1、 - 1 - 2017-2018 学年上学期第二次月考 高二数学（理）试卷 （考试时间： 120分钟 总分： 150分） 友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。 一、选择题（每题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1对总数为 N 的一批零件抽取一个容量为 30 的样本，若每个零件被抽到的 可能 性为 15.0 ，则 N 的值为 （ ） A 100 B 120 C 150 D 200 2 已知抛物线 2axy? 的准线方程为 ( ) A 2ax ? B 4ax ? C ay 21? D ay 41? 3 下列四个命题中，真命题是 ( )
2、A. 若 1?m ，则 022 ? mxx ； B. “ 正方形是矩形 ” 的否命题； C. “ 若 1?x ，则 12?x ” 的逆命题； D. “ 若 0?yx ，则 0?x ，且 0?y ”的逆否命题 . 4某中学为了解学生数学课程的学习情况，在 2000名学生中随机抽取 250名，并统计这 250名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图 (如图 所示 )根据频率分布直方图推测，推 测这 2000名学生在该次数学考试中成绩小于 60分的学生数是 （ ） A 50 B 250 C 400 D 600 5 如图给出计算 501614121 ? ? 的值的一个程序框图，其中判断框内
3、应填入的条件是( ) A i 25 B i 25 C i 26 D i 26 6 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次 英语听力测试中的成绩 (单位：分 )已知甲组数据的中位数 （ 5 题）图 （ 4 题）图 - 2 - 为 15，乙组数据 的平均数为 17，则 x， y的值分别为 ( ) A 2, 5 B 5, 8 C 5, 9 D 8, 9 7 已知椭圆 1925 22 ? yx 上一点 P 与椭圆的两个焦点 1F ， 2F 的连线的夹角为直角，则21 PFPF ? =( ) A B C D 8 已知命题 p：函数 xxf sin)( ? 的最小正周期为 2 ；命题 q：函数
4、xxy sin25 ? 的图象关于原点中心对称 ， 则下列命题是真命题的是 ( ) A p q B ( p? )( q? ) C p q D p ( q? ) 9. 已知 m ,n 为两个非零向量，则“ m 与 n 共线”是“ |? ? ?m n m n ”的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充 分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 10 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线 C 的一条渐近线的倾斜角为 3，则双曲线 C的离心率为 ( ) A 2或 3 B 2或 2 33 C.2 33 D 2 11 已知抛物线 )0(22 ? ppxy 的焦点 F 与双曲线 1322
5、 ?yx 的右 焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点 K ，点 A 在抛物线上，且 AFAK 2? ，则点 A 的横坐标为（ ） A 2 B 2 C. 22 D 4 12 如图， 21,AA 为椭 圆 1916 22 ? yx 的长轴的左、右端点， O 为坐标原点， S ， Q ， T 为椭圆上不同于 21,AA 的三点，直线 OTOSQAQA , 21 围成一个平行四边形 OPQR ，则22 | OTOS ? =（ ） A 25 B 9+ 5 C 16 D 225 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13 设 双曲线 88 22 ? kykx 的一个焦点为（ 0， 3），则 k 的
6、值为 14 已知不等式 1xm?成立的充分不必要条件是 1132x? ，则 m 的取值范围是_ 15 在区间 ? ?5,1? 上随机取一个实数 m ，则方程 18 22 ? mymx 表示焦点在 y 轴上的椭圆的概率为 。 （ 6 题）图 （ 12 题）图 - 3 - 16. 已知 )0,5(),0,5( 21 FF ? 是 椭圆 1C 与双 曲 线 2C 共同的焦点， 椭圆 的一 个 短 轴 端点 为 B ，直 线 BF1 与双 曲 线 的一 条渐 近 线 平行， 椭圆 1C 与双 曲 线 2C 的离心率分 别为 21,ee ， 则2221 4ee ? 的最小值 为 三、解答题。 (本大题共
7、 6小题，满分 70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分 10分 ) 已知命题 p ：方程 121 22 ? mymx 表示 双曲线 ，命题 q ：关于 X 的方程03222 ? mmxx 对于一切 Rx? 恒成立 ， （ 1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （ 2）若 “ pq? ” 为假命题， “ pq? ” 为真命题，求实数 m 的取值范围 . 18 （本小题满分 12分） 龙海二中 高 二 (1)班有男同学 10名，女同学 30 名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4 人的课外兴趣小组 (1)求某同学被抽到的概率及课外兴 趣小组中男、女同学
8、的人数； (2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出 1 名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选 1 名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名 男 同学的概率； (3)实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为 69,70,70,72,74，第二次做实验的同学得到的实验数据为 68,70,71,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由 19.（本小题满分 12分） 双曲线 C 的中心在原点，渐 近线方程为 xy 3? ，且过点 )11,2( ? . (1)求双曲线 C 的方程； (2)设点 P是双曲线上任一点，该点到两渐
9、近线的距离分别为 m、 n.证明 nm? 是定值 . 20.（本小题满分 12分） 过点 Q(2,1)作抛物线 y2 8x的弦 AB，恰被 Q所平分 (1)求 AB所在直线方程； (2)求 |AB|的长 21. （本小题满分 12 分） 高考复习经过二轮 “ 见多识广 ” 之后，为了研究考前 “ 限时抢分 ” 强化训练次数 x 与答题正确率 y 的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下数据： - 4 - x 1 2 3 4 y om 11 24 35 50 （ 1）求 y 关于 x 的线性回归方程，并 预测答题正确率是 100的强化训练次数； （ 2）若用 ? ?1, 2, 3, 4
10、3iiy ix ?表示统计数据的 “ 强化均值 ” （精确到整数），若 “ 强化均值 ”的标准差在区间 ? ?0,2 内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效 ? 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ?b ?niiniiixnxyxnyx1221 ， ?a y ?b x ; 样本数据12, ,., nx x x 的标准差为： nxxsni i? 12)(22. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C ： )0(12222 ? babyax 的离心率为 23 ， 且过点（ 21 ， 415 ） (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若过原点 O 作两条互相垂直的射线，与
11、椭圆交于 A ， B 两点，求证：点 O 到直线 AB 的距离为定值； (3) 在（ 2）的条件下，求 OAB? 面积的最大值 龙海二中 2017-2018 学年上学期第二次月考 高二数学（理）试卷参考答案 一、选择题（每题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D A C A C B C D B B A 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 1? 14. ? 34,2115. 32 16. 4 三 、解答题。 (本大题共 6小题，满分 70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤 ) 1
12、7 (本小题满分 10分 ) - 5 - 解：（ 1）因为 方程 121 22 ? mymx 表示 双曲线 ， 所以 0)2)(1( ? mm 3分 解得 21 ?m 5分 2= 4( 2 3 ) 0 , .,711 .1311 .93mp q p q p qmp q mmmpq mm? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(2) 若 q 为 真 命 题 ， 则 4m 解 得 -1m3 6 分因 为 “ ” 为 假 命 题 ， “ ” 为 真 命 题 ， 等 价 于 恰 有 一 真 一 假 分当 真 假 时 ， ， 则 分或或当 假 真
13、 时 ， ， 则 1 m 3 分综 上 所 述 ， 实 数 的 取 值 范 围 是 1,3) . 10?。 分当 p 真 q 假时 ，? ? ? 31 21 mm m 或 ，则 ?m ? 8分 当 p 假 q 真时，? ? ? 31 21m mm 或 ，则 3211 ? mm 或 ? 9分 综上所述，实数 m 的取值范围是 ? ?3211 ? mmm 或 ? 10 分 18. （本小题满分 12 分） 解 ： (1)P 1013010 4 ? 所以某同学被抽到的概率为 101 .设该课外兴趣小组中有 x名男同学，则 4010 x4， 所以 x 1， 所以男、女同学的人数分别为 1,3. ? .
14、? .3分 (2)把 3名 女 同学和 1名 男 同学分别记为 a1， a2， a3， b，则选取两名同学的基本事件有 (a1，a2)， (a1， a3)， (a1， b)， (a2， a1)， (a2， a3)， (a2， b)， (a3， a1)， (a3， a2)， (a3， b)， (b， a1)，(b， a2)， (b， a3)，共 12 种情况，其中恰有一名 男 同学的有 6 种情况，所以选出的两名同学中恰有一名 男 同学的概率 P1 612 12. ? .? .7分 (3)因为 x 1 69 70 70 72 745 71， x 2 68 70 71 72 745 71， s21
15、 2 2 2 2 25 3.2， s22 2 2 2 2 25 4， 所以 x 1 x 2， s21 s22，故第 一 名同学的实验更稳定 ? .? .12分 19.（本小题满分 12分） 解： （ 1） 设所求的 双曲线方程是 )0(3 22 ? ?yx ? 3分 因为双曲线 过点 )11,2( ? ，所以求得 1? ? 5分 所以 所求的 双曲线方程是 13 22 ?yx ? 6分 （说明：其他方法求解也照样给分） （ 2）设 P? ?00,yx ，已知渐近线的方程为： xy 3? - 6 - 该点到一条渐近线的距离为：133 00? yxm ? 8分 到另一条渐近线的距离为133 00? yxn ? 10分 所以412232020 ? yxnm是定值 .? 12 分 20、（本小题满分 12分） 解： 19.解 (1)方法一：设以 Q为中点的弦 AB 端点的坐标为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有 y21 8x1， y22 8x2， x1 x2 8， y1 y2 2， k y1 y2x1 x2. 将 ， 代入 ，得 (y1 y2)(y1 y2) 8(x1 x2) y1 y2 4(x1 x2)， 4 y1 y2x1 x2. k 4. 所求弦 AB 所在直线方程为 y 1 4(x 2)，即 4x y 7 0.? 6分
