1、 理解独立重复试验首先要弄清以下几个问题：理解独立重复试验首先要弄清以下几个问题：(1)(1)独立重复试验必须具备的条件独立重复试验必须具备的条件每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变.各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立.每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的.独立重复试验概率的求法独立重复试验概率的求法(2)(2)求事件求事件A A发生的概率时直接套用公式发生的概率时直接套用公式P(X=k)=pP(X=k)=pk k(1-p)(1-p)n-kn-k
2、.(3)(3)关注点关注点求概率时应结合排列组合知识进行计算求概率时应结合排列组合知识进行计算.独立重复试验的原理是有放回地抽样检验问题，独立重复试验的原理是有放回地抽样检验问题，在实际生产中有广泛的应用在实际生产中有广泛的应用.knC【例例1 1】(2011(2011保定高二检测保定高二检测)某同学练习投篮，已知他每某同学练习投篮，已知他每次投篮命中率为次投篮命中率为(1)(1)求在他第三次投篮时，首次投中的概率求在他第三次投篮时，首次投中的概率.(2)(2)若想使他投中的概率达到若想使他投中的概率达到0.990.99，则他至少需投多少次？，则他至少需投多少次？【审题指导审题指导】问题问题(
3、1)(1)等价于投三次篮，恰好第三次命中，等价于投三次篮，恰好第三次命中，问题问题(2)(2)等价于投球等价于投球n n次，至少有一个投中的概率不小于次，至少有一个投中的概率不小于0.99.0.99.解决这两问可根据相应的概率模型求解解决这两问可根据相应的概率模型求解.4.5【规范解答规范解答】(1)(1)第三次首次投中则说明第一、二次未投入，第三次首次投中则说明第一、二次未投入，故故“第三次首次投中第三次首次投中”的概率为：的概率为：4444P(1)(1).555125(2)(2)设需投设需投n n次，即在次，即在n n次投篮中至少投进一个，则对立事件次投篮中至少投进一个，则对立事件为为“n
4、 n次投篮中全未投入次投篮中全未投入”.故故两边取对数得：两边取对数得：lg0.2lg0.2n nlg0.01lg0.01n(lg 2-1)-2n(lg 2-1)-2n3.n3.他至少需投他至少需投3 3次次.nn41(1)0.990.20.01.5，2nlg 20.3,lg2 12 n(nN)0.7故，又【变式训练变式训练】某气象站天气预报的准确率为某气象站天气预报的准确率为80%80%，计算：，计算：(结果保留到小数点后面第结果保留到小数点后面第2 2位位)(1)5(1)5次预报中恰有次预报中恰有2 2次准确的概率；次准确的概率；(2)5(2)5次预报中至少有次预报中至少有2 2次准确的概
5、率；次准确的概率；(3)5(3)5次预报中恰有次预报中恰有2 2次准确，且第次准确，且第3 3次预报准确的概率次预报准确的概率.【解题提示解题提示】由题意可知，本题可用独立重复试验的由题意可知，本题可用独立重复试验的知识解决知识解决.【解析解析】(1)(1)记预报一次准确的事件为记预报一次准确的事件为A A，则，则P(A)=0.8,5P(A)=0.8,5次次预报相当于预报相当于5 5次独立重复试验，次独立重复试验，2 2次预报准确的概率为次预报准确的概率为(2)(2)“5 5次预报中至少有次预报中至少有2 2次准确次准确”的对立事件为的对立事件为“5 5次预报次预报全部不准确或只有全部不准确或
6、只有1 1次准确次准确”，其概率其概率所求概率约为所求概率约为1-P=1-0.01=0.99.1-P=1-0.01=0.99.2235PC0.80.20.051 20.05.051455PC0.2C0.8 0.20.006 720.01.(3)(3)说明第说明第1 1，2 2，4 4，5 5次中恰有次中恰有1 1次准确次准确.概率为概率为恰有恰有2 2次准确，且其中第次准确，且其中第3 3次预报准确的概率约为次预报准确的概率约为0.02.0.02.134PC0.8 0.20.80.020 480.02.利用二项分布求概率利用二项分布求概率 对公式对公式P(X=k)=P(X=k)=的正确理解的正
7、确理解.(1)(1)(1-p)+p(1-p)+pn n的展开式中，第的展开式中，第k+1k+1项为项为T Tk+1k+1=那么那么P(X=k)P(X=k)就是就是(1-p)+p(1-p)+pn n展开式中的第展开式中的第k+1k+1项，对于公项，对于公式式P(X=k)=pP(X=k)=pk k(1-p)(1-p)n-kn-k(k=0,1,2,(k=0,1,2,，n)n)必须在满足必须在满足“独独立重复试验立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式时才能运用，否则不能应用该公式.kkn knC p(1p)kn kknC(1p)p,knC(2)(2)正确理解其条件以及参数正确理解其条件以及参数n,
8、p,kn,p,k的意义是运用公式的前的意义是运用公式的前提，一般含有提，一般含有“恰好恰好”、“恰有恰有”等字样的问题往往考虑等字样的问题往往考虑独立重复试验模型独立重复试验模型.【例例2 2】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和和 假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.(1)(1)求甲连续射击求甲连续射击4 4次至少有次至少有1 1次未击中目标的概率；次未击中目标的概率；(2)(2)求两人各射击求两人各射击
9、4 4次，甲恰有次，甲恰有2 2次击中目标且乙恰有次击中目标且乙恰有3 3次击次击中目标的概率中目标的概率.【审题指导审题指导】解题的关键是分清问题是否服从二项分布，解题的关键是分清问题是否服从二项分布，同时结合对立事件、相互独立事件概率公式的应用解题同时结合对立事件、相互独立事件概率公式的应用解题.233.4【规范解答规范解答】(1)(1)记记“甲连续射击甲连续射击4 4次至少有次至少有1 1次未击中目标次未击中目标”为事件为事件A A1 1.由题意，射击由题意，射击4 4次，相当于做了次，相当于做了4 4次独立重复试验，次独立重复试验，故故 即甲连续射击即甲连续射击4 4次至少有次至少有1
10、 1次次未击中目标的概率为未击中目标的概率为411265P(A)1P A1().381 65.81(2)(2)记记“甲射击甲射击4 4次，恰有次，恰有2 2次击中目标次击中目标”为事件为事件A A2 2，“乙射乙射击击4 4次，恰有次，恰有3 3次击中目标次击中目标”为事件为事件B B2 2，则，则由于甲、乙两人射击是否击中目标相互独立，故由于甲、乙两人射击是否击中目标相互独立，故即两人各射击即两人各射击4 4次，甲恰有次，甲恰有2 2次击中目标且乙恰有次击中目标且乙恰有3 3次击中目标的概率为次击中目标的概率为224 224334 324228P AC()(1),33273327P BC()
11、(1).446422228271P A BP(A)P B.276481.8【互动探究互动探究】在本例中，甲、乙两人各射击在本例中，甲、乙两人各射击3 3次后，击中目次后，击中目标次数相同的概率标次数相同的概率.【解题提示解题提示】分都击中分都击中0 0次，都击中次，都击中1 1次，都击中次，都击中2 2次，次，都击中都击中3 3次四种情况求解次四种情况求解.【解析解析】甲、乙两人都击中甲、乙两人都击中0 0次的概率为：次的概率为：甲、乙两人都击中甲、乙两人都击中1 1次的概率为次的概率为甲、乙两人都击中甲、乙两人都击中2 2次的概率为次的概率为33231(1)(1)341 7281212332
12、 1311C()C().334432 22223321313C()C().334416 甲、乙两人都击中甲、乙两人都击中3 3次的概率为次的概率为甲、乙两人各射击甲、乙两人各射击3 3次，击中目标次数相同的概率次，击中目标次数相同的概率33231()()348，1131595P.1 728321681 728【例例】9 9粒种子分种在粒种子分种在3 3个坑内个坑内,每坑每坑3 3粒，每粒种子发芽的粒，每粒种子发芽的概率为概率为0.5,0.5,若一个坑内至少有若一个坑内至少有1 1粒种子发芽，则这个坑不需粒种子发芽，则这个坑不需要补种要补种,若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种若一个坑内的
13、种子都没发芽，则这个坑需要补种.(1)(1)求甲坑不需要补种的概率；求甲坑不需要补种的概率；(2)(2)求求3 3个坑中恰有个坑中恰有1 1个坑不需要补种的概率；个坑不需要补种的概率；(3)(3)求有坑需要补种的概率求有坑需要补种的概率(精确到精确到0.001).0.001).【审题指导审题指导】把一个坑需要补种看作事件把一个坑需要补种看作事件A A，则三个坑相当，则三个坑相当于做了三次试验，从而把问题进行了转化，分清各问题中于做了三次试验，从而把问题进行了转化，分清各问题中的等价条件，结合二项分布可求相应的概率的等价条件，结合二项分布可求相应的概率.【规范解答规范解答】(1)(1)因为甲坑内
14、的因为甲坑内的3 3粒种子都不发芽的概率为粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)(1-0.5)3 3=,=,所以甲坑不需要补种的概率为所以甲坑不需要补种的概率为(2)3(2)3个坑恰有个坑恰有1 1个坑不需要补种的概率为个坑不需要补种的概率为(3)(3)方法一：因为方法一：因为3 3个坑都不需要补种的概率为个坑都不需要补种的概率为 所以有所以有坑需要补种的概率为坑需要补种的概率为181710.875.8812371C()0.041.8837(),8371()0.330.8方法二：方法二：3 3个坑中恰有个坑中恰有1 1个坑需要补种的概率为个坑需要补种的概率为3 3个坑中恰有个坑中恰有2 2个坑需
15、要补种的概率为个坑需要补种的概率为3 3个坑都需要补种的概率为个坑都需要补种的概率为所以有坑需要补种的概率为所以有坑需要补种的概率为0.287+0.041+0.002=0.330.0.287+0.041+0.002=0.330.12317C()0.287.8822317C()0.041.88330317C()()0.002.88【变式备选变式备选】在每道单项选择题给出的在每道单项选择题给出的4 4个备选答案中，只个备选答案中，只有一个是正确的有一个是正确的.若对若对4 4道选择题中的每一道都任意选定一道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这个答案，求这4 4道题中：道题中：(1)(1)恰有两
16、道题答对的概率；恰有两道题答对的概率；(2)(2)至少有一道题答对的概率至少有一道题答对的概率.【解题提示解题提示】设设“选择每道题的答案选择每道题的答案”为一次试验，则这为一次试验，则这是是4 4次独立重复试验，且每次试验中次独立重复试验，且每次试验中“选择正确选择正确”这一事件这一事件发生的概率为发生的概率为 设这设这4 4道题中，有道题中，有X X道题答对，则道题答对，则X XB(4B(4，).).1.414【解析解析】(1)(1)视视“选择每道题的答案选择每道题的答案”为一次试验，则这是为一次试验，则这是4 4次独立重复试验，且每次试验中次独立重复试验，且每次试验中“选择正确选择正确”
17、这一事件发这一事件发生的概率为生的概率为 由独立重复试验的概率计算公式得：由独立重复试验的概率计算公式得：恰有两道题答对的概率为恰有两道题答对的概率为1.4 222441327P2C()().44128(2)(2)方法一：至少有一道题答对的概率为方法一：至少有一道题答对的概率为方法二：至少有一道题答对的概率为方法二：至少有一道题答对的概率为 0044413811751P 01 C()()1.44256256 1322233440444413131313C()()C()()C()()C()()4444444410854121175.256256256256256【典例典例】(12(12分分)甲、
18、乙两队参加世博会知识竞赛，每队甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3 3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分零分.假设甲队中每人答对的概率均为假设甲队中每人答对的概率均为 乙队中乙队中3 3人答对的人答对的概率分别为概率分别为 且各人答对正确与否相互之间没有影响且各人答对正确与否相互之间没有影响.用用X X表示甲队的总得分表示甲队的总得分.(1)(1)求随机变量求随机变量X X的分布列；的分布列；(2)(2)用用A A表示表示“甲、乙两个队总得分之和等于甲、乙两个队总得分之和等于3”3”这一事件，这一事件，用用B B表示表示“甲
19、队总得分大于乙队总得分甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求这一事件，求P(AB).P(AB).23，2 2 13 3 2，【审题指导审题指导】(1)(1)求随机变量求随机变量X X的分布列关键是明确的分布列关键是明确X X的取值的取值及各个取值对应的概率及各个取值对应的概率.可考虑二项分布求概率可考虑二项分布求概率.(2)(2)明确明确P(AB)P(AB)的含义及甲队总得分大于乙队总得分的含义的含义及甲队总得分大于乙队总得分的含义.可考虑利用互斥事件结合二项分布求概率可考虑利用互斥事件结合二项分布求概率.【规范解答规范解答】(1)(1)由题意知，由题意知，X X的可能取值为的可能取值为0 0
20、，1 1，2 2，3 3，且且2 2分分 4 4分分03321P X0C(1)327，123222P X1C(1),339223224P X2C()(1),33933328P X3C(),327所以所以X X的分布列为的分布列为 6 6分分 (2)(2)用用C C表示表示“甲得甲得2 2分乙得分乙得1 1分分”这一事件，用这一事件，用D D表示表示“甲得甲得3 3分乙得分乙得0 0分分”这一事件，这一事件，AB=CD,C,DAB=CD,C,D互斥互斥.8 8分分1010分分1212分分 22342221112111110P CC()(1)(),333322323323 54554P D,310
21、43434P ABP CP D.333243【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练即时训练】从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是率都是 设设X X为途中遇到红灯的次数为途中遇到红灯的次数.(1)(1)求随机变量求随机变量X X的分布列的分布列.(2)(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.25，【解析解析】(1)(1)由题意由题意0033223
22、27XB(3,),P X0C()()555125则1123221333032354P X1C()().551252336P X2C()()55125238P X3C()().55125XX的分布列为：的分布列为：(2)(2)由题意知由题意知“至少遇到一次红灯至少遇到一次红灯”的对立事件是的对立事件是“一次红一次红灯都没有遇到灯都没有遇到”.因此有因此有2798P X11P X01.125125 1.1.已知随机变量已知随机变量X XB(4,)B(4,)，则，则P(X2)P(X2)等于等于()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选C.P(X2)=1-P(X=0)-P
23、(X=1)C.P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)1211615161116916004113441111111 C()()C()().222216 2.2.将一枚硬币连续掷将一枚硬币连续掷3 3次，恰有次，恰有2 2次正面向上的概率为次正面向上的概率为()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选B.B.34381314223113PC()(1).2283.3.打靶时，甲每打打靶时，甲每打1010靶可中靶靶可中靶8 8次，则他打次，则他打100100发子弹有发子弹有4 4发发中靶的概率为中靶的概率为()()(A)(0.8)(A)(0.8)4 40.20.296
24、96 (B)0.8 (B)0.84 4(C)0.8(C)0.84 40.20.296 96 (D)0.2 (D)0.24 40.80.89696【解析解析】选选A.10A.10靶可中靶靶可中靶8 8次得出中靶的概率为次得出中靶的概率为0.80.8，不中，不中的概率为的概率为0.2.0.2.打打100100发子弹可看作进行了发子弹可看作进行了100100次独立重复试次独立重复试验，故恰中验，故恰中4 4发的概率为发的概率为 (0.8)(0.8)4 40.20.29696.4100C4100C4.4.某人考试，共有某人考试，共有5 5题，解对题，解对4 4题为及格，若他解一道题正题为及格，若他解一
25、道题正确率为确率为0.60.6，则他及格的概率为，则他及格的概率为_._.【解析解析】此人及格时，需要答对此人及格时，需要答对4 4道题或者是道题或者是5 5道题，道题，及格时及格时P=P(=4)+P(=5)=P=P(=4)+P(=5)=(0.6)(0.6)4 40.4+0.4+(0.6)(0.6)5 5=答案：答案：1 053.3 1251 0533 12545C55C5.5.设袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放设袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取回地抽取3 3次，求球的颜色全相同的概率次，求球的颜色全相同的概率.【解析解析】每种颜色的球被抽到的概率为每种颜色的球被抽到的概率为 颜色全相同颜色全相同的概率为：的概率为：13，133111C()3.3279
