1、一、选择题1已知函数，若关于方程恰好有4个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）ABCD2函数的导函数为，则与在一个坐标系中的图象为（ ）ABCD3已知定义在上的函数满足，则下列式子成立的是（ ）ABCD4已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）ABCD5已知对任意实数都有，若恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD6已知函数,给出下列两个命题:命题若,则;命题,.则下列叙述错误的是( )Ap是假命题Bp的否命题是:若,则C,D是真命题7已知函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围是（ ）ABCD8已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）ABC
2、D9若函数有最大值，则实数的取值范围是（ ）ABC，D10若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）ABCD11已知函数，若对一切恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD12已知函数（a为常数）有两个不同极值点，则实数a的取值范围是（ ）ABCD二、填空题13已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为_14已知函数，若成立，则的最小值为_.15已知函数在处取得极小值，在处取得极大值，且，则的取值范围是_.16函数的极大值为_.17若函数在上是单调函数，则的最大值是_.18定义在上的函数满足，且，则不等式的解集是_19已知函数，若对于不等式恒成立，则实数的取值范围为：_20已知函数，若恒成立
3、，则的取值范围为_.三、解答题21已知函数，为的导函数，且（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在上的最大值和最小值22已知函数.（1）求函数的单调区间，并求的最值；（2）已知，.证明：有最小值；设的最小值为，求函数的值域.23已知是自然对数的底数，函数，其中.（1）当时，若，求的单调区间;（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围.24已知函数.（1）讨论的单调性;（2）当时，证明:25已知函数.（1）当时，求函数的极大值；（2）讨论函数的单调性.26已知函数（）若，求函数的单调递增区间；（）令，若的最大值为，求a的值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1D解析：D【分析】求得的导数，
4、可得单调区间和极值，作出的图象，将方程因式分解为，则或，从而有3个实数根，即函数与有3个交点，数形结合即可得到的取值范围，从而得解；【详解】解：函数的导数为，当时，递增；当或时，递减，可得在处取得极小值0，在处取得极大值，作出的图象如下所示，因为恰好有4个不相等的实根，所以，解得或，当时，有个实数解，所以应有个实数根，即函数与有3个交点，所以，即故选：D【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力2A解析：A【分析】分析函数、的奇偶性，以及、的符号，利用排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，即函数为奇函数，函数的定义域为
5、，函数为偶函数，排除B、C选项；，则.对于D选项，图中的偶函数为，由，与题图不符，D选项错误，故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.3A解析：A【分析】构造函数，求导判定函数单调性，根据单调性得化简即可.【详解】解：依题意，令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以即故选：A.【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式 (或) ，构造函数（2）对于不等式(或) ，构造函
6、数（3）对于不等式(或) ，构造函数（4）对于不等式(或) ，构造函数4B解析：B【分析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在上为减函数，由求解.【详解】已知函数，则，因为在，上为增函数，在上为减函数，所以，即，解得 ，所以实数的取值范围为故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.5D解析：D【分析】由导数的运算求出，然后用分离参数法得出时，时，再设，求出在时最小值，在时的最大值，从而可得的范围【详解】因为，所以，即，所以（为常数），由，不等式为，时，不等式为，成立，时，时，设，则，当或时，当或时，所以在和上是减函数，在
7、和上是增函数，时，在时取得极小值也最小值，由恒成立得，时，在时取得极大值也是最大值，由恒成立得，综上有故选：D【点睛】本题考查导数的运算，考查用导数研究不等式恒成立问题，用分离参数法转化为求函数的最值是解题关键，解题时注意分类讨论思想的应用6D解析：D【分析】分析函数为增函数，若，求出时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案.【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为： ,且导函数，则函数单调递增，结合，可得当时，函数的值域为.据此可知是假命题， 是真命题， 是假命题.结合全称命题与特称命题的关系可得：的否命题是：若,则.，故选：D【点睛】本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系
8、，属于中档型综合题.7C解析：C【分析】转化条件为当时，有解，令，通过导数确定的取值范围即可得解.【详解】若的图象上存在关于原点对称的点，则当时，有解，即当时，有解，所以当时，有解，令，则， 当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用及利用导数研究方程有解问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.8D解析：D【分析】画出图形，数形结合解答注意到，化简结论得，构造函数，利用导数判断出函数的单调性即可【详解】已知函数图象如下：方程有四个不同的解，且，则，所以，且， 所以，令，则在上恒大于0，故在上单调递增，所以，故选:【点评】本题考查了函
9、数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题9A解析：A【分析】由时，递减，且无最大值，可得时，取得最大值，且，求出时，的导数和单调区间、极大值，讨论，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则，求出最大值，解不等式即可得到所求的范围.【详解】解：由时，递减，可得，无最大值，函数有最大值，可得时，取得最大值，且，由的导数为，可得时，递减；时，递增.即有在处取得极大值，且为最大值.若，则在，递增，可得，由题意可得，即得，令，则，则在递减，可得，则不等式无实数解.故，此时在处取得最大值，为，故，解得，综上可得，的范围是，.故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以
10、及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.10A解析：A【分析】由在上单调递减，可得：导函数在R上恒成立，参变分离后，求最值即可的解.【详解】由在上单调递减，可得：导函数在R上恒成立，因为，参变分离可得：，故选：A【点睛】本题考查了利用函数单调性求参数范围，考查了恒成立思想和基本不等式的应用，属于中档题.11B解析：B【分析】对一切恒成立，即对一切恒成立，设，求出的导数，进而求出其最大值，得到答案.【详解】对一切恒成立，即对一切恒成立设，则由，则，由，则所以在上单调递增，在上单调递减.当时， 有最大值所以故选：B【点睛】本题考查恒成立求参数问
11、题，考查分离参数法的应用，属于中档题.12C解析：C【分析】由导数与极值的关系知可转化为方程在R上有两个不等根，结合函数的性质可求.【详解】函数有两个不同极值点，有2个不等的实数根,即有2个不等的实数根，令，则在R上单调递增且，当时单调递减，当时，单调递增，所以函数有极小值也是最小值，又当时，所以即可，故选：C【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，转化思想，属于中档题.二、填空题13【分析】利用图象得出不等式的解集再利用导数可求得函数的单调递减区间【详解】由图象可知不等式的解集为由可得解得因此函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（
12、1）求解析：、【分析】利用图象得出不等式的解集，再利用导数可求得函数的单调递减区间.【详解】由图象可知，不等式的解集为，由，可得，解得.因此，函数的单调递减区间为、故答案为：、.【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；（4）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.14【分析】根据得到mn的关系利用消元法转化为关于t的函数构造函数求函数的导数利用导数研究函数的最值即可得到结论【详解】解：不妨设()即故()令()所以在上是增函数且当时当时即当时取得极小值同时也是解析：【分析】根
13、据得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论.【详解】解：不妨设，()，即，故()，令()，所以在上是增函数，且，当时，当时，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查化归转化思想与运算能力，是中档题.15【分析】求导数利用导函数的图象开口向下且得的约束条件根据据线性规划求出目标函数的最值即可求得的取值范围【详解】由所以由函数在处取得极小值在处取得极大值所以是的两个根且导函数的图象开口向下由得即化简得解析：【分析】求导数，利用导函数的图象开口向下且，得，的约束条件
14、，根据据线性规划求出目标函数的最值，即可求得的取值范围【详解】由，所以， 由函数在处取得极小值，在处取得极大值， 所以，是的两个根，且导函数的图象开口向下， 由，得， 即 , 化简得， 满足条件的约束条件的可行域如图阴影部分所示： 令，则当直线，经过点时，取得最大值， 联立方程 ，可得点的坐标为， 所以， 所以的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数的极值以及不等式求解函数的最值，同时考查了学生的转化思想，考查分析问题解决问题的能力16【分析】利用导数研究函数的单调性由此可求得该函数的极大值【详解】定义域为令可得或当或时此时函数单调递增；当时此时函数单调递减所以函数在处取得极大值且极大值为故
15、答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数解析：【分析】利用导数研究函数的单调性，由此可求得该函数的极大值.【详解】，定义域为，.令，可得或.当或时，此时，函数单调递增；当时，此时，函数单调递减.所以，函数在处取得极大值，且极大值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，考查计算能力，属于中等题.173【分析】首先求解导函数然后利用导函数研究函数的性质确定实数a的最大值即可【详解】由题意可得：由题意导函数在区间上的函数值要么恒非负要么恒非正很明显函数值不可能恒非负故即在区间上恒成立据此可得：即的解析：3【分析】首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的性质确定实数a的最大值即可.【详
16、解】由题意可得：，由题意导函数在区间上的函数值要么恒非负，要么恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故，即在区间上恒成立，据此可得：，即的最大值是3.故答案为3【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18【分析】构造函数利用导数判断单调性再利用单调性解不等式即可【详解】构造函数则依题意知即在上是减函数又因为所以所以的解为即即的解为所以的解为即即解集是故答案为：【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式解析：【分析】构造函数，利用导数判断单调性，再利用单调性解不等式即可.【详解】构造函数，则，依题意知，即在上是减函数.又因为，所以，
17、所以的解为，即即的解为，所以的解为，即，即解集是.故答案为：.【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，属于中档题.19【分析】根据在R上递增结合将不等式恒成立转化为恒成立然后分和两种情况利用导数法求解【详解】因为所以成立所以在R上递增又成立所以恒成立即恒成立当时转化为恒成立令当时单调递减当时单调递增所以当时求得最小解析：【分析】根据在R上递增，结合，将不等式恒成立，转化为 ，恒成立，然后分和两种情况，利用导数法求解.【详解】因为，所以成立，所以在R上递增，又成立，所以 恒成立，即 恒成立，当时，转化为恒成立，令，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，求得最小值，所以，当时，转化为恒成立，
18、上恒成立，时，单调递减，又，所以不等式恒成立，综上：实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.20【分析】求函数的导数根据利用参数分离法进行转化然后构造函数转化为求函数的最值即可【详解】解：函数的导数由在上恒成立得在上恒成立即得在上恒成立设则当时恒成立即在上是增函数则当时取得最小值则即实数的取值解析：【分析】求函数的导数，根据，利用参数分离法进行转化，然后构造函数，转化为求函数的最值即可【详解】解：函数的导数，由在上恒成立得在上恒成立，即，得在上恒成立，设，则，当时，恒成立，即在上是增
19、函数，则当时，取得最小值，则，即实数的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键属于中档题三、解答题21（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）最大值为9，最小值为.【分析】(1)先求出，由求出 的值，再由得增区间，得减区间；（2）根据（1）的结论求出函数的极值，与端点处函数值进行比较即可结果.【详解】(1) 函数 ),.,解得.则 .,令，解得.由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，函数与的变化如下表： -单调递增极大值单调递减极
20、小值单调递增由表格可知：当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，又，可知函数的最大值为9，最小值为.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数在闭区间上的最值，属于难题.求函数最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小22（1）单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值；（2）
21、证明见解析；.【分析】（1）对求导，由可得单调递增区间，由可得单调递减区间，比较极值即可得最值；【详解】（1）的定义域为当时，在单调递减，当时，在单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值.（2）令， ，由（1）知，单调递增，所以存在唯一的，使得，即当时，单调递减；当时，单调递增故，所以有最小值得证令，所以单增，所以，由，得因为单调递增，对任意，存在唯一的，使得，所以的值域为综上：当，函数最小值为，函数的值域为【点睛】利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函
22、数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.23（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【分析】（1）当时，先对求导得的解析式，再对求导，由得单间区间，由得单增区间；（2）由题意可得方程有三个不等的实根，等价于方程有三个不等的实根，即与两个函数图象有三个不同的交点，对求导判断其单调性，作出其图象，数形结合即可求解.【详解】（1）当时，令，则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），所以若在上恰有三个零点等价于有三个不等的实根，等价于方程有三个不等的实根，设，则与两个函数图象有三个
23、不同的交点，因为令，得，且当时，单调递增且，当时，单调递减且，当时，单调递增且作出其图象如图所示：当时，由图知当时，与的图象有三个交点，即有三个不同的零点，所以的取值范围是【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.24（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）含参数的函数单调性，对和进行讨论；（2）对时，先
24、求出的最大值，构造关于a的函数，利用导数讨论.【详解】解：(1），当时，恒成立，则在上单调递增当时，令，则，所以令，则所以综上:当时，的增区间为;当时，的增区间为，减区间为.(2)由(1)知，当时，令，则，令，则.令，则.故，所以又因为，所以则，从而即.【点睛】(1)含参数的导数的讨论： 判断是否有根， 比较的几个根的大小；（2）证明不等式通常作差，构造新函数，用导数进行讨论.25（1）极大值为；（2）答案见解析.【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值；（2）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调区间.【详解】（1）当时，该函数的定义域为，且，
25、令，得或；令，得，在，上递增，在上递减，故的极大值为；（2）.当时，在上恒成立，在上单调递增；当时，令，得或；令，得.所以，函数在，上单调递增，在上单调递减.【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：（1）求函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.26（）；（）2.【分析】（）当时，对进行求导得，再令，结合定义域，即可求出函数的单调递增区间；（）根据题意得出，求导得，分类讨论当和时，的单调区间，从而可求出最大值，即可求得a的值.【详解】解：（）当时，定义域为，则，令，即，解得：或，又定义域为，所以函数的单调递增区间为：.（），即，所以，当时，则，则恒成立，则在上单调递增，所以无最大值；当时，令，即，解得：，令，即，解得：，令，即，解得：，又，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，取得最大值，而的最大值为，所以，则，故，解得：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数法求解函数的单调性和最值，解题的关键在于运用导数求解函数的最大值从而求出参数值，考查运算能力和分类讨论思想.
