1、 特殊几何图形在坐标系中问题特殊几何图形在坐标系中问题 例 1：在中，将它放在直角坐标系中，使斜边 BC 在 轴上，直角顶点 A 在反比例函数的图像上，求点 C 的坐标？ 【解答】， 【解析】当点 A 在第一象限时，过点 A 作轴，如图所示： 点 A 在反比例函数上， 点 C 的坐标为； 当点 A 在第一象限时，过点 A 作轴，如图所示： x y O x y DCO A B 点 A 在反比例函数上， 点 C 的坐标为； 当点 A 在第三象限时，过点 A 作轴，如图所示： 点 C 的坐标为； 当点 A 在第三象限时，过点 A 作轴，如图所示： x y DBO A C x y D C O A B
2、点 C 的坐标为， 综上，. 例 2： 在平面直角坐标系中， 一次函数的图像分别与 轴、 轴相交于点 A、 B， 若以 AB 为一边的等腰三角形 ABC 的底角为 30，求点 C 的坐标？ 【解答】，. 【解析】因为一次函数的图像分别与 轴、 轴相交于点 A、B，分别令 ， 可 求 出 点， 点， . （1）当 AB 为等腰的腰时，以 B 为顶点，如图 1 所示， 利用对称性可直接得； 在中，由勾股定理可得，则； （2）若以 A 为顶点，如图 2 所示： x y D B O A C 作轴，且，； 作轴，且 则，； （3）以 AB 为等腰的底边时，如图 3 所示： 作的角平分线交 轴于， ， 在
3、中，； 过点 B 作轴，且， . 例 3：在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与 轴相交于 A、B，顶点 为 C，点 D 在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形 ABCD 是一个边长为 2 且有一个内角 为 60的菱形，求此二次函数的表达式？ 【 解 答 】或或或 【解析】设二次函数的图像的对称轴与 轴相交于点 E. 当时，如图所示： x y x y C2 x y 图图3图图2图图1 C6 C5 C4 C3 B A O B C1 AO B AO 是菱形，且一边长为 2， 解得； 当时，如图所示： 由菱形性质可得 解得； 同理可得与. 巩固练习巩固练习 1. 在中，将它放在直角坐标系中，使斜边
4、 AB 在 轴 上，直角顶点 C 在反比例函数的图像上. （1）当按如图所示放置，求出点 A 的坐标； （2）如果改变的放置方式，A 点的坐标还可能是 . x y D BA C x y E B D C A 【解答】 （1）； （2）或或. 【解析】 （1）作于点 M，如图所示： 在中， ，即，解得， 在中，当时， 在中， ，即； （2）如图所示， x y B A C O x y MB A C O 由图可知， 过点作轴， 由（1）可得， ； ， 综上所述，A 点的坐标还可能是，. 2. 在中，OA 边上的高线长为 4，将放在平面直角坐标系中， 使点 O 与原点重合，点 A 在轴的正半轴上，那么画
5、出相应的图形并求出点 B 的坐标 是 . 【解答】 【解析】建立如图所示坐标系，以 O 点为圆心，5 为半径作圆，作直线，与分别 交于、，具体如下图所示： x y B2B3N C B1 A2A3 A1MB A C O 由图可得 3. 在平面直角坐标系中，已知点，在 轴上是否存在一点 M，使得 为等腰三角形？若存在，请写出所有满足点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解答】或或或 【解析】由得，如图所示： 如图 1，当时，M、C 关于 轴对称，此时； 如图 2，当时，则， 此时； 如图 3，当时，作于点 N，则，即， 解得此时， x y A B4B3 B1B2 O x y x y x y 图图3 图图2图图1 M3 M4 N M2 C A O M1 C A O C AO 综上，.
