1、专题五解直角三角形的实际应用类型一 母子型(2015河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48.若坡角FAE30，求大树的高度(结果保留整数参考数据：sin 480.74，cos 480.67，tan 481.11，1.73)例1题图【分析】 根据所求构造直角三角形，在直角三角形中，利用锐角三角函数的性质求解问题即可【自主解答】如解图，延长BD交AE于点G，过点D作DHAE于点H.例1题解图由题意，得DAEBGH30，DA6，GDDA6，GHAHDAcos 303，
2、GA6.设BCx米，在RtGBC中，GCx.在RtABC中，AC.GCACGA，x6，解得x13.即大树的高度约为13米1(2018泰州)日照间距系数反映了房屋日照情况如图，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数L(HH1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度如图，山坡EF朝北，EF长为15 m，坡度为i10.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB，底部A到E点的距离为4 m.(1)求山坡EF的水平宽度FH；(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于1.2
3、5，底部C距F处至少多远？图图2.(2018商丘模拟)如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是FDC30，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i43，坡高BE8米，求小船C到岸边的距离CA的长？(参考数据：1.7，结果保留一位小数)3如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45.已知山坡AB的坡度i1，AB10米，AE15米，求这块宣传牌CD的高度(测角器的高度忽略不计
4、，结果精确到0.1米参考数据：1.414，1.732)4(2018新乡一模)如图，为探测某座山的高度AB，某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31，此时飞机的飞行高度为CH4千米；保持飞行高度与方向不变，继续向前飞行2千米到达D处，测得山顶A处的俯角为50.求此山的高度AB.(参考数据：tan 300.6，tan 501.2)5(2018烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时，数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间
5、测速在l外取一点P，作PCl，垂足为点C.测得PC30米，APC71，BPC35.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速(参考数据：sin 350.57，cos 350.82，tan 350.70，sin 710.95，cos 710.33，tan 712.90)6(2018河南说明与检测)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角CED60，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30，求拉线CE的长(参考数据：1.41，1.73.结果保留一位小数)7(2018河南说明与检测)某数
6、学兴趣小组在学习锐角三角函数以后，开展测量物体高度的实践活动，他们在河边的一点A处测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为66、塔底B的仰角为60，已知铁塔的高度BC为20 m(如图)，你能根据以上数据求出小山的高BD吗？8(2018河南说明与检测)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300 cm，AB的倾斜角为30，BECA50 cm，支撑角钢CD、EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FEAB于点E.两个底座地基高度相同
7、(即点D、F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米(结果保留根号) 9(2018遵义)如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64，吊臂底部A距地面1.5 m(计算结果精确到0.1 m，参考数据sin 640.90，cos 640.44，tan 642.05)(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时，吊臂AB的长为_m；(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)类型二 背靠背型(2018河南)“高
8、低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答如图所示，底座上A，B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4，高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长(结果精确到1 cm，参考数据sin 82.40.991，cos 82.40.132，tan 82.47.500，s
9、in 80.30.983，cos 80.30.168，tan 80.35.850)例2题图【分析】 利用锐角三角函数，在RtACE和RtDBF中，分别求出AE、BF的长计算出EF.通过矩形CEFH的性质得到CH的长【自主解答】解：在RtACE中，AE20.7，在RtBDF中，BF40，在矩形CEFH中，CHEF，CHEFAEABBF20.79040151(cm)答：高低杠间的水平距离CH的长为151 cm.1(2018驻马店一模)小明利用寒假进行综合实践活动，他想利用测角仪和卷尺测量自家所住楼(甲楼)与对面邮政大楼(乙楼)的高度，现小明用卷尺测得甲楼宽AE是8 m，用测角仪在甲楼顶E处与A处测
10、得乙楼顶部D的仰角分别为37和42，同时在A处测得乙楼底部B处的俯角为32，请根据小明测得数据帮他计算甲、乙两个楼的高度(精确到0.01 m)(cos 320.85，tan 320.62，cos 420.74，tan 420.90，cos 370.80，tan 370.75)2(2018甘肃省卷)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程已知：CAB30，CBA45，AC640公里，求隧道打通后与打通前相比，
11、从A地到B地的路程将约缩短多少公里？(参考数据：1.7，1.4)3(2018常州)京杭大运河是世界文化遗产综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB160 m，CD40 m，再用测角仪测得CAB30，DBA60，求该段运河的河宽(即CH的长)4(2018眉山)知识改变世界，科技改变生活导航装备的不断更新极大方便了人们的出行如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60方向行驶至B地，再沿北偏西37方向行驶一段距离才能到达
12、C地，求B、C两地的距离(参考数据：sin 53，cos 53，tan 53)5.(2018河南说明与检测)如图，B地在A地的北偏东56方向上，C地在B地的北偏西19方向上，原来从A地到C地的路线为ABC，现在沿A地北偏东26方向新修了一条直达C地的公路，路程比原来少了20千米求从A地直达C地的路程(结果保留整数参考数据：1.41，1.73)6(2018河南说明与检测)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i1的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37，量得仪器的高DE为1.5米，已知A，B，C，D，E在同一平面内
13、，ABBC，ABDE，求旗杆AB的高度(参考数据：sin 37，cos 37，tan 37.计算结果保留根号)7(2018河南说明与检测)中国南海是中国固有领海，我方渔政船经常在此海域执勤巡察，一天我方渔政船停在小岛A北偏西37方向的B处，观察A岛周边海域，据测算，渔政船距A岛的距离AB长为10海里，此时位于A岛正西方向C处的我方渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号，渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需要多少分钟能到达渔船所在的C处？(参考数据：sin 370.60，cos 370.80，sin 500.7
14、7，cos 500.64，sin 530.80，cos 530.60，sin 400.64，cos 400.77)8(2018河南说明与检测)如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB2 km.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60的方向，从B测得小船在北偏东45的方向(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15的方向求点C与点B之间的距离(上述两小题的结果都保留根号)9(2018衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30的方向行走2 000米到达石鼓书院A处，参观后又
15、从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45方向的雁峰公园B处，如图所示(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？参考答案类型一针对训练1解：(1)iEF10.75，设EH4x，则FH3x，EF5x15，x3，FH3x9，即山坡EF的水平宽度FH为9 m.第1题解图(2)如解图，延长BA、FH交于点G，则AGEH4312，GHAE4，BGBAAG22.51234.5.设CFy，则CGCFFHGHy94y13，由题知CG(BGCP)1.25，1.25，解得y29，底
16、部C距F处至少29 m远2解：如解图，延长DG交CA于点H，得RtABE和矩形BEHG.i，第2题解图BE8，AE6，DG1.5，BG1，DHDGGH1.589.5，AHAEEH617.在RtCDH中，CFDC30，DH9.5，CH9.5.又CHCAAH，即9.5CA7，CA9.2(米)答：CA的长约是9.2米3解：如解图，过点B作BFAE，交EA的延长线于点F，作BGDE于点G.RtABF中，itanBAF，第3题解图BAF30，BFAB5，AF5.BGAFAE515.RtBGC中，CBG45，CGBG515.RtADE中，DAE60，AE15，DEAEtan 60AE15.CDCGGEDE
17、51551520102.7 m.答：宣传牌CD高约2.7米4解：如解图，延长BA交CD的延长线于点E，则BECE，CHBE4千米，设AEx千米，第4题解图RtADE中，ADE50，DEx.CEx2.RtACE中，ACE31，AECEtan 31，即x0.6(x2)，解得x2.4，ABBEAE42.41.6(千米)答：山的高度AB约为1.6千米5解：在RtAPC中，ACPCtanAPC30tan 71302.9087米，在RtBPC中，BCPCtanBPC30tan 35300.7021米，则ABACBC872166米，该汽车的平均速度为11 m/s，40 km/h11.1 m/s，该车没有超速
18、6解：如解图，过点A作AHCD，垂足为点H，由题意知，四边形ABDH为矩形，CAH30，第6题解图ABDH1.5，BDAH6.在RtACH中，CHAHtanCAH，CH6tan 302(米)DH1.5，CD(21.5)(米)在RtCDE中，CED60，CE45.7(米)，答：拉线CE的长约为5.7米7解：能求出小山的高，设小山的高BD为x m.在RtABD中，AD.同理，在RtACD中，AD.即.解得：x67.4.答：小山的高BD约为67.4 m.8解：如解图，过点A作AGCD，垂足为点G，则CAG30，在RtACG中，第8题解图CGCAsin 305025.由题意得GD503020，则CDC
19、GGD252045.连接FD并延长与BA的延长线交于点H.由题意得H30.在RtCDH中，CH2CD90，EHECCHABBEACCH300505090290.在RtEFH中，EFEHtan 30290.支撑角钢CD的长度为45 cm，EF的长度为 cm.9解：(1)11.4【解法提示】在RtABC中，BAC64，AC5 m，AB50.4411.4 m；第9题解图(2)如解图，过点D作DH地面于H，交水平线于点E，在RtADE中，AD20 m，DAE64，EH1.5 m，DEsin 64AD200.918 m，即DHDEEH181.519.5 m，答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m，那
20、么从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m.类型二针对训练1解：如解图，过点A作ANBD于点N，第1题解图在RtDNE，tan 370.75，设DN3x，则EN4x，在RtDNA中，有DN3x，AN4x8，tan420.90，解得：x12，DN31236，AN412840，在RtBNA中，由题意知NAB32，tan 32，BNtan 32AN24.8，DBDNBN3624.860.8，ACBN24.8，答：甲楼的高为60.8 m，乙楼的高为24.8 m.2解：如解图，过点C作CDAB于点D，在RtADC和RtBCD中，CAB30，CBA45，AC640，CDAC320，AD320，BDCD32
21、0，BC320，ACBC6403201088，ABADBD320320864，1088864224(公里)，答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里第2题解图3解：如解图，过D作DEAB于点E，可得四边形CHED为矩形，HECD40 m，设CHDEx m，在RtBDE中，DBA60，BEx m，在RtACH中，BAC30，AHx m，由AHHEEBAB160 m，得x40x160，解得：x30，即CH30 m，答：该段运河的河宽为30 m.第3题解图4解：如解图，过点B作BDAC于点D，则BAD60，DBC903753，第4题解图设ADx，在RtABD中，BDADtan
22、BADx，在RtBCD中，CDBDtanDBCxx，由ACADCD可得xx13，解得：x43，则BC(43)205，即BC两地的距离为(205)千米5解：如解图，过点B作BDAC，垂足为D.设BDx.第5题解图在RtABD中，BAD562630，AB2x，ADx.在RtBCD中，C261945，BCx，CDx.ACxx.由题意得ABBCAC20，2xx(xx)20，解得x29.4.AC2.7329.480.26280(千米)从A地直达C地的路程约为80千米6解：如解图，延长ED交BC延长线于点F，则CFD90，第6题解图tanDCFi，DCF30，CD4，DFCD2，CFCDcosDCF42.
23、BFBCCF224.过点E作EGAB于G，则GEBF4，BGEFEDDF1.523.5，又AEG37，AGGEtanAEG4tan373.ABAGBG(33.5)米答：旗杆AB的高度约为(33.5)米7解：如解图，过点B作BDAC，垂足为D，第7题解图根据题意，得ABDBAM37，CBDBCN50，在RtABD中，cosABD.BDABcos 37100.88(海里)在RtCBD中，cosCBD，BC12.5(海里)12.530(小时)，6025(分钟)渔政船大约需25分钟能到达渔船所在的C处8解：(1)如解图，过点P作PDAB于点D，设PDx，由题意得知，PBD45，PAD30.在RtBDP
24、中，BDPDx，在RtPDA中，ADPDx，AB2 km，xx2，解得x1，点P到海岸线l的距离为(1) km.(2)如解图，过点B作BFCA于点F，在RtABF中，BFABsin3021 km.在ABC中，C180BACABC1803045451545，在RtBFC中，BCBF1 km.点C与点B之间的距离为 km.第8题解图9解：(1)如解图，过点C作CPAB于P，第9题解图由题意可得：A30，AC2 000米，则CPAC1 000米；答：这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离为1 000米(2)在RtPBC中，PC1 000米，PBCBPP45，BCPC1 000米这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆需要的时间为1015.他在15分钟内能到达宾馆
