1、 - 1 - 豫南九校 2017 2018 学年上学期第一次联考 高二数学（文科）试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知角 的终边过点 P（ 3a， 4a），且 a0的 n的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 21 D. 22 【答案】 C 【解析】由题意得 ，由前 n项和 Sn有最大值可知等差数列 an为递减， d0， 0,0 ，且 sinsin ； 若函数 y=2cos 的最小正周期是 4 ，则 a= ； 函数 y= 的周期是 ； 函数 y=sinx+sin 的值域是 。 其中叙述正确的
2、语句个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 A 【解析】 错， 不符。 错 。 周期是 当 时， y= ,错。所以选 A. 【 点睛 】 - 5 - ， 的周期是 ， 因为 可正可负。 只有当b=0时，周期才是 ，其余情况周期都是 。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分。 13. 不等式 0 的解集为 _. 【答案】 【解析】由题意得 ，所以解集为 ，填 。 14. 已知锐角 ABC 的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 sinA= ， cosC= ， a=1，则b=_. 【答案】 【解析】因为 cosC= ，所以 ， 因为 ， 所
3、以 因为 ， 所以 ， 所以 【 点睛 】 （ 1） 正弦定理的简单应用常出现在选择题或填空题中，一般是根据正弦定理求边或列等式 余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是 “ 平方 ” 关系，此时一般考 虑利用余弦定理进行转化 （ 2） 在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息 一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 （ 3） 在解三角形的问题中，三角形内角和定
4、理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解 15. 已知 f（ x） =sin （ 0）， f =f ,且 f（ x）在区间 有最小值，无最大值，则 =_. 【答案】 【解析】由题意得 ，第一种情况是 ，此种情况不满- 6 - 足，因为相差周期，会既有最大值也有最小值，不符。第二种情况是 ，又在区间 有最小值，无最大值，所以 ，且对称轴两个数代入一定是关于最小值时的对称轴对称，即 ，解得 ，又 ，所以 ，填 。 【 点睛 】 本题是考虑三角函数图像与性质综合，由于在区间 有最小值，无最大值，且 f =f ，所以两个数之差一定小于周期，且两个 x
5、值一定关于最小值时的对称轴对称。 16. 已知 an=log2（ 1+ ），我们把满足 a1+a2+?+a n（ n N*）的和为整数的数 n叫做 “ 优数 ” ，则在区间（ 0,2017）内的所有 “ 优数 ” 的和为 _. 【答案】 2036 【解析】由题意得 an=log2（ 1+ ） ，所以a1+a2+?+a n ， 要为整数，只需所以和为 ，填 2036 【 点睛】 log2（ 1+ ） 可以裂项是解本题的一个关键，所以 求和是一个裂项求和。 三、解答题：共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 设 f（ x） =2x2+bx+c，已知不等式 f（ x） 0 的解
6、集是（ 1,5） . （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）若对于任意 x ，不等式 f（ x） 2+t 有解，求实数 t的取值范围。 【答案】（ 1） ；（ 2） 【解析】试题分析：（ 1）由不等式解集与方程关系可知， 1和 5是方程 2x2+bx+c=0的两个根 ,由根与系数关系可求得 b,c.(2)由（ 1）得 ，所以分离参数得 2x2-12x+8 t在 1， 3有解，即 t ， x 。 - 7 - 试题解析：（ 1） f（ x） =2x2+bx+c，且不等式 f（ x） 0的解集是（ 1， 5）， 2 x2+bx+c 0的解集是（ 1， 5）， 1 和 5是方程 2x2+bx+c=
7、0 的两个根， 由根与系数的关系知， 解得 b=-12， c=10， （ 2）不等式 f（ x） 2+t 在 1， 3有解， 等价于 2x2-12x+8 t在 1， 3有解， 只要 t 即可， 不妨设 g（ x） =2x2-12x+8， x1 ， 3， 则 g（ x）在 1， 3上单调递减 g（ x） g（ 3） =-10， t -10， t 的取值范围为 -10， + ） 【 点睛】 不等式存在性问题与恒成立问题一般都是转化函数最值问题，特别是能参变分离时，且运算不复杂，优先考虑参变分离，进而求不带参数的函数在区间 上的最值问题。 18. 已知向量 =（ cos ， sin ）， =（ co
8、s ， -sin ），且 x 。 （ 1）求 及 ； （ 2）当 （ 0,1）时，若 f（ x） = - 的最小值为 - ，求实数 的值。 【答案】（ 1） ；（ 2） 试题解析 :（ 1） ， ， . ， ，因此 . （ 2）由（ 1）知 ， ， - 8 - ，当 时， 有最小值 ，解得 . 综上可得： 【 点睛 】 求解三角函数的值域 (最值 )常见到以下几种类型的题目及求解方法 （ 1）形如 y=asinx bcosx k的三角函数化为 y=Asin(x ) k的形式，再求最值 (值域 )； （ 2）形如 y=asin2x bsinx k的三角函数，可先设 sinx=t，化为关于 t的二
9、次函数求值域 (最值 )； （ 3）形如 y=asinxcosx b(sinxcos x) c的三角函数，可先设 t=sinxcos x，化为关于 t的二次函数求值域 (最值 ) 本题属于题型（ 2）。 19. 设数列 an的前 n项和为 Sn，且 Sn=n2+2n（ n N*）。 （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）设 ，求数列 bn的前 n项和为 Tn。 【答案】（ 1） ；（ 2） 【解 析】试题分析 ;(1)由前 n项和与项 的关系，可求得 。（ 2）由（ 1） ，= = 所以由错位相减法可求得 , 试题解析 ;（ 1）解 :因为 当 时， 当 n2 时 , = = 又因为 也符
10、合上式， 所以 ， n? （ 2）因为 = = 所以 - 9 - 得 ， 所以 【 点睛 】 当数列通项形式为 ，且数列 是等差数列，数列 是等比数列，则数列 的前 n项和，我们常采用错位相减法。 20. 在 ABC 中，角 A， B， C的对边分别是 a， b， c， ，且 ABC 的面积为 。 （ 1）若 b= ，求 a+c的值； （ 2）求 2sinA-sinC的取值范围。 【答案】（ 1） ；（ 2） 【解析】试题分析：（ 1）由向量的数量积公式和面积公式可求得 ，再由 B角的余弦定理，可求。（ 2）己知角 , 所以统一成角 C,化成关于角 C的三角函数，注意角 C的范围。 试题解析：
11、（ 1）由 得， 由 得， 由 得， ， 又 b= 则 3= -3ac， a+c= （ 2）由（ 1）知 因为 ，所以 ， 所以 的取值范围是 【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理 、余弦定理联系起来 .正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 . - 10 - 21. 已知数列 an的前项和为 Sn， a1= ， Sn=n2an-n（ n-1）， n N*。 （ 1）证明：数列 是等差数列； （ 2）设 bn=
12、 ，证明：数列 bn的前 n项和 Tn1. 【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析 【解析】试题分析：（ 1） 统一成 ，得（ n2-1） Sn=n2Sn-1+n（ n-1），两边同时除 以 ，可证。（ 2）由（ 1）得， bn= = ，裂项求和，可证。 试题解析：（ 1）证明： 数列 an的前 n项和为 Sn， n2 时，有 an=Sn-Sn-1， S n=n2（ Sn-Sn-1） -n（ n-1）， （ n2-1） Sn=n2Sn-1+n（ n-1）， 又 数列 是首项为 1，公差为 1的等差数列 . （ 2）结合（ 1）知 =1+（ n-1） 1= n， S n= = ， bn= = = . 【 点睛 】 当数列的递推关系是关于 形式时，我们常采用公式，统一成 或统一成 做。由于本题第一问 证明与 有关，所以考虑统一成。 22. 在 ABC 中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且满足 。 （ 1）求 A的大小； （ 2）若 sin（ B+C） =6cosBsinC，求 的值 .
