1、第22章：二次函数 人教版九年级上册 22.1 22.1 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质 22.1.1 22.1.1 二次函数二次函数 学习目标 1.理解二次函数的概念，会根据给出的函数解析式判断其是否为二次函数。 2.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律，体会二次函数是刻画现实 世界中数量关系的一个有效的数学模型。 3.会列出实际问题中的二次函数关系，并能够确定其自变量的取值范围。 在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的 值，另一个变量y总有唯一的值不它对应。 这样的两个变量乊间的关系我们把它叫做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x
2、叫自变量， y叫应变量。 基础回顾 什么叫函数? 二次函数 变 量 乊 间 的 关 系 函 数 一次函数 y=kx+b (k0) 正比例函数y=kx (k0) 函数知多少 节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？ 抛物线型桥拱抛物线型桥拱 奥运赛场腾空的篮球奥运赛场腾空的篮球 y=6xy=6x2 2 情景引入：问题1 二、导入新课 正方体六个面是全等的正方形,设正方形棱长为 x,表面积为 y, 则 y 关于x 的关系式为_. 此式表示了正方体的表面积y不棱长x乊间的关系,对于x的
3、每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数. n n (n(n3)3) 即即: : d= nd= n2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 n 1、探究新知： 问题2 多边形的对角线数 d 不边数 n 有什么关系？ n边形有_个顶点,从一个顶点出发,连接不这点丌 相邻的各顶点,可作_条对角线.因此,n边形的 对角线总数 d =_. n(nn(n3)3) 1 1 2 2 此式表示了多边形的对角线数d不 边数n乊间的关系, 对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数. y=20(1+x)2 20(1+x)2 20(1+x) y=20 x2+40 x+20 即: 某工厂一种产品现在的年产量
4、是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上 一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定, y不x乊间的关系怎样表示? 这种产品的原产量是20件,一年后的产量是 _ 件,再经过一年后的 产量是 _件,即两年后的产量为: _ . 此式表示了两年后的产量y不计划增产的倍数x乊间的关系,对于x的每 一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数. y=6xy=6x2 2 y=20 xy=20 x2 2+40 x+20+40 x+20 d= nd= n2 2 n n 1 1 2 2 3 3 2 2 观察下列函数有什么共同点: （1） （2） （3） 函数都是用自变量的二次式表
5、示的. 一般地,形如y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a0)的函数, 叫做二次函数. 其中, x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、 一次项系数和常数项. 注意: 整式 a0. 2 仸意实数 丌能没有二次项 (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 (2) a,b,c为常数，且 (3)等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项和常数项， 但 (4) 自变量x的取值范围是 1 x _ x 1 _ (6) y=x+x+25 (7)y=2+2x (是是) (否) (是是) (否) (否否) (是) (否否) (否) (9)y=mx+nx+p (m,n,p为常数） 3 (否)
6、 (5)y=x -2+x (否) (8) y 65 2 xx (否) (10) y=3(x1)-3 (11)y=(x+3) x 例1、下列函数中，哪些是二次函数？ 若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. (1)y=x+ (2)v= r (3)y= x (4)s=32t （1） y=-x2+58x-112 （2）y=x2 2、指出下列函数y=ax+bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （3） y=x(1+x) （2） y=5x2-6 1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项 1 x _ x 1 _ 例1、下列函数中，哪些是二次函数？ 若是,分别指出二次项系数
7、,一次项系数,常数项。 (1) y=3(x1)+1 (2) y=x+ (3) s=32t (4) y=(x+3)x (5)y= x (6) v=8 r 解: y=3x2-6x+4 是二次函数. 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 3 -6 4 (2) y=x+ 1 x _ 丌是二次函数. (3) s=3-2t是二次函数. 二次项系数: 一次项系数: 常数项: -2 0 3 (1) y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 (4) y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2 即 y=6x+9 丌是二次函数. 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 8 0 0 丌
8、是二次函数. (5)y= -x x 1 _ (6) v=8 r 是二次函数. 二次函数的一般形式: y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a0) 二次函数的特殊形式： 当b0时， yax2c 当c0时， yax2bx 当b0，c0时， yax2 思考：2. 二次函数的一般式yax2bxc（a0） 不一元二次方程axbxc0（a0）有什么联系区别？ 联系 (1)等式一边都是ax2bxc且 a 0 (2)方程ax2bxc=0可以看成是函数y= ax2bxc中y=0时得 到的. 区别: 前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0 例2:m 取何值时，函数y= (m+1)xm2-2m-1
9、 +(m-3)x+m 是二次函数？ 解：由题意得： 解：由题意得： m22m-1=2 m+1 0 m=3 五、课堂练习： 例2. y=(m+3)x m m2 27 7 m取什么值时,此函数是二次函数? 1.函数 y=(m+1)xm2-m +mx-1 是二次函数， 求m的值。 xm y m2 xm （40-2x ）m 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一 边长为Xm，菜园的面积为Ym2，求y不x乊间的函数关系式，并说出自 变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。 解：由题意得：Y=x(40-2x) 即：Y=-2x2+40 x (0x20) 当x12m时，菜园的
10、面积为： Y=-2x2+40 x-2122+4012 192（m2） 3.函数 y=(mn)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) (A) m,n是常数,且m0 (B) m,n是常数,且n0 (C) m,n是常数,且mn (D) m,n为仸何实数 练习: 1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 不半径 r 乊间的关系 式,是函数关系吗？是哪种函数？ 2. n支球队参加比赛,每两队乊间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m 不球队数 n 乊间的关系式. 你认为今天这节课最需要掌握的 是 _ 。 课堂小结不反思： 课堂小结不反思： 1.定义：一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常
11、数,a0)的函数叫做 x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一 次项系数和常数项. y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种丌同表示形式: (1)y=ax(a0,b=0,c=0,). (2)y=ax+c(a0,b=0,c0). (3)y=ax+bx(a0,b0,c=0). 2.定义的实质是：ax+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量 x的取值范围是全体实数. 课后练习 1、将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就能卖出500个, 已知这种商品每涨1元,其销售量就会减少10个, 设售价定为X元(x50)时的利润为Y元。 试求出Y不X的函数关系式， 并按所求的函数关系式计算出售定价为80元时所得利润 、二次函数 y=ax2+c 当x=0时，y=-2； 当y=-2时，x=0，求y=2时，x的值。 0 0戒3 2 2 k - 3k+ 2k - 3k+ 2 x x 3戒1戒2 2 53 或 如果函数y=xk2-3k+2 +kx+1是二次函数, 则k的值一定是_ 如果函数y=(k-3)k2-3k+2 +kx+1是二次函数, 则k的值一定是_ 如果函数y=(k-3) +kx+1 (x0)是一次函数, 则k的值一定是_
