1、22.1 比例线段第22章 相似形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 相似图形 九年级数学上（HK）教学课件学习目标1.了解相似图形和相似比的概念.2.理解相似多边形的定义.3.能根据多边形相似进行相关的计算，会根据条件 判断两个多边形是否相似.(重点、难点)问题1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？导入新课导入新课情境引入问题2 多啦 A 梦的 2 寸照片和 4 寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？下面图形有什么相同和不同的地方？讲授新课讲授新课相似图形的概念一观察与思考相同点：形状相同不同点：大小不相同形状相同的图形叫做相似图形.相似图形的大小不一定相同.归纳：图形的放大相似图形的关
2、系二探究归纳 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.图形的缩小两个图形相似图形的缩小归纳：你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？思考：放大镜下的图形和原来的图形相似吗？练一练放大镜下的角与原图形中角是什么关系?相似多边形与相似比三A1B1C1D1E1F1ABCDEF 多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A1B1C1D1E1F1 是投射到银幕上的.观察与思考问题1 这两个多边形相似吗？问题2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？问题3 在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成比例？A1B1C1D1E1F1ABCDEF各角分别相等、各
3、边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似比：相似多边形的特征：相似多边形的定义：归纳：任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？a1a2a3an分析：已知等边三角形的每个角都为60,三边都相等.所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.议一议同理，任意两个正方形都相似.归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.a1a2a3an思考：任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？例1 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角，的大小和EH的长度 x.典例精析DABC182178 8324G
4、EFHx118在四边形ABCD中，360(7883118)81.C83，AE118.解：四边形 ABCD 和 EFGH 相似，它们的对 应角相等由此可得DABC1821788324GEFHx118 四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边成比例，由此可得解得 x 28 cm.242118xEHEFADAB，即 .DABC1821788324GEFHx118 如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b，c，d 的长度532cd7.5ba69练一练解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6.7.535b
5、67.55c97.55d7.525a ，当堂练习当堂练习1.下列图形中能够确定相似的是 ()A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形ABDF2.若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得 甲、乙两地的距离是 5cm，则甲、乙两地的实际 距离是 ()A.3000 m B.3500 m C.5000 m D.7500 mD3.如图所示的两个四边形是否相似？答案：不相似.4.观察下面的图形(a)(g)，其中哪些是与图形(1)、(2)或(3)相似的？5.如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形ABCD
6、与矩形 EABF 相似，AB=1 (1)求BC长；ABCDEF解：E 是 AD 的中点，1122AEADBC .又矩形 ABCD 与矩形 EABF相似，AB=1，ABBCAEAB AB2=AEBC，.2112BC BC解得2.BC(2)求矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比.ABCDEF解：矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比为：12.22ABBC相似图形形状相同的图形叫做相似图形 相似图形的大小不一定相同相似多边形对应边的比叫做相似比对应角相等，对应边成比例课堂小结课堂小结图形的相似相似多边形22.1 比例线段第22章 相似形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 比例线段 九
7、年级数学上（HK）教学课件1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点）2理解成比例线段的概念；（重点）3掌握成比例线段的判定方法（难点）学习目标两张地图中，黄鹤楼与长江的距离为何不同吗？导入新课线段的比和成比例线段 如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即ABCDmnAB:CD=m:n 或 如果把 表示成比值k,那么 =k，或AB=k CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.讲授新课1.若线段AB6cm，CD4cm，则 .CDAB232.若线段AB8cm，CD2dm，则 .CDAB思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否
8、有关？有关无关求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同.52注意：虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数.练一练4.五边形ABCDE与五边形ABCDE形状相同，AB5cm，AB3cm，AB AB .ABCDEABCDE5 33.已知线段AB8cm，AB2cm，AB AB的比为 ，AB AB的比值为 ，ABAB.4 144练一练做一做：设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD,EF,EH的长度分别是多少？AB CDGHEF82 10410计算 的值，你发现了什么？,A
9、BADABEFEFEHADEHAB CDGHEF82 10410824ABEF2 10210ADEH82 1052 10ABAD42 10510EFEH四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a,b,c,d叫作成比例线段，简称比例线段.归纳总结AB，EF，AD，EH是成比例线段，AB，AD，EF，EH也是成比例线段.注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！如果或 a：b=c：d，那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，a、d 叫做比例外项，b、c 叫做比例内项，d 叫做 a、b、c的第四比例项.dcba特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即a:b=b
10、:c，则b叫做a,c的比例中项.相关概念 例1：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：（1）a4，b6，c5，d10；解：（1）线段a、b、c、d 不是成比例线段4263ab51102cd，acbd，典例精析515235（2）a2，b，c，d 22555ab，2 152555 3cd（2）acbd线段a、b、c、d是成比例线段 注意:1.若a:b=k,说明a是b的 k 倍；2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；3.两条线段的比值是一个没有单位的正数；4.除了a=b外,a:bb:a,互为倒数.abba与1.判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？10,
11、5,2,4)1(dcba6,8,2,3)2(dcba成比例线段不成比例线段2.下列各组线段中成比例线段的是（）3,2,3,2.Adcba10,5,6,4.Bdcba15,32,5,2.Cdcba1,4,3,2.DdcbaC练一练解：根据题意可知,AB=am,AE=a m,AD=1m.由 ，得 即 开平方,得 例2：一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么a的值应当是多少？DAFECB当堂练习1.一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比为（）A.100:3 B.1:3
12、 C.10:3 D.1000:32.甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例尺为（）A.5:1 B.1:5 C.1:500000 D.500000:1AC解：根据题意可知,AB=15,AC=10,BD=6.则 AD=AB BD=15 6=9.则3.已知 ，AB=15，AC=10，BD=6求AEACAEABADABCDE比例线段两条线段的比：比例线段长度单位统一；与单位无关，本身没有单位；两条线段有顺序要求.概念：项、比例内项、比例外项；四条线段有顺序要求；特别地：比例中项.dcba课堂小结22.1 比例线段第22章 相似形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时 比例的性质与黄
13、金分割 九年级数学上（HK）教学课件1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点）3.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比，能对黄金分割进行简单运用（重点、难点）学习目标导入新课导入新课观察与思考 如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片，(2)是由(1)缩小得到的.（1）（2）PQPQ 在照片(1)中任意取四个点P，Q，A,B在照片(2)找出对应的两个点P，Q，A,B量出线段PQ，PQ，AB，AB的长度.计算它们的长度的比值.AABB讲授新课讲授新课比例的基本性质一合作探究问题1：如果四个数a,b,c,d成比例，即
14、那么ad=bc吗？反过来如果ad=bc,那么a,b,c,d四个数成比例吗？如果四个数a,b,c,d成比例，即那么ad=bc吗？dcba在等式两边同时乘以bd,得ad=bc由此可得到比例的基本性质：如果 ，那么 ad=bc.dcba由此可得到比例的基本性质：如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 .dcba如果ad=bc,那么等式 还成立吗？acbd在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式中，分母不能为0.典例精析 例1：根据下列条件，求 a:b 的值：（1）4a=5b；（2）.78ab（2），8a=7b，解 （1）4a=5b，5;4ab例2：已知 ，求 的值.解：解法1：
15、由比例的基本性质，得2（a+3b）=72b.a=4b，=4.解法2：由 ，得 .,2723bbaba4.ab23babba baa，那么、各等于多少？2已知cbba1已知：线段a、b、c满足关系式且b4，那么ac_，练一练1635122aaba,.bbb 解：211333babba,.aaaab ,还有什么其他性质吗？dcba在等式两边同时加上1,得由此可得到比例的合比性质：如果 ，那么 dcbaddcbbaddcbba问题2：已知a,b,c,d,e,f 六个数，如果 （b+d+f0）,那么 成立吗？为什么？fedcbabafdbeca 设 ,则 a=kb,c=kd,e=kf.所以.a c e
16、kb kd kfakb dfb dfb 等比性质二.(.0)acmbdnbdn如果，由此可得到比例的又一性质：.acmabdnb 那么例3：在ABC与DEF中，已知 ，且且ABC的周长为18cm,求DEF得周长.43FDCAEFBCDEAB解：4(AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD).即 AB+BC+CA =(DE+EF+FD)，又 ABC的周长为18cm，即 AB+BC+CA=18cm.DEF的周长为24cm.3,4ABBCCADEEFFD3.4ABBCCAABDEEFFDDE例4：若a，b，c都是不等于零的数，且 ，求k的值.得 ，则k2；当abc0时，则有abc.此时 综上所述，k
17、的值是2或1.a+bb+cc+akcab解：当abc0时，由 ，a+bb+cc+akcaba+b b+c+c+aka+b+c1cck=a+bc解：根据题意，得 即 例5：在地图或工程图纸上，都标有比例尺，比例尺就是图上距离与实际距离的比，现在一长比例尺为1 5000的图纸上，量得一个ABC的三边：AC3cm，BC4cm，AB5cm，这个图纸所反映的实际ABC的周长是多少？1,5000ABBCACA BB CA C1.5000ABBCACA BB CA C54312(),ABBCACcm12500060000()600().A BB CA Ccmm答：实际ABC的周长是600m黄金分割的概念三一
18、个五角星如下图所示.问题：度量C到点A、B的距离,与 相等吗？ABACACBCACBABCACBCABACABC 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.ACBCABAC概念学习例6 如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上一点，且使 AB:AP=AP:PB，求线段AB的长和 的值.APABAPB解 设AP=x，那么PB=a-x.根据题意，得 a:x=x:(a-x),即 x2+ax-a2=0.解方程，得152xa APB因为线段长不能是负值，所以取即 于是152APa 152xa 15510.618.
19、22APAB 2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图:1.经过点B作BDAB,使BD=AB2.连接AD,在AD上截取DE=DB.3.在AB上截取AC=AE.21思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?ABDEC2211551;1,22222515135,11;222BDADACAEBCAC 51355135222,122515123551352 5251,42515151ACBCABAC,.ACBCCABABAC点 是线段的黄金分割点巴台农神庙（Parthenom Temple）FCAEBD想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形A
20、EFD，那么我们可以惊奇地发现 ，点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么?BEBCBCAB点E是AB的黄金分割点（即 ）是黄金比矩形ABCD的宽与长的比是黄金比宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.ABCDEFAEBEABAEAEABBCABBEBCBCABBEAE=AEABBCAE例7：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得 ，解得x=0.96.设穿上 y m高
21、的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y0.075，而0.075m=7.5cm.故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.0.601.60 x0.960.618.1.60yy1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()(A)12.36 cm (B)13.6 cm (C)32.36 cm (D)7.64 cm【解析】选A.0.61820=12.36(cm).A练一练2.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，则AC的长约为_cm.（结果精确到0.1 cm）【解析】本题考查黄金分割的有关知识
22、，由题意知AC2=(10-AC)10，解得AC6.2 cm.2ACBC AB,6.23.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC=_cm，DC=_cm.【解析】由黄金分割定义可知，AC=BD=AB=(40 -40)cm,AD=AB-BD=(120-40 )cm,所以DC=AC-AD=(80 -160)cm.打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山
23、，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。大自然与黄金分割大自然与黄金分割图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618.蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比,普通树叶的宽与长之比也接近0.618;人与黄金分割人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23(体温)，也是正常人体温(37)的黄金点(23=370.618).这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节.上肢与下肢
24、长度之比均近似0.618.在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美 BCA设计与黄金分割设计与黄金分割 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.东方明珠塔，塔高468米.设计师在263米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观.人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美黄金分割的魅力Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密
25、码，这里就要同学们自己去发现。1.(1)已知 ，那么 =，=.(3)如果 ，那么 .(2)如果 那么 .34babbabba 75fedccafdbeca52fedccafdbeca当堂练习当堂练习2.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，APBP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（）AS1S2 BS1 BC CA，在 DEF中，DE EF FD.ABC DEF.ABC33.54DFE1.82.12.42.40.64DEAB ，2.10.63.5EFBC1.80.63FDCADEEFFDABBCCA .解：ABC ABC.222ABA B
26、，221BCB C1025ACA CABBCACA BB CA C .(2)2,2,10,2,1,5.ABBCACA BB CA C 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.归纳总结 已知 ABC 和 DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(3)AB=12，BC=15，AC24，DE16，EF20，DF30.(2)AB=4，BC=8，AC10，DE20，EF16，DF8；(1)AB=3，BC=4，AC6，DE6，EF8，DF9；是否否练一练 例2:如图,方格网的小方格是边长为1的正方
27、形，ABC与 ABC的顶点都在格点上，ABC与 ABC相似吗?为什么?C CB BA AAABBCC210.510ABACBCABACBC 2,2,10;ABACBC5,10,5;ABACBC 解：ABC与 ABC的顶点都在格点上，根据勾股定理，得 ABC与 ABC相似.例3 如图，在 RtABC 与 RtABC中，C=C =90，且 求证：ABCABC.12A BAC.ABAC 证明：由已知条件得 AB=2 AB，AC=2 AC，BC 2=AB 2AC 2=(2 AB)2(2 AC)2=4 AB 2 4 AC 2 =4(AB 2AC 2)=4 BC 2 =(2 BC)2.ABCABC.(三边
28、对应成比例的两个三角形相似)BC=2BC，1.2B CA BA CBCABACBAC=DAE，BAC DAC =DAE DAC，即 BAD=CAE.BAD=20，CAE=20.ABC ADE(三边成 比例的两个三角形相似).例4 如图，在 ABC 和 ADE 中，BAD=20，求CAE的度数.ABBCACADDEAEABCDEABBCACADDEAE，解：解：在 ABC 和 ADE 中，AB:CD=BC:DE=AC:AE，ABCADE，BAC=DAE，B=D，C=E.BACCAD=DAECAD，BAD=CAE.故图中相等的角有BAC=DAE，B=D，C=E，BAD=CAE.如图，已知 AB:A
29、D=BC:DE=AC:AE，找出图中相等的角(对顶角除外)，并说明你的理由.练一练ABCDE当堂练习当堂练习1.如图，若 ABC DEF，则 x 的值为 ()ABCDEFA.20 B.27 C.36 D.45C2.如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三 角形的是 ()A.和 B.和 C.和 D.和C3.如图，APD=90，AP=PB=BC=CD，下列结论 正确的是 ()A.PABPCA B.PABPDA C.ABCDBA D.ABCDCA ACBPDC AB:BC=BD:AB=AD:AC，ABCDBA，故选C.解析：设AP=PB=BC=CD=1，APD=90，AB=，AC=，AD=.251
30、04.根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似：AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，AB=12cm，BC=18cm，AC=21cm.答案：不相似.5.如图，ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：ABCEFD ABCEFD.证明：ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，111=222DEACDFBCEFAB，1=2DEDFEFACBCAB=，三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似课堂小结课堂小结相似三角形的判定定理的运用 22.2 相似三角形的判定导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第5课时 判定两个直角三角形相似 九年级数学上（HK）教
31、学课件1.掌握直角三角形相似的判定；（重点）2.能熟练地运用直角三角形相似的判定定理.(难点)学习目标 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30与60，或45与45）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？对于直角三角形，类似于判定三角形全等的HL方法，我们能不能通过两边来判断两个三角形相似呢？导入新课导入新课回顾与思考利用边判定直角三角形相似画一画：在下图的边长为1的方格上任画一个直角三角形，再画出第二个三角形，使它的一直角边和斜边长都是原三角形的对应边长的两倍画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都
32、一样吗？BCAFED发现这两个三角形相似讲授新课讲授新课证明：设 由勾股定理，得在RtABC和RtABC中C=90,C=90.，求证:RtABCRtABC.,.ABkA B ACkA C 则22.BCABAC22B CA BA C ABACkA BA C ABAC.A BA C 探究ABCABCRt ABCRt ABC.ABCABC 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.ABC那么ABCA1B1C1.A1B1C11111,ABBCkABBC如果 RtABC 和 RtA1B1C1.归纳几何语言典例精析例1 如图，在RtABC
33、中，ABC90，AB4，AC5.在RtABC中，ACB90，AC6，AB10.求证：ABCBCA.证明：在RtABC中，22=-=3BCACAB31=.62B CA C51=,102A CA B=.BCACA CA B又ABCACB90，RtABCRtBCA.例2 如图，下列四个三角形中，与ABC相似的是()【解析】设网格的边长是1，则 所以AB:AC:BC=1:2:ABC是直角形三角，且AB AC1 2，选项A、D选项不是直角三角形，排除A、D选项；B选项中的三角形的两直角边的边长比为1 2，C选项中的三角形的两直角边的边长比为3 2，选项B正确=2,AB=10,BC=2 2,AC5.B 以
34、网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这是解题的关键方法总结例3 如图，ABCCDB=90，CBa，ACb.问当BD与a，b之间满足怎样的函数表达式时，以点A，B，C为顶点的三角形与以C，D，B为顶点的三角形相似？解：ABCCDB90，422222=-,=-.aaBDaBDbabb当 时，ABCCDB.=ACCBCBBD2=,=.baaBDaBDb即当 时，ABCBDC.=ACCBCBCD2=,=.baaCDaCDb即 ADAE.ACAB解：EDAB，EDA=90 .又C=90，A=A，AED ABC.例4 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，AC=8.
35、E 是 AC 上一点，AE=5，EDAB，垂足为D.求AD的长.DABCE 8 54.10AC AEADAB由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.归纳总结1.在RtABC和RtABC中，已知C=C=90.依据下列各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明理由.（1）A=25，B=65；当堂练习当堂练习解:（1）A=25，C=90，B=65，B=B=65,C=C=90,RtABCRtABC.（2）AC=3，BC=4，AC=6，BC=8，且C=C=90,RtABCRtABC.（2）AC=3，BC=4，AC=6，BC=8；相似图形三角形的判定方法：通过定义 平行于
36、三角形一边的直线 两角分别相等 两边对应成比例且夹角相等 三边对应成比 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（AA）（SAS）（HL）课堂小结课堂小结（SSS）22.3 相似三角形的性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 相似三角形的性质定理1、2 九年级数学上（HK）教学课件1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点）2.掌握相似三角形的周长比等于相似比及其在实际中的应用.2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题（难点）学习目标ACBA1C1B1问题1：ABC与A1B1C1相似吗？导入新课导入新课ACBA1C1B1相似三角形对应角相等、对应边成
37、比例相似三角形对应角相等、对应边成比例.ABC A1B1C1思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？高、角平分线、中线的长度，周长、面积等高角平分线中线量一量，猜一猜量一量，猜一猜D1A1C1B1ACBD ABC A1B1C1,CD和C1D1分别是它们的高,你知道 等于多少吗？21CBBC1111DCCD 如图，ABC ABC，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？讲授新课讲授新课ABCABC合作探究相似三角形对应高的比等于相似比一ABC ABC，BB，解：如图，分别作出 ABC 和 A B C 的高 AD 和 A D 则ADB=A D B=90.ABD A B D.ABCABCD
38、D A DA Bk ADAB由此得到：相似三角形对应高的比等于相似比类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比 归纳总结1.ABC A1B1C1，BD和B1D1是它们的中线，已知 ,B1D1=4cm，则BD=cm.23CAAC1162.ABC A1B1C1,AD和A1D1是对应角平分 线，已知AD=8cm，A1D1=3cm,则 ABC与 A1B1C1的对应高之比为 .8:3练一练3.如图、电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB=2m，CD=4m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是 m.PADBC241.5 例1：如图，AD是ABC的高，点P，Q
39、在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.(1)AE是 ASR的高吗？为什么？(2)ASR与ABC相似吗？为什么？(3)求正方形PQRS的边长.SRQPEDCBA典例精析（1）AE是ASR的高吗？为什么？解：AE是ASR的高.理由：AD是ABC的高 ADC=90 四边形PQRS是正方形 SRBC AER=ADC=90 AE是ASR的高.BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.SRQPEDCBABC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.（2）ASR与ABC相似吗？为什么？解：ASR与ABC相似.理由:SRBC
40、 ASR=B,ARS=C ASR与ABC相似.SRQPEDCBA（3）求正方形PQRS的边长.是方程是方程思想哦！思想哦！解：ASR ABC AE、AD分别是ASR 和ABC 对应边上的高 设正方形PQRS的边长为 x cm,则SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm 解得：x=24 正方形PQRS的边长为24cm.AESRADBC404060 xxSRQPEDCBA变式：变式：如图，AD是ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？SRQPEDCBA如图，AD是ABC的高，BC=5c
41、m，AD=10cm.设SP=xcm，则SR=2x cm 得到：所以 x=2 2x=4 S矩形PQRS=24=8cm2 10 x2x105SRQPEDCBA分析：情况一：SR=2SP设SR=xcm，则SP=2x cm 得到：所以 x=2.5 2x=5S矩形PQRS=2.55=12.5cm2 10 2xx105原来是分原来是分类思想呀！类思想呀！SRQPEDCBA分析：情况二：SP=2SR如图，AD是ABC的高，BC=5cm，AD=10cm 例2：如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边长BC=80cm，高AD=60cm，要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2:1，且矩形的一边位于边BC上，另两
42、个顶点分别在边AB,AC上，求这个矩形的边长.SRQPEDCBA 解解 如图，矩形如图，矩形PQRS为加工后的零件，边为加工后的零件，边SR在边在边BC上，顶点上，顶点P,Q分别在边分别在边AB,AC上，上，ABC的高的高AD交交PQ于点于点E.设设PS=xcm，则，则PQ为为2xcm.SRQPEDCBAPQBC，APQ=ABC,AQP=ACB,APQABC.260,8060PQAExxBCAD即解方程，得x=24,2x=48.答：这个矩形的零件的边长分别是48cm和24cm.相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 二问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对
43、应角平分线的比等于多少？图中ABC和ABC相似，AD、AD分别为对应边上的中线，BE、BE分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ABCDEABDCE已知：ABCABC，相似比为k，求证：证明：ABCABC.B=B,又AD,AD分别为对应边的中线.ABDABD.ABBCCAkA BB CC A.ADkADABBCA BB C.ABBDA BB DABDCEABCDE验证猜想1由此得到：相似三角形对应的中线的比也等于相似比同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比归纳总结已知：ABCABC，相似比为k，即 求证：证明：ABCABC B=B,BAC=BAC
44、 又AD,AD分别为对应角的平方线 ABDABD.ABBCCAkA BB CC AABDCEABCDE验证猜想2 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比归纳总结例2：两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？解：设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有 .解得x18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.6,4214x相似三角形周长比等于相似比三问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？(1)(2)(3)123
45、(1)与(2)的相似比=_,(1)与(2)的周长比=_，(1)与(3)的相似比=_,(1)与(3)的周长比=_.1 2结论：相似三角形的周长比等于_相似比（都相似）1 31 21 3有什么规律吗？证明：设ABCA1B1C1，相似比为k，111111,ABBCCAkABBCC A111111,ABkA B BCkB C CAkC A111111111111111111.ABBCCAkABkBCkC AkABBCC AABBCC A有求证：相似三角形的周长比等于相似比.ABCA1B1C1想一想：怎么证明这一结论呢？相似三角形周长的比等于相似比.归纳总结 DEFABC，相似比为DEF的周长=ABC的
46、周长，DEF的周长=12.例3.如图，在ABC和DEF中，AB2DE，AC2DF，AD，ABC的周长是24，求DEF的周长ABCDEF12又 DA解：在ABC和DEF中，AB2DE，AC2DF12DEDFABAC123两个相似三角形对应中线的比为 ，则对应高的比为_.当堂练习当堂练习2.相似三角形对应边的比为2 3,那么对应角的角平分线的比为_.2 31两个相似三角形的相似比为 ,则对应高的比为_,则对应中线的比为_.12解：ABCDEF，解得,EH3.2(cm).答：EH的长为3.2cm.AGBCDEFH4.已知ABCDEF，BG、EH分ABC和DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,
47、BG=4.8cm.求EH的长.BGBCEHEF4.86,4EH5.若ABC ABC，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，BC=24cm，求BC，AC，AB,AC的长.BACABC解：ABC ABC，它们的周长分别为60cm和72cm，AB=15cm，BC=24cm，BC=20cm，AC=25cm，AB=18cm，AC=30cm.6.如图，AD是ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SRAD，垂足为E.当 时，求DE的长.如果 呢？ASRABC (两角分别相等的两个三角形相似).解：SRAD，BCAD，BAERC1=2SRBC1=3SRBCDSSRBC.ASR=
48、B,ARS=C.AESRADBC(相似三角形对应高的比等于相似比)，当 时，得 解得 BAERCDS.ADDESRADBC当 时，得 解得 1=2SRBC1.2hDEAD1.2DEh1=3SRBC1.3hDEAD2.3DEh选做题：选做题：7.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）FABCDE（1）FGBACED（2）相信自己相信自己是最棒的！是最棒的！相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对
49、应中线的比和对应角平分线的比等于相似比课堂小结课堂小结相似三角形周长之比等于相似比22.3 相似三角形的性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 相似三角形的性质定理3 九年级数学上（HK）教学课件1.掌握相似三角形的性质定理3；（重点）2.运用相似三角形的面积比解决实际问题.(难点)学习目标导入新课导入新课问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们周长的比等于相似比.那么它们面积之比之间有什么关系？也等于相似比吗？ABCA1B1C1问题引入(1)与(2)的相似比=_,(1)与(2)的面积比=_(1)与(3)的相似比=_,(1)与(3)的面积比=_相似三角形的面积比等于相似比的平方123 1
50、 2（1）（2）（3）1 4 1 31 9问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,回答以下问题：结论：相似三角形的面积比等于_相似比的平方讲授新课讲授新课证明：设ABCABC，相似比为k,如图，分别作出ABC和ABC的高AD和AD.ABC和ABC都是直角三角形，并且B=B，ABDABD.ABCABCDD想一想：怎么证明这一结论呢？ABCABC.ADkA D 212.12ABCA B CBCADSBCADkkkSB CA DB CA D .ABBCA BB C 相似三角形的面积比等于相似比的平方.归纳总结 例1：如图,ABC的面积为25，直线DE/BC,如果 ADE的面积
