(4，)时，以B、C、D、P为顶点的四边形是 平行四边形223yx 423yx 21033yx 423yx 223yx 21033yx 2x 23y
18、143y 2x 4x 23y 23 1432314323 23已知问题作图求点坐标三个点已知平面上不共线的三个点A、B、C，求一点P，使得连接AB、AC、BC，分别过点A、B、C作对边的平行线，因为平行四边形是中心对称图形，对角线的交点即对称中心因此，可借助中点坐标方式来求，即.备考指备考指导导1.平行四边形的平行四边形的判定判定已已知知问题问题作图作图求点坐标求点坐标三个点A、B、C、P四个点组成平行四边形三条平行线的交点即为所有点PP(x1，y1)，Q(x2，y2)，则PQ的中点N的坐标为(，)，从而列方程求解即可分别求出直线P1P2，P2P3，P3P1的解析式，再求出交点即为P点.122
19、xx 122yy 已已知知问题问题作图作图求点坐标求点坐标两个点已知平面上两个点A、B，求两点P、Q，使得A、B、P、Q四个点组成分两种情况讨论：若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P、Q的位置；当定长为边时，先用坐标表示与定长平行的另一边的长，再由两边平行且相等建立方程，求解即可；已已知知问题问题作图作图求点坐标求点坐标两个点平行四边形(题目中P、Q的位置有具体限制)若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P、Q的位置当定长为对角线时，利用平行四边形对角线互相平分建立方程求解即可.类型类型五五相似三角形的存在性相似三角形的存在性问题问题 1.(2018毕节)
20、如图，以D为顶点的抛物线yx2bxc交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为yx3.(1)求抛物线的表达式；(2)在直线BC上有一点P，使POPA的值最小，求点P的坐标；(3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由跟踪训练跟踪训练 第1题图解：解：(1)直线yx3与x轴交于B点，与y轴交于点C，当x0时，y3；当 y0时，x3，B点坐标是(3，0)，C点坐标是(0，3)，抛物线yx2bxc经过B，C两点，解得 ，抛物线的表达式为：y x22x3；3c 9 30-+b+c3c 12b (2)如解图，作点O关于
21、直线BC的对称点O，连接AO，点B，C两点的坐标分别是(3，0)和(0，3)，四边形COBO为正方形，O的坐标为(3，3)，当y0时，x22x30，解得：x11，x23，A点坐标是(1，0)，第1题解图设直线AO的解析式为ykxb，A(1，0)，O(3，3)，解得 ，直线AO解析式为：y x ，直线AO与直线BC的交点就是点P的位置，34k 34b 0k b-+3+3k b 3434联立直线AO与直线BC的解析式，得，解得 ，点P的坐标是(，)；(3)抛物线的解析式可化为：y(x1)24，点D的坐标是(1，4)，3344yx+3y=-x+97x 127y 97127过点D作DEy轴于点E，E点
22、坐标是(0，4)，B(3，0)，C(0，3)，BC3 ，CD ，BD2 ，BC2CD2BD2，即DCB90，点Q在x轴上，CAQ90，225当CQA90时，Q点与原点重合，此时AQ1，CQ3，AC ，ACQDCB，此时Q(0，0)；当ACQ90时，ACOAQC，10AQCDCQCBACBDOAAC22ACAQ11010AQAQ10，A(1，0)，Q(9，0)；由知ACODBC，故AQCDBC.综上所述，在x轴上存在点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似，点Q的坐标是(0，0)，(9，0)解决相似三角形问题的一般步骤如下：1.确定已知三角形的特征，即三边的长度，内角的度数；2.确定动态三角形中的固定因素，即其是否存在与已知三角形相等的角，如直角或锐角；3.若存在相等的角，确定动态三角形与已知三角形相等角的两邻边的代数式，一般用动点的参数(点坐标)表示出动态三角形各边的长度；4.利用“对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，分两种情况讨论动点位置，根据比例关系列出方程求解，若方程有解，即存在该动点，可确定位置；若方程无解，则该动点不存在，即相似三角形不存在备考指备考指导导
