1、9 9.6 6知识梳理双基自测231自测点评1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离差的等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的.注:设点M满足|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a0,c0:(1)当ac时,点M的轨迹是.绝对值 定点 焦距 双曲线 两条射线 不存在 知识梳理双基自测自测点评2312.双曲线的标准方程和几何性质 知识梳理双基自测自测点评231(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)知识梳理双基自测自测点评231实轴 2a 虚轴 2b a b 知识梳理双基自测自测点
2、评2313.常用结论(1)渐近线的斜率与离心率的关系(2)若P为双曲线上一点,F为其对应的焦点,则|PF|c-a.(3)区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在椭圆中,a2=b2+c2,而在双曲线中,c2=a2+b2.2知识梳理双基自测3415自测点评 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)知识梳理双基自测自测点评234152.已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析
3、关闭知识梳理双基自测自测点评23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理双基自测自测点评1.要熟练掌握双曲线中参数a,b,c的内在关系及双曲线的基本性质.2.理解离心率的大小范围,并能根据离心率的变化来判断双曲线的扁狭程度.3.在双曲线的定义中,要注意不是距离的差,而是距离差的绝对值.考点1考点2考点3例1(1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为.(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos F1PF2=.(3)(2017广东揭阳一模)
4、已知双曲线 右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则APF周长的最小值为.思考如何灵活运用双曲线的定义求方程或者解焦点三角形?考点1考点2考点3解析:(1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c
5、=3,则b2=8.考点1考点2考点3考点1考点2考点3 解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系.考点1考点2考点3对点训练对点训练1(1)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且F1PF2=60,则|PF1|PF2|等于()A.2B.4C.6D.8(2)已知F为双曲线C:的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ
6、上,则PQF的周长为.答案:(1)B(2)44 考点1考点2考点3解析:(1)由题意知a=1,b=1,c=2,故|F1F2|=22.在PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=|F1F2|2=8,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=8,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4,-,得|PF1|PF2|=4.考点1考点2考点3(2)如图所示,设双曲线右焦点为F1,则F1与A重合,坐标为(5,0),则|PF|=|PF1|+2a,|QF|=|QF1|+2a,所以|PF|+
7、|QF|=|PQ|+4a=4b+4a=28,故PQF周长为28+4b=44.考点1考点2考点3 答案解析解析关闭 答案解析关闭考点1考点2考点3思考求双曲线的离心率需要建立谁与谁的关系?答案解析解析关闭 答案解析关闭考点1考点2考点3思考求双曲线方程的一般思路是怎样的?答案解析解析关闭 答案解析关闭考点1考点2考点3 考向四利用渐近线与已知直线的位置关系求离心率范围思考如何求双曲线离心率的取值范围?答案解析解析关闭 答案解析关闭考点1考点2考点32.求双曲线方程的一般思路是利用方程的思想,把已知条件转化成等式,通过解方程求出a,b的值,从而求出双曲线的方程.3.涉及过原点的直线与双曲线的交点,
8、求离心率的取值范围问题,要充分利用渐近线这个媒介,并且要对双曲线与直线的交点情况进行分析,利用三角或不等式解决问题.考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3思考直线与双曲线的位置关系的判断的常见方法有哪些?考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3解题心得直线与双曲线的位置关系的判断和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似,但是联立直线方程与双曲线方程消元后,注意二次项系数是否为0.对于中点弦问题常用“点差法”求解.考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考
9、点34.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.当直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.典例2直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.(1)求实数k的取值范围;(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.反思提升1.以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,思路也很清晰,但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断,从而导致错误,因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.2.关于这种探索性问题.若存在,可用点差法求出AB的斜率,进而求出方程;也可以设斜率k,利用待定系数法求方程.3.求得的方程是否符合要求,一定要注意检验.
