1、任意角和弧度制知识剖析1 任意角 角的定义与分类(1) 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如下图，一条射线的端点是O，从起始位置OA按逆时针旋转到终止位置OB，形成角，射线OA , OB分别是角的始边和终边. (2) 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角.如下图 =210 , =-150 , =-660. 终边相等的角 与角终边相同的角的集合为 =+k 360 , k Z.PS表达式中的k Z不能漏！ 象限角的概念 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角.PS 终边落在坐标轴上，不能称为象限角.2 弧
2、度制 弧度的定义 弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad. 即:半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为 rad，那么|=lr 角度与弧度的转化 180=1=180 0.01745 1=180 57.30 特殊角的角度与弧度对应表 角度030456090120135150180270360弧度06432233456322 弧长与扇形面积计算公式 弧长l=|R； 扇形面积S=12 lR=12 R2 ，(R为圆的半径)注 为弧度制.经典例题【题型一】角的集合表示及象限角的判定【典题1】 已知集合M=锐角，N=小于90的角，P=第一象限的角，下列说法： PN ， NP=M ，
3、MP， (MN)P.其中正确的是 【解析】锐角的范围为090，小于90角为90包含负角第一象限角为k360k360+90,kZ，P与N之间没有包含的关系，故错；-300NP，但-300M，故错；MN=N，不一定包含于P，故错；MP对.其中正确的是：【典题2】 写出如图所示阴影部分的角的范围【解析】(1)因为与45角终边相同的角可写成45+k360，kZ的形式，-180+30=-150角终边相同的角可写成-150+k360，kZ的形式，所以图(1)阴影部分的角的范围可表示为|-150+k36045+k360 , kZ(2)因为与45角终边相同的角可写成45+k360 , kZ的形式，360-60
4、=300角终边相同的角可写成300+k360，kZ的形式，所以图(2)中角的范围为|45+k360300+k360，kZ【点拨】 表示与角终边相同的角的集合时不要把kZ漏了.【典题3】 若是第三象限的角，则3可能是第 象限角.【解析】方法1 不等式法是第三象限角，即2k+0)，所在圆的半径是R(1)若=60，R=10cm，求扇形的弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？【解析】 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，=60=3 , R=10 ， S扇=12 R2=503，S弓=S扇S=503-121010sin60=503-253 (cm2)(2)
5、法一 扇形周长c=2R+l=2R+R，R=c2+，S扇=12R2=12c2+2=c224+4+2=c2214+4c2214+4=c216(利用基本不等式)当且仅当=4，即=2时，扇形面积有最大值c216法二：由已知2R+l=c，R=c-l2(lc)，S=12Rl=12c-l2l=14(cll2)=-14l-c22+c216，(二次函数最值问题)当l=c2时，Smax =c216，此时=lR=2，当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值c216【点拨】 弧长l=|R，扇形面积S=12 lR=12 R2 (R为圆的半径)； 求函数fx=axbx2+cx+d最值，可把函数化简为fx=abx+dx+c
6、，再利用基本不等式求解.巩固练习1() 下列说法正确的是()A终边相同的角相等B相等的角终边相同C小于90的角是锐角D第一象限的角是正角 【答案】 B 【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于90的角是锐角可以是负角；第一象限的角是正角，也可以是负角故选：B2() 870的终边在第几象限 ()A一B二 C三 D四 【答案】 C 【解析】选C因870=2360150.150是第三象限角3() 2100化成弧度是 ()A353B10C283D253【答案】 A 【解析】2100=2100180=353故选：A4 () 已知是第二象限角，则2是()A锐角
7、B第一象限角C第一、三象限角D第二、四象限角 【答案】 C 【解析】是第二象限角，所以2+2k+2k，kZ，4+k2k+2，kZ，2是第一象限或第三象限角，故选：C5 () 已知圆O与直线l相切于点A，点P , Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ , OP(如图)，则阴影部分面积S1 , S2的大小关系是()AS1=S2BS1S2 CS1S2 D先S1S2 【答案】 A 【解析】如图所示，直线l与圆O相切，OAAP，S扇形AOQ=12AQr=12AQOA，SAOP=12OAAP，AQ=AP，S扇形AOQ=SAOP，
8、即S扇形AOQS扇形AOB=SAOPS扇形AOB，S1=S2故选：A6 () 与2014终边相同的最小正角是 【答案】 146 【解析】2014=6360+146，146与2014终边相同，又终边相同的两个角相差360的整数倍，在0，360)上，只有146与2014终边相同，与2014终边相同的最小正角是146，故答案为：1467 () 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画如图，是书画家唐寅(14701523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为 cm2 【答案】 704 【解析】如图，设AOB=，OA=OB=r，由题意可得：24=r64=(r+16)，解得：r
9、=485，所以S扇面=S扇形OCDS扇形OAB=1264(485+16)-1224485=704cm2故答案为：7048 () 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为23的扇形，则此圆锥的高为 cm 【答案】 423【解析】设此圆的底面半径为r，高为h，母线为l，圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为23的扇形，l=2，得2r=23l=43，解之得r=23，因此，此圆锥的高h=l2-r2=22-(23)2=423cm故答案为：423挑战学霸河南大学自招真题我们知道当12点时，闹钟的3个指针完全重合，请说出除了12点外，是否还有其他时间，3针完全重合.如有请举出；若无，给出理由.【解析】每小时时针、分针旋转一次，速度为时针0.5/min,分针6/min，相差5.5/min，故在n时00分至(n+1)时00分之间，时针和分针完全重合的时刻为n时60n11分，它们是：1时5分27.27秒2时10分54.54秒 3时16分21.82秒 4时21分49.09秒5时27分16.36秒 6时32分43.64秒 7时38分10.91秒8时43分38.18秒9时49分5.45秒 10时54分32.73秒12时00分00秒这些时刻里除了12时外，“分”和“秒“的值相差都很大，分针和秒针显然不可能重合.所以仅在12时三针重合.
