1、第21章 二次函数与反比例函数 单元测试一、选择题 1.下列函数中，反比例函数是（ ） A.y=x-1B.y=C.y=x2+3x+1D.y=【答案】D 2.二次函数图象的顶点坐标是（） A.(-1,3)B.(1,3)C.(-1,-3)D.(1,-3)【答案】B 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（） A.图象过（1，2）点B.图象在第一、三象限C.当x0时，y随x的增大而减小D.当x0时，y随x的增大而增大【答案】D 4.如图，已知顶点为（3，6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点A，点（2，m）和（5，n）在该抛物线上，则下列结论中不正确的是（）A.4acB.mnC.方程a+bx+c=4
2、的两根为5或1D.a+bx+c6【答案】B 5.已知三点P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），P3（x3 ， y3）都在反比例函数y=-的图象上，若x10x2x3， 则下列式子正确的是（） A.y1y2y3B.y3y2y1C.y2y3y1D.y1y3y2【答案】D 6.若y4与x2成正比例，当x=2时，y=6，则y与x的函数关系式是（） A.y=x2+4B.y=x2+4C.y=x2+4D.y=x2+4【答案】D 7.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）中，x与y的部分对应值如下表：x3210y0343下列结论：ac0；当x1时，y随x的增大而增大；4是方程ax2+
3、（b4）x+c=0的一个根；当1x0时，ax2+（b1）x+c+30其中正确结论的个数为（ ） A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】C 8.已知二次函数的图象（0x3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最小值0，有最大值3B.有最小值1，有最大值0C.有最小值1，有最大值3D.有最小值1，无最大值【答案】C 9.若A(4，y1)，B(3，y2），C(1，y3)为二次函数yx24x5的图象上的三点，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是 ( ) A.y1 y2 y3B.y2y1y3C.y3y1y2D.y1y3 y2 【答案】B 10.已知一块蓄电池的电压为
4、定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（）A.I=B.I=C.I=D.I=-【答案】C 11. 已知点A（2，y1），B（3，y2）是反比例函数y=（k0）图象上的两点，则有（） A.y10y2B.y20y1C.y1y20D.y2y10【答案】B 12.在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点。如图，已知O的半径为5，则抛物线 与该圆所围成的阴影部分（不包括边界）的整点个数是（ ）A.24B.23C.22D.21【答案】D 二、填空题 13.普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，它的可使用天数y与平均每天使用的
5、小时数x之间的函数关系式为_ 【答案】y=14.已知二次函数 ，当x_时， 随 的增大而减小 【答案】2 15.点（a1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y= （k0）的图象上，若y1y2 ， 则a的取值范围是_ 【答案】1a1 16.已知A（4，y1）、B（4，y2）是抛物线y=（x+3）22的图象上两点，则y1_y2 【答案】 17. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=_ 【答案】1.6 18.二次
6、函数 的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是_ 【答案】（-4，-4） 19.如图，是反比例函数y=和y=（k1k2）在第一象限的图象，直线ABx轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若SAOB=2，则k2k1的值为_【答案】4 20.抛物线：y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是_ 【答案】（1，0） 21. 已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C，我们称以A为顶点且过点C，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC为抛物线p的“梦之星”直线若一条抛物线的
7、“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为_ 【答案】y=x22x3 三、解答题 22.已知抛物线y=3ax2+2bx+c，（1）若a=3k，b=5k，c=k+1，试说明此类函数图象都具有的性质；（2）若a=， c=2+b且抛物线在2x2区间上的最小值是3，求b的值；（3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由 【答案】解：（1）a=3k，b=5k，c=k+1，抛物线y=3ax2+2bx+c可化为y=9kx2+10kx+k+1=（9x2+10x+1）k+1令9x2+10x+1=0，解得图象必过（1，1），（，1），
8、对称轴为直线x=（2）a=，c=2+b，抛物线y=3ax2+2bx+c可化为y=x2+2bx+2+b对称轴为直线x=b当b2时即b2，x=2时y取到最小值为34+4b+2+b=3，解得b=（不符合），当b2时即b2，x=2时y取到最小值为34+4b+2+b=3，解得b=3；当2b2时即2b2，解得：(不符合），b=3或，（3）a+b+c=1，c1=ab令y=1，则3ax2+2bx+c=1=4b24（3a）（c1），=4b2+4（3a）（a+b）=9a2+12ab+4b2+3a2=（3a+2b）2+3a2 ， a0，（3a+2b）2+3a20，0，存在必实数x，使得相应的y的值为1 23.如图，
9、抛物线y=ax2-2ax+b经过点C（0，），且与x轴交于点A、点B，若tanACO=（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P是线段OB上一动点（不与点B重合），MPQ=45，射线PQ与线段BM交于点Q，当MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标 【答案】解：（1）C（0，），OC=.tanACO=，OA=1.A(-1，0).点A,C在抛物线y=ax2-2ax+b上，解得.此抛物线的解析式为y=x2-x-.（2）y=x2-x-=(x-1)2-2，M(-1,-2).令y=x2-x-=0，得x1=-1,x2=3，B(3,0).如图，作MHOB于点H，则MH=BH=2，MBO=45=MBP
10、.又PMQ=BMP，MPQMBP.当MPQ为等腰三角形时，MBP也为等腰三角形.当MQ=PQ时，PM=BP，BMP=MBP=45，MPB=90，点P与点H重合，即P(1，0).当MQ=MP时，MP=MB，MPB=45，BMP=90，PH=BH=2，即P(-1，0)（舍去）.当MP=PQ时，BP=BM=，P(3-,0).综上所述，当MPQ为等腰三角形时，点P的坐标为(1，0)或(3-,0).24.某公司生产A种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之
11、间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：x（万元）00.511.52y11.2751.51.6751.8（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？（3）如果公司希望年利润W（万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围 【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c，由题意，得，解得：，y=0.1x2+0.6x+1；（2）由题意，得W=（86）5（0.1x2+0.
12、6x+1）x，W=x2+5x+10，W=（x2.5）2+16.25a=10，当x=2.5时，W最大=16.25答：年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式为W=x2+5x+10，每年投入的广告费是2.5万元时所获得的利润最大为16.25万元（3）当W=14时，x2+5x+10=14，解得：x1=1，x2=4，1x4时，年利润W（万元）不低于14万元 25.如图，抛物线与x轴交于点A（， 0），点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC（1）求抛物线的解析式；（2）N为抛物线上的一个动点，过点N作NPx轴于点P，设点N的横坐标为t（），求ABN的面积s与t的函数解析式；（3）若0
13、t2且t0时，OPNCOB，求点N的坐标【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意可得：，解得：抛物线的函数关系式为y=x2+x+1；（2）当t2时，yN0，NP=|yN|=yN=t2+t+1，S=ABPN=（2+）（t2+t+1）=（t2+t+1）=t2+t+；（3）OPNCOB，=，=，PN=2PO当0t2时，PN=|yN|=yN=t2+t+1，PO=|t|=t，t2+t+1=2t，整理得：3t2t2=0，解得：t3=，t4=10，012，t=1，此时点N的坐标为（1，2）故点N的坐标为（1，2） 26.如图，抛物线y= x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C
14、点，且A（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是x轴上的一个动点，当DCM的周长最小时，求点M的坐标 【答案】（1）解：点A（1，0）在抛物线 上， ，解得 ，抛物线的解析式为 ，顶点D的坐标为 （2）解：ABC是直角三角形理由如下：当x=0时，y=2，C（0，2），则OC=2当y=0时， ，x1=1，x2=4，则B（4，0），OA=1，OB=4，AB=5AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，AC2+BC2=AB2 ， ABC是直角三角形（3）解：作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2）连接CD交
15、x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，CDM的周长最小设直线CD的解析式为y=ax+b（a0），则，解得 ， 当y=0时， ，则 ， 27.如图，四边形OABC为直角梯形，A（4,0），B（3,4），C（0,4）。点M从O出发，以每秒2个单位长度的速度向A运动，点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动。其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。过点N作NP垂直于x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ。（1）点_（填M或N）能到达终点； （2）求AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大； （3）是否存在点M，使得AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由 【答案】（1）M（2）解：经过t秒时， ， ，则 ， = = ， 当 时，S的值最大（3）解：存在。设经过t秒时，NB=t，OM=2t ，则 ， = = 若 ，则 是等腰Rt 底边 上的高， 是底边 的中线 ， ， ， 点 的坐标为（1，0）若 ，此时 与 重合， ， ，t=1,点 M 的坐标为(2,0). 第 13 页
