1、 - 1 - 2017 2018年度高中二年级第一学期第三次月考 数学试卷（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。共 150分。考试时间 120分钟。 另附加题 20分 第卷 （客观题 共 60 分） 注意事项： 答第卷前，考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在试卷相应位置和涂在答题卡上；不能将题直接答在试卷上。 一、 选择题（本题共 12 个小题 ,每小题 5分 ,共 60 分） 1. 焦点为 ? ?06， ，且与双曲线 2 2 12x y?有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） A. 22112 24xy? B. 22112 24
2、yx? C. 22124 12yx? D. 22124 12xy? 2. 已知命题 1123xxp x R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?： ，；命题 20 0 0 10q x R x x? ? ? ? ?： ， ， 则下列命题为真命题的是（ ） A pq? B pq? C pq? D pq? 3.一支田径队共有运动员 98 人，其中女 运动员 42 人，用分层抽样的办法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是 27 ，则男运动员应抽取（ ）人 A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4. 若曲线 2y x mx n? ? ? 在点 (0, )n 处的切线方程是 10x
3、y? ? ? ，则（ ） A 1, 1mn? ? B 1, 1mn? C 1, 1mn? ? D 1, 1mn? ? 5 已知向量 ? ? ? ?2 , 1, 2 , 2 , 2 ,1ab? ? ?，以 ab、 为邻边的平行四边形的面积 为 （ ） A. 65 B. 652 C. 4 D. 8 6. 公元 263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” .利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似 值 3.14， 这就是著名的“徽率” .如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为 （ ）
4、 （参考数据： 732.13? , ,2588.015sin ? 1305.05.7sin ? ） A 12 B 24 C 36 D 48 7. 从某高中随机选取 5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示： - 2 - 根据上表可得回归直线方程 0.56y x a?，据此 模型预报身高为 172 cm的高二男生的体重为（ ） A.70.09 B.70.12 C.70.55 D.71.05 8. 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，点 P 在 1AC 上运动（包括端点），则 BP 与 1AD 所成角的取值范围是（ ） A. ,63?B.,62? C. ,42?D. ,43?9
5、. 已知正数 ,ab满足 4ab? ，则曲线 ? ? ln xf x x b?在点 ? ? ?,a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为 ( ) A. ,4?B. 5,4 12?C.,43? D. ,42? 10.在抛物线 2yx? 与直线 2y? 围成的封闭图形内任取一点 A ， O 为坐标原点，则直线 OA 被该封闭图形截得的线段长小于 2 的概率是（ ） A 315 B 316 C. 216 D 214 11. 已知双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的左、右焦点为 1F 、 2F ，在双曲线上存在 点 P 满足1 2 1 232PF PF F F?,则双曲线的
6、渐近线的斜率 ba 的取值范围是 （ ） A. 30 2ba? B. 32ba? C. 50 2ba? D. 52ba? 12. 定义在 R上的函数()fx满足：( ) 1 ( )f x f x? ?，(0) 6?，()fx?是 的导函数，则不等式( ) 5xxe f x e?（其中e为自然对数的底数）的解集为 ( ) A? ?0,?B? ? ? ?, 0 3,? ?UC? ? ?, 0 1?D? ?3,?第卷 （主观题 共 90分） 二、填空题（本题共 20 分，每小题 5分） 13. 已知样本数据 错误 !未找到引用源。 ， 错误 !未找到引用源。 ， 错误 !未找到引用源。 ， 错误 !
7、未找到引用源。 的平均数 5为 错误 !未找到引用源。 ，则样本数据 错误 !未找到引用源。 ， 错误 !未找到引用源。 ， 错误 !未找到引用源。 ， 错误 !未找到引用源。 的平均数为 14. 11 xe x dx? ?的值为 15.已知 AB、 是过抛物线 ? ?2 20y px p?焦点 F 的直线与抛物- 3 - 线的交点， O 是坐标原点，且满足 FBAB 3? , ABSOAB 32?，则 p 的值为 16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， O为正八边形 821 AAA ? 的中心 ， ? ?0,11A .任取不同的两点 ji AA, ，点 P满足 0ijOP OA OA?
8、 ? ?，则点 P落在第一象限的概率是 _. 三、解答题（共 70分，写出必要的解题步骤、文字说明） 17. （ 本小题满分 10 分 ）设命题 Rxp ?: ，使等式 012 ?axx 成立；命题 :q 函数1)( 3 ? axxxf 在区间 ? ?1,1? 上单调递减，如果命题 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，求 a 的取值范围。 18. （ 本小题满分 12分 ） 设 ? ? ? ?2 ,f x x b x c b c R? ? ? ?. (1)若 b 和 c 分别是先后投掷一枚骰子得到的点数，求方程 ? ? 0fx? 有实根的概率； (2)若 ? ?1,4b? ， ? ?
9、2,4c? ，求 ? ?20f ?成立时的概率 . 19. （ 本小题满分 12分 ） 如图，斜三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 侧面11AABB 为菱形，底面 ABC? 是等腰直角三角形，0 119 0 ,B A C A B B C? ? ?. （ 1）求证：直线 AC? 直线 1BB ； （ 2）若直线 1BB 与底面 ABC 成的角为 60，求二面角1A BB C?的余弦值 20. （ 本小题满分 12分 ） 设 ? ? ? ?25 6 lnf x a x x? ? ?，其中 aR? ，曲线 ? ?y f x? 在点? ?1, 1f 处的切线与 y 轴相交于点 ? ?0,6 .（
10、 1）确定 a 的值；（ 2）求函数 ?fx的单调区间与极值 . 21. （ 本小题满分 12分 ） 如图，已知 6,12P?为椭圆 ? ?22: 1 0xyE a bab? ? ? ?上的点，且 225ab?，过点 P 的动直线与圆 2 2 2:1F x y a? ? ?相交于 AB、 两点，过点 P 作直线AB 的垂线与椭圆 E 相交于点 Q （ 1）求椭圆 E 的离心率； （ 2）若 32?AB ，求 PQ 22. （ 本小题 满分 12 分 ） 已知 ? ? 2xf x e ax?， ?gx是 ?fx 的导函数 . （ 1）求 ?gx的极值； （ 2）证明：对任意实数 xR? ，都有
11、? ? 21f x x ax? ? ? 恒成立； 四、附加题（共 20分） - 4 - 23. （ 本小题满分 5分 ） .函数 ? ?y f x? 图象上不同两点 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y处的切线的斜率分别是 ,ABkk，规定 ? ?, ABkkABAB? ?叫曲线 ? ?y f x? 在点 A与点 B之间的“弯曲度”，以下命题：（ 1）函数 321y x x? ? ? 图象上两点 A、 B的横坐标分别为 1， 2，则 ? ?,3AB? ? ；（ 2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； （ 3）设点 A、 B是抛物线 2 1yx?上不同
12、的两点，则 ? ?,2AB? ? ； （ 4）设曲线 xye? 上不同两点 ? ? ? ?1 1 2 2 1 2, , , , 1A x y B x y x x?且，若 ? ?,1t A B?恒成立，则实数 t的取值范围是 ? ?,1? .其中正确命题的序号为 _（写出所有正确的） . 24. （ 本小题满分 15分 ） 定圆 ? ?2 2: 3 1 6M x y? ? ?,动圆 N 过点 ? ?3,0F 且与圆 M 相切，记圆心 N 的轨迹为 E . （ 1）求轨迹 E 的方程； （ 2）设点 ,ABC 在 E 上运动 ,A 与 B 关于原点对称，且 AC BC? ,当 ABC? 的面积最小
13、时 ,求直线 AB 的方程 - 5 - 2017 2018年度高中二年级第一学期第三次月考 数学试卷（理科） 一、选择题 BCCBAB BADCDA 二、填空题 13. 1114.1ee?15. 216.528三、解答题 17. 解： 2 4 0 2 2p a a? ? ? ? ? ? ? ?真 = a 或 ? 3分 ? ?2( x ) 0 1 , 1f a x? ? ? ? ?q真 = 3 x 在恒成立 3a? ? 6分 由“ pq? ”为真， pq? 为假， ,pq? 一真一假 ? 7分 当 p真 q假时， ? 223 2 2 3aaa aa? ? ? ? ? ? ? ?或 或 ? 8分
14、当 p假 q真时， 无解aa a ? ? ? 3 22? 9分 2 2 3aa? ? ? ?综 上 得 或 ? 10分 18. .解 ： 解： (1)? ?,bc 的所有可能的取值有： ? ?1,1 ， ? ?1,2 ， ? ?1,3 ， ? ?1,4 ， ? ?1,5 ， ? ?1,6 ， ? ?2,1 ， ? ?2,2 ， ? ?2,3 ， ? ?2,4 ， ? ?2,5 ， ? ?2,6 ， ? ?3,1 ， ? ?3,2 ， ? ?3,3 ， ? ?3,4 ， ? ?3,5 ， ? ?3,6 ， ? ?4,1 ， ? ?4,2 ， ? ?4,3 ， ? ?4,4 ， ? ?4,5 ，
15、? ?4,6 ， ? ?5,1 ， ? ?5,2 ， ? ?5,3 ， ? ?5,4 ， ? ?5,5 ， ? ?5,6 ， ? ?6,1 ， ? ?6,2 ， ? ?6,3 ， ? ?6,4 ， ? ?6,5 ， ? ?6,6 ， 共 36种 . ? 3分 要使方程 2 0x bx c? ? ? 有实根，必须满足 2 40bc? ? ? ，符合条件的有： ? ?2,1 ， ? ?3,1 ， ? ?3,2 ， ? ?4,1 ， ? ?4,2 ， ? ?4,3 ， ? ?4,4 ， ? ?5,1 ， ? ?5,2 ， ? ?5,3 ， ? ?5,4 ， ? ?5,5 ，? ?5,6 ， ? ?6
16、,1 ， ? ?6,2 ， ? ?6,3 ， ? ?6,4 ， ? ?6,5 ， ? ?6,6 ，共 19 种 . ? 5分 方程 2 0x bx c? ? ? 有实根的概率为 1936P? .? 6分 (2)试验的全部结束所构成的区域为： - 6 - ? ? ?, |1 4 , 2 4 b c b c? ? ? ?. 构成事件 A 的区域为： ? ? ?, |1 4 , 2 4 , 4 2 0 b c b c b c? ? ? ? ? ? ?.? 10分 所以所求的概率为： 13 2 1 2 523 2 6P? ? ? ? .? 12分 19. （ 1）证明：连接 1AB ，因为，侧面 11
17、AABB 为菱形， 所以 11AB AB? ， 又 1AB 与 1BC 相互垂直， 1 1 1AB BC B? ， 1AB? 平面 1ABC ， ? 2分 1AB AC? ，又 1,A C A B A B A B B?， AC? 平面 11AABB ， ? 4分 1BB? 平面 11AABB ，所以直线 AC? 直线 1BB ? 6分 （ 2）由（ 1）知，平面 ABC? 平面 11AABB ，由 1B 作 AB 的垂线，垂足为 D ，则 ?DB1 平面 ABC ， 01 60BBA?， D 为 AB 的中点， 过 A 作 1DB 的平行线，交 11AB 于 E 点，则 AE? 平面 ABC ， ? 8 分 建立如图所示的空间直角坐标系，设 2AB? ， 则 ? ?0,2,0AC? 为平面 1ABB 的一个法向量， 则 ? ? ? ?2, 0, 0 , 0, 2, 0BC，? ? ? ?12 , 2 , 0 , 0 , 1 , 3B C B B? ? ? ?， 设平面 1ABB 的法向量 ? ?,n x y z? ， 2 2 0BC n x y? ? ? ?， 1 30BB n y z? ? ? ?， - 7 - 取 ? ?3,
