1、题型二题型二相似基本图形相似基本图形第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习基础知识过关-2-基本图形1:射影定理RtABC中,CDAB图中相等的锐角A和DCB;ACD和B 图中相似三角形ACDCBDABC 图中存在的乘积等式AC2=ADAB CB2=BDBA CD2=ADBD 第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习基础知识过关-3-基本图形2:一线三角若B=ACE=D=90,相似三角形ABCCDE若B=ACE=D=60,相似三角形ABCCDE若B=ACE=D=45,相似三角形ABCCDE若B=A
2、CE=D,相似三角形ABCCDE第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习基础知识过关-4-基本图形3:八字形1.AC与BD相交于O点,则A,B,C,D等量关系A+B=C+D2.AC与BD相交于O点,若A=D,则B与C的数量关系,ABO与DCO的关系B=CABODCO.3.AC与BD相交于O点,若B=C,A=30,则D=30.第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-5-【例1】如图,已知线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,如图2,在图1的条件下,DAB和BCD的平分线AP和CP相交
3、于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题:(1)在图1中,请直接写出A、B、C、D之间的数量关系:;(2)在图2中,若D=42,B=38,试求P的度数;(3)如果图2中D和B为任意角时,其他条件不变,试写出P与D、B之间数量关系,并说明理由.第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-6-解答:解:(1)AOD=180-A-D,BOC=180-C-B,而AOD=BOC,180-A-D=180-C-B,A+D=B+C;故答案为A+D=B+C;(2)根据(1)知,1+2+D=3+4+B,1+D=3+P,AP、CP分别是DAB
4、和BCD的角平分线,1=2,3=4,21+D=23+B,而21+2D=23+2P,2P=B+D,第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-7-【练习1】如图,AC、BD相交于点O,BP、CP分别平分ABD、ACD,且相交于点P.(1)试探索P与A、D之间的数量关系;(2)若A D P=2 4 x,求x的值.解:(1)CFB=A+ABF,CFB=P+PCF,A+ABF=P+PCF,同理:D+DCP=P+DBP,A+ABF+D+DCP=2P+PCF+DBP,CP,BP分别平分DCA,DBA,ABF=DBP,DCP=PCF,A+D=2P;P
5、=(A+D);(2)由A D P=2 4 x,设A=2k,D=4k,P=xk(k0),代入D+A=2P可得6k=2xk,解得x=3第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-8-【例2】如图,ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,BAC=EDF=90,DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合.将DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:BPE CQE;(2)如图,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:BPECEQ;并求当BP=a,C
6、Q=a时,P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示).第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-9-答案:(1)证明:ABC是等腰直角三角形,B=C=45,AB=AC,AP=AQ,BP=CQ,BPE CQE(SAS);(2)解:ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,B=C=DEF=45,BEQ=EQC+C,即BEP+DEF=EQC+C,BEP+45=EQC+45,BEP=EQC,BPECEQ,第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-10-【练习2】如图,在ABC中,已知A
7、B=AC=5,BC=6,且ABC DEF,将DEF与ABC重合在一起,ABC不动,DEF运动,并满足:点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE始终经过点A,EF与AC交于M点.(1)若BE=2,求CM的长;(2)探究:在DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由(注:点E与B重合时不算);(3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积.第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-11-解:(1)证明:AB=AC,B=C,ABC DEF,AEF=B,又AEF+CEM=AEC=B+BAE,CEM=BAE,
8、ABEECM;(2)AEF=B=C,且AMEC,AMEAEF,AEAM;当AE=EM时,则ABE ECM,CE=AB=5,BE=BC-EC=6-5=1,当AM=EM时,则MAE=MEA,MAE+BAE=MEA+CEM,即CAB=CEA,第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习重点题型讲解-12-第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-13-A组1.如图,已知ABC和ADE均为等边三角形,D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF等于(B)A.1B.2C.3D.4第四部
9、分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-14-2.在ABC中,AB=AC=2,BAC=20,动点P、Q分别在直线BC上运动,且始终保持PAQ=100.设BP=x,CQ=y,则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为(A)第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-15-3.如图,ACD和BCE中,ACD=BCE=90,CA=CD,CB=CE,AE交CD于点F,BD分别交CE、AE于点G、H.写出AE与DB有何数量与位置关系,并证明.解:AE=DB,AEDB,理由如下:ACD=BCE
10、=90,ACE=DCB.CA=CD,CB=CE,ACE DCB.AE=DB,AEC=DBC,HGE=CGB,GHE=GCB=90,即AEDB.第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-16-B组4.如图,在RtABC中,C=90,AC=BC=4cm,点D为AC边上一点,且AD=3cm,动点E从点A出发,以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动,运动时间为xs.作DEF=45,与边BC相交于点F.设BF长为ycm.(1)当x=s时,DEAB;(2)求在点E运动过程中,y与x之间的函数关系式及点E运动路线的长;(3)当BEF为等腰三角形时
11、,求x的值.第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-17-ADE+AED=135,又DEF=45,BEF+AED=135,ADE=BEF,第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-18-(3)这里有三种情况:如图,若EF=BF,则B=BEF,又ADEBEF,A=ADE=45,AED=90,第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-19-如图,若EF=BE,则B=EFB;又ADEBEF,A=AED=45,如图,若BF
12、=BE,则FEB=EFB;又ADEBEF,ADE=AED,AE=AD=3,动点E的速度为1cm/s,此时x=3.第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-20-5.如图,AB是O的直径,C是弧BD的中点,CEAB,垂足为E,BD交CE于点F.(1)求证:CF=BF;(2)若AD=2,O的半径为3,求BC的长.第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-21-解:(1)证明:连接AC,如图,C是弧BD的中点,BDC=DBC.又BDC=BAC,在ABC中,ACB=90,CEAB,B
13、CE=BAC,BCE=DBC.CF=BF;(2)作CGAD于点G,C是弧BD的中点CAG=BAC,即AC是BAD的角平分线.CE=CG,AE=AG.在RtBCE与RtDCG中,CE=CG,CB=CD,RtBCE RtDCG(HL).BE=DG.AE=AB-BE=AG=AD+DG,即6-BE=2+DG.2BE=4,即BE=2.又BCEBAC,BC2=BEAB=12.第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-22-6.如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连接DE,作EFD
14、E,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.(1)求y关于x的函数关系式;(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?解:(1)在矩形ABCD中,B=C=Rt,在RtBFE中,1+BFE=90,又EFDE,1+2=90,2=BFE,第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-23-DEF中,FED是直角,要使DEF是等腰三角形,则只能是EF=ED,此时,RtBFE RtCED,当EC=2时,m=CD=BE=6,当EC=6时,m=CD=BE=2,即m的值应为6或2时,DEF是等腰三角形.第四部分第四部分题型二题型二相似基
15、本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-24-C组7.ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作MDN=B.(1)如图(1)当射线DN经过点A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与ADE相似的三角形.(2)如图(2),将MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论.(3)在图(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当DEF的面积等于ABC的面积的时,求线段EF的长.第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随
16、堂经典练习随堂经典练习-25-解:(1)图(1)中与ADE相似的有ABD,ACD,DCE.证明:AB=AC,D为BC的中点,ADBC,B=C,BAD=CAD,又MDN=B,ADEABD,同理可得:ADEACD,MDN=C=B,B+BAD=90,ADE+EDC=90,B=MDN,BAD=EDC,B=C,ABDDCE,ADEDCE.第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-26-(2)BDFCEDDEF,证明:在图(2)中,B+BDF+BFD=180,EDF+BDF+CDE=180,又EDF=B,BFD=CDE,又C=EDF,BDFCEDDEF.第四部分第四部分题型二题型二相似基本图形相似基本图形基础知识过关重点题型讲解随堂经典练习随堂经典练习-27-(3)如图(3)连接AD,过D点作DGEF,DHBF,垂足分别为G,H.AB=AC,D是BC的中点,点评:此题主要考查了相似三角形判定与性质以及三角形面积计算,熟练应用相似三角形的性质与判定得出对应用边与对应角的关系是解题关键.
