1、八年级数学上册全等三角形单元培优测试卷一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1在等腰ABC中，ADBC交直线BC于点D，若AD=BC，则ABC的顶角的度数为_【答案】30或150或90【解析】试题分析：分两种情况；BC为腰，BC为底，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半判断出ACD=30，然后分AD在ABC内部和外部两种情况求解即可解：BC为腰，ADBC于点D，AD=BC，ACD=30，如图1，AD在ABC内部时，顶角C=30，如图2，AD在ABC外部时，顶角ACB=18030=150，BC为底，如图3，ADBC于点D，AD=BC，AD=BD=CD，B=BAD，C=CAD，BAD+C
2、AD=180=90，顶角BAC=90，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30或150或90故答案为30或150或90点睛：本题考查了含30交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键2在RtABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，点E，F分别在边AB，AC上，将AEF沿直线EF翻折，点A落在点P处，且点P在直线BC上则线段CP长的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据点E、F在边AB、AC上，可知当点E与点B重合时，CP有最小值，当点F与点C重合时CP有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，此时BP=AB=3，所以
3、PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F与点C重合时，CP的值最大，此时CP=AC，RtABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，所以线段CP长的取值范围是1CP5，故答案为1CP5.【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.3如图，中，的平分线交于点，平分给出下列结论：；其中正确的结论是_【答案】【解析】【分析】根据等角的余角相等即可得到结果，故正确；如果EBC=C，则C=ABC，由于BAC=90，那么C=30，但C不一定等于30，故错误；由
4、BE、AG分别是ABC、DAC的平分线，得到ABF=EBD由于AFE=BAD+FBA，AEB=C+EBD，得到AFE=AEB，可得正确；连接EG，先证明ABNGBN，得到AN=GN，证出ANEGNF，得NAE=NGF，进而得到GFAE，故正确；由AE=AF，AE=FG，而AEF不一定是等边三角形，得到EF不一定等于AE，于是EF不一定等于FG，故错误【详解】BAC=90，ADBC，C+ABC=90，C+DAC=90，ABC+BAD=90，ABC=DAC，BAD=C，故正确；若EBC=C，则C=ABC，BAC=90，那么C=30，但C不一定等于30，故错误；BE、AG分别是ABC、DAC的平分线
5、，ABF=EBD，AFE=BAD+ABF，AEB=C+EBD，又BAD=C，AFE=AEF，AF=AE，故正确；AG是DAC的平分线，AF=AE，ANBE，FN=EN，在ABN与GBN中，ABNGBN（ASA），AN=GN，又FN=EN，ANE=GNF，ANEGNF（SAS），NAE=NGF，GFAE，即GFAC，故正确；AE=AF，AE=FG，而AEF不一定是等边三角形，EF不一定等于AE，EF不一定等于FG，故错误故答案为：【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键4如图，在中，在上取点，延长到，使得；在
6、上取一点，延长到，使得；，按此做法进行下去，第n个等腰三角形的底角的度数为_【答案】.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出BA1 A0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出CA2A1，DA3A2及EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的底角An的度数【详解】解：在A0BA1中，B=20，A0B=A1B，BA1 A0= =80，A1A2=A1C，BA1 A0是A1A2C的外角，CA2A1= =40；同理可得，DA3A2=20，EA4A3=10，第n个等腰三角形的底角An= .【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出CA2A1，DA3
7、A2及EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键5如图，MON30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2，B3在射线OM上，A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA13，则a2=_，a2019=_.【答案】6； 322018. 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1A2B2A3B3，以及a2=2a1=6，得出a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1进而得出答案【详解】解： 如图，A1B1A2是等边三角形，A1B1=A2B1，3=4=12=60，2=120，MO
8、N=30，1=180-120-30=30，又3=60，5=180-60-30=90，MON=1=30，OA1=A1B1=3，A2B1=3，A2B2A3、A3B3A4是等边三角形，11=10=60，13=60，4=12=60，A1B1A2B2A3B3，B1A2B2A3，1=6=7=30，5=8=90，a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1，以此类推：a2019=22018a1=322018故答案是：6；322018【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1进而发现规律是解题关键6如图，
9、点A,B,C在同一直线上,ABD和BCE都是等边三角形，AE,CD分别与BD,BE交于点F,G，连接FG，有如下结论：AE=CD BFG= 60；EF=CG；ADCDFG AC 其中，正确的结论有_. (填序号) 【答案】【解析】【分析】易证ABEDBC，则有BAEBDC，AECD，从而可证到ABFDBG，则有AFDG，BFBG，由FBG60可得BFG是等边三角形，证得BFGDBA60，则有FGAC，由CDB30，可判断AD与CD的位置关系【详解】ABD和BCE都是等边三角形，BDBAAD，BEBCEC，ABDCBE60点A、B、C在同一直线上，DBE180606060，ABEDBC120在A
10、BE和DBC中，ABEDBC，BAEBDC，AECD，正确；在ABF和DBG中，ABFDBG，AFDG，BFBGFBG180606060，BFG是等边三角形，BFG=60，正确；AECD，AFDG，EF=CG；正确；ADB60，而CDB=EAB30，AD与CD不一定垂直，错误BFG是等边三角形，BFG=60，GFBDBA60，FGAB，正确故答案为【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得ABEDBC是解题的关键7如图，在中，分别是，上的点，垂足分别是，若，那么下面四个结论：；/；，其中一定正确的是（填写编号）_.【答案】，【解
11、析】【分析】连接AP，根据角平分线性质即可推出，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出QAP=QPA，推出QPA=BAP，根据平行线判定推出QPAB即可；在RtBRP和RtQSP中，只有PR=PS无法判断BRPQSP也无法证明【详解】解：连接APPRAB，PSAC，PR=PS，点P在BAC的平分线上，ARP=ASP=90，SAP=RAP，在RtARP和RtASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，AP=AP，PR=PS，AR=AS，正确；AQ=QP，QAP=QPA，QAP=BAP，QPA=BAP，QPAR，正确；在RtBRP和RtQSP中，只有PR
12、=PS，不满足三角形全等的条件，故错误；故答案为：.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.8等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是_【答案】22【解析】【分析】等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；【详解】解：因为4+4=89，049+9=18，腰的不应为4，而应为9，等腰三角形的周长=4+9+9=22.故答案为22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长
13、能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.9已知等边ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,ABC的平分线BF交CD于点F，过点A作AHCD于H，当EDC=30，CF=，则DH=_【答案】【解析】连接AF.ABC是等边三角形，AB=BC，ABC=ACB=BAC=60.DE=DC，EDC=30，DEC=DCE=75，ACF=75-60=15.BF平分ABC，ABF=CBF.在ABF和CBF中，ABFCBF，AF=CF，FAC=ACF=15，AFH=15+15=30.AHCD，AH=AF=CF=.DEC=ABC+BDE，BDE=75-60=15，ADH=15+30=45，
14、DAH=ADH=45，DH=AH=.故答案为.点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.10如图，在ABC中，AB=AC，D、E是ABC内两点，AD平分BAC，EBC=E=60，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_cm【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DFBC，AB=AC，AD平分BAC，ANBC，BN=CN，EBC=E=60，BEM为等边三角形，EFD为等边三角形，BE=6cm，DE=2cm，DM=4，BEM为等边三角形，EMB=60，ANBC，DNM=90，NDM=36，NM=2，BN=4
15、，BC=8二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11已知点M(2,2)，且OM=2，在坐标轴上求作一点P，使OMP为等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）A(2,0)B(0,4)C(4,0)D(0,8)【答案】D【解析】【分析】分类讨论：OM=OP；MO=MP；PM=PO，分别计算出相应的P点，从而得出答案【详解】M(2,2),且OM=2,且点P在坐标轴上当 时P点坐标为： ，A满足；当时：P点坐标为：，B满足；当时：P点坐标为：，C满足故答案选：D【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键12在平面直角坐标系中，等腰ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）
16、、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（）个A5B6C7D8【答案】D【解析】【分析】要使ABC是等腰三角形，可分三种情况（若AC=AB，若BC=BA，若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题【详解】若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上A（0，0），B（2，2），AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点综上所述：符合条件的点C的个数有8个故选D【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用
17、分类讨论的思想是解决本题的关键13如图，在射线，上分别截取，连接，在，上分别截取，连接，按此规律作下去，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论【详解】解：，同理，故选：【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键14点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上且APO是等腰三角形，这样的点P共有（）个A6B7C8D9【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，要使AOP是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平
18、分线，和坐标轴出现2个交点；当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P共8个【详解】如图，分两种情况进行讨论： 当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；满足条件的点P共有8个，故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决15如图,中,，垂直的角平分线于,为的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )A1.5B3C4.5D9
19、【答案】C【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差=SADC，然后由DCAC时，ACD的面积最大求出结论即可【详解】延长BD交AC于点H设AD交BE于点OADBH，ADB=ADH=90，ABD+BAD=90，H+HAD=90BAD=HAD，ABD=H，AB=AHADBH，BD=DHDC=CA，CDA=CADCAD+H=90，CDA+CDH=90，CDH=H，CD=CH=ACBD=DH，AC=CH，SCDH=SADHSABHAE=EC，SABESABH，SCDH=SABESOBDSAOE=SADBSABE=SADHSCDH=SACDAC=CD=3，当DCAC时，ACD的面积最大，最大面积为3
20、3故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题16如图，四边形ABCD中，BAD120，BD90，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为（ ）A130B120C110D100【答案】B【解析】根据要使AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A，A，即可得出AAMAHAA60，进而得出AMNANM2(AAMA)即可得出答案：如图，作A关于BC和ED的对称点A，A，连接AA，交BC于M，交CD于N，则AA即为AMN的周长最小
21、值作DA延长线AHBAD120，HAA60AAMAHAA60MAAMAA，NADA，且MAAMAAAMN，NADAANM，AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)260120故选B17如图，四边形ABCD中，C=，B=D=，E，F分别是BC，DC上的点，当AEF的周长最小时，EAF的度数为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】【详解】作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时AEF的周长最小，由四边形的内角和为360可知，BAD=360-90-90-50=130，即1+2+3=130，由作图可知，1=G，3=H，AGH的内角和为
22、180，则2（1+3）+ 2=180，又联立方程组，解得2=80故选D考点：轴对称的应用；路径最短问题18如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:BPCM；ABQCAP；CMQ的度数不变，始终等于60；当第秒或第秒时，PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ根据等边三角形的性质，利用SAS证明ABQCAP；由ABQCAP根据全等三角形的性质可得BAQ=ACP，从而得到CMQ
23、=60；设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当PQB=90时，因为B=60，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当BPQ=90时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论【详解】在等边ABC中，AB=BC点P、Q的速度都为1cm/s，AP=BQ，BP=CQ只有当CM=CQ时，BP=CM故错误；ABC是等边三角形ABQ=CAP，AB=CA，又点P、Q运动速度相同，AP=BQ，在ABQ与CAP中，ABQCAP（SAS）故正确；点P、Q在运动的过程中，QMC不变理由：ABQCAP，BAQ=ACP，QMC=ACP+MAC，CMQ=BAQ+MA
24、C=BAC=60故正确；设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当PQB=90时，B=60，PB=2BQ，即4-t=2t，t=，当BPQ=90时，B=60，BQ=2BP，得t=2（4-t），t=，当第秒或第秒时，PBQ为直角三角形故正确正确的是，故选C【点睛】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识熟知等边三角形的三个内角都是60是解答此题的关键19如图，在ABC中，A=36，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD有下列结论：C=2A；BD平分ABC；SBCD=SBOD其中正确的选项是（）ABCD【答案】D【解析】、A=36，AB=AC，C=ABC=72，C=2A，正确；、DO是AB垂直平分线，AD=BDA=ABD=36DBC=7236=36=ABDBD是ABC的角平分线，正确；，根据已知不能推出BCD的面积和BOD面积相等，错误；故选：D.20如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（ ）A1+B1+C2-D-1【答案】B【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为；第一次折叠后，等腰三角形的底边长为，腰长为，所以周长为.故答案为B.
