1、第二十四章 圆 241 圆的有关性质 241.1 圆 经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、 弦等与圆有关的概念， 了解等圆、 等弧的概念 重点 经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念 难点 理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义 活动 1 创设情境，引出课题 1多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体 2提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象？ 活动 2 动手操作，形成概念 在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆 教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗？画的圆的位 置和大小分别由什么决定？ 教师强调指出： 位置由固定的一个端点决定， 大小由固定端点
2、到铅笔尖的细线的长度决 定 1从以上圆的形成过程，总结概念：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点所形成的图形叫做圆 固定的端点 O 叫做圆心， 线段 OA 叫做半径 以 点 O 为圆心的圆，记作“O”，读作“圆 O” 2小组讨论下面的两个问题： 问题 1：圆上各点到定点(圆心 O)的距离有什么规律？ 问题 2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 3小组代表发言，教师点评总结，形成新概念 (1)圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于定长(半径 r)； (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 因此，我们可以得到圆的新概念：圆心为 O，半径为 r 的圆可
3、以看成是所有到定点 O 的 距离等于定长 r 的点的集合(一个图形看成是满足条件的点的集合，必须符合两点：在图 形上的每个点，都满足这个条件；满足这个条件的每个点，都在这个图形上) 活动 3 学以致用，巩固概念 1教材第 81 页 练习第 1 题 2教材第 80 页 例 1. 多媒体展示例 1，引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距离 等于定长，即四个点到 O 的距离相等 活动 4 自学教材，辨析概念 1自学教材第 80 页例 1 后面的内容，判断下列问题正确与否： (1)直径是弦，弦是直径；半圆是弧，弧是半圆 (2)圆上任意两点间的线段叫做弧 (3)在同圆中，半径相等，直
4、径是半径的 2 倍 (4)长度相等的两条弧是等弧(教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在 同圆或等圆中的弧) (5)大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧 2指出图中所有的弦和弧 活动 5 达标检测，反馈新知 教材第 81 页 练习第 2，3 题 活动 6 课堂小结，作业布置 课堂小结 1圆、弦、弧、等圆、等弧的概念要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同 圆、 等圆”这些概念的区别和联系 等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提 条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据 2证明几点在同一圆上的方法 3集合思想 作业布置 1以定点 O 为圆心，作半径等于 2 厘米的圆
5、 2如图，在 RtABC 和 RtABD 中，C90，D90，点 O 是 AB 的中点 求证：A，B，C，D 四个点在以点 O 为圆心的同一圆上 答案：1.略；2.证明 OAOBOCOD 即可 241.2 垂直于弦的直径 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解 重点 垂径定理及其运用 难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题 一、复习引入 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点所形成的图 形叫做圆固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径 以点 O 为圆心的圆，记
6、作“O”，读作“圆 O” 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段 AC，AB； 经过圆心的弦叫做直径，如图线段 AB； 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以 A，C 为端点的弧记作“AC ”，读作 “圆弧 AC”或“弧 AC” 大于半圆的弧(如图所示ABC )叫做优弧，小于半圆的弧(如图所示 AC 或BC )叫做劣弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 二、探索新知 (学生活动)请同学按要求完成下题： 如图，AB 是O 的一条弦，作直径 CD，使 CDAB，垂足为 M. (1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什
7、么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由 (老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是 CD. (2)AMBM，AC BC ，AD BD ，即直径 CD 平分弦 AB，并且平分AB 及ADB . 这样，我们就得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径 CD、弦 AB，且 CDAB 垂足为 M. 求证：AMBM，AC BC ，AD BD . 分析：要证 AMBM，只要证 AM，BM 构成的两个三角形全等因此，只要连接 OA， OB 或 AC，BC 即可 证明：如图，连接 OA，OB，则 OAOB， 在 RtOAM 和 R
8、tOBM 中， RtOAMRtOBM， AMBM， 点 A 和点 B 关于 CD 对称， O 关于直径 CD 对称， 当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合 AC BC ，AD BD . 进一步，我们还可以得到结论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 (本题的证明作为课后练习) 例 1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽 AB60 m，水面到 拱顶距离 CD18 m，当洪水泛滥时，水面宽 MN32 m 时是否需要采取紧急措施？请说明 理由 分析：要求当洪水到来时，水面宽 MN32 m 是否需要采取紧急
9、措施，只要求出 DE 的 长，因此只要求半径 R，然后运用几何代数解求 R. 解：不需要采取紧急措施， 设 OAR，在 RtAOC 中，AC30，CD18， R2302(R18)2， R2900R236R324， 解得 R34(m)， 连接 OM，设 DEx，在 RtMOE 中，ME16， 342162(34x)2， 16234268xx2342，x268x2560， 解得 x14，x264(不合题意，舍去)， DE4， 不需采取紧急措施 三、课堂小结(学生归纳，老师点评) 垂径定理及其推论以及它们的应用 四、作业布置 1垂径定理推论的证明 2教材第 89，90 页 习题第 8，9，10 题
10、241.3 弧、弦、圆心角 1理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角 2掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系进行 相关的证明和计算 重点 圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用 难点 从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关系 活动 1 动手操作，得出性质及概念 1在两张透明纸片上，分别作半径相等的O 和O. 2将O 绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？ 3在O 中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫什么角？学生 先说，教师补充完善圆心角的概念 如图，AOB 的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角 4判
11、断图中的角是否是圆心角，说明理由 活动 2 继续操作，探索定理及推论 1在O中，作与圆心角AOB 相等的圆心角AOB，连接 AB，AB，将两张 纸片叠在一起， 使O 与O重合， 固定圆心， 将其中一个圆旋转某个角度， 使得 OA 与 OA 重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流 2学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆中相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦也相等 3在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？ 4综合 2，3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也
12、相等请用符号语言把定理表示出来 5分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？ 6定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究： (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等 吗？ (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等 吗？ 综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推 出它们所对应的其余各组量也相等 活动 3 学以致用，巩固定理 1教材第 84 页 例 3. 多媒体展示例 3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所对的弧或弦相 等鼓励学生用多种方法解决本题，培
13、养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归的数 学思想 活动 4 达标检测，反馈新知 教材第 85 页 练习第 1，2 题 活动 5 课堂小结，作业布置 课堂小结 1圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性 2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等，以及其应用 3数学思想方法：类比的数学方法，转化与化归的数学思想 作业布置 1如果两个圆心角相等，那么( ) A这两个圆心角所对的弦相等 B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D以上说法都不对 2如图，AB 和 DE 是O 的直径，弦 ACDE，若弦 BE3，求弦 C
14、E 的长 3如图，在O 中，C，D 是直径 AB 上两点，且 ACBD，MCAB，NDAB，M， N 在O 上 (1)求证：AM BN ； (2)若 C，D 分别为 OA，OB 中点，则AM MN BN 成立吗？ 答案：1.D；2.3；3.(1)连接 OM，ON，证明MCONDO，得出MOANOB， 得出AM BN ；(2)成立 24.1.4 圆周角(2 课时) 第 1 课时 圆周角的概念和圆周角定理 1理解圆周角的概念，会识别圆周角 2掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算 重点 圆周角的概念和圆周角定理 难点 用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定 活动 1 复习类
15、比，引入概念 1用几何画板显示圆心角 2教师将圆心角的顶点进行移动，如图 1. (1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如AOB. (2)当角的顶点运动到圆周时，如ACB 这样的角叫什么角呢？ 学生会马上猜出：圆周角教师给予鼓励，引出课题 3总结圆周角概念 (1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点 在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求 (2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示下图 学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：顶点在圆周上；角的两边都 与圆相交最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：顶点在圆周
16、上，两边都与圆相交的角 叫圆周角 (3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？ 学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不 然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件 活动 2 观察猜想，寻找规律 1教师出示同一条弧所对圆周角为 90，圆心角为 180和同一条弧所对圆周角为 45，圆心角为 90的特殊情况的图形 提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关 系由于情况特殊，学生观察、测量后， 容易得出： 对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半 2教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周
17、角还是圆心角的一半吗？通过上面 的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 活动 3 动手画图，证明定理 1猜想是否正确，还有待证明教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证 2先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是否合理？ 3利用实物投影在全班交流，得到三种情况若三种位置关系未出现全，教师利用电 脑演示同一条弧所对圆周角的顶点在圆周上运动的过程， 得出同一条弧所对的圆心角和圆周 角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种情 况 4引导学生选一种最特殊、最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证
18、明，写出证明过程，教师点评 5引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外部”转化成“圆 心角的顶点在圆周角的一边上”的情形，进行证明，若学生不能构造过圆周角和圆心角顶点 的直径，教师给予提示然后小组交流讨论，上台展示证明过程，教师点评证明过程 6将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理” 活动 4 达标检测，反馈新知 1教材第 88 页 练习第 1 题 2如图，BAC 和BOC 分别是O 中的弧 BC 所对的圆周角和圆心角，若BAC 60，那么BOC_. 3如图，AB，AC 为O 的两条弦，延长 CA 到 D，使 ADAB，如果ADB30， 那么BOC_. 答案：1.略；2.12
19、0；3.120. 活动 5 课堂小结，作业布置 课堂小结 1圆周角概念及定理 2类比从一般到特殊的数学方法及分类讨论、转化与化归的数学思想 作业布置 教材第 88 页 练习第 4 题，教材第 89 页 习题第 5 题 第 2 课时 圆周角定理推论和圆内接多边形 1 能推导和理解圆周角定理的两个推论， 并能利用这两个推论解决相关的计算和证明 2知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆 3能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题 重点 圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用 难点 圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线
20、活动 1 温习旧知 1圆周角定理的内容是什么？ 2如图，若BC 的度数为 100，则BOC_，A_. 3如图，四边形 ABCD 中，B 与1 互补，AD 的延长线与 DC 所夹的260， 则1_，B_. 4判断正误： (1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数；( ) (2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半( ) 答案：1.略；2.100，50；3.120 ，60；4.略 活动 2 探索圆周角定理的“推论” 1请同学们在练习本上画一个O.想一想，以 A，C 为端点的弧所对的圆周角有多少 个？试着画几个然后教师引导学生：观察下图，ABC，ADC，AEC 的大小关系如 何？为什么？ 让学生得出结
21、论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论 正确吗？ 2 教师引导学生观察下图， BC 是O 的直径 请问： BC 所对的圆周角BAC 是锐角、 直角还是钝角？ 让学生交流、讨论，得出结论：BAC 是直角教师追问理由 3如图，若圆周角BAC90，那么它所对的弦 BC 经过圆心吗？为什么？由此能 得出什么结论？ 4师生共同解决教材第 87 页例 4. 活动 3 探索圆内接四边形的性质 1教师给学生介绍以下基本概念： 圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆 2要求学生画一画，想一想： 在O 上任作它的一个内接四边形 ABCD，A 是圆周角吗？B，C，D 呢
22、？进 一步思考，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？ 3先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接 四边形对角互补 4课件展示练习： (1)如图， 四边形 ABCD 内接于O， 则AC_， BADC_； 若B80，则ADC_，CDE_； (2)如图， 四边形ABCD 内接于O， AOC100， 则D_， B_； (3)四边形 ABCD 内接于O，AC13，则A_； (4)如图，梯形 ABCD 内接于O，ADBC，B75，则C_. (5)想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？ 答案：(1)180，180，100，80；(2)130 ，50；(3)45 ；(4
23、)75 ；(5)都有 活动 4 巩固练习 1教材第 88 页 练习第 5 题 2圆的内接梯形一定是_梯形 3若 ABCD 为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立( ) AABCD1234 BABCD2134 CABCD3214 DABCD4321 答案：1.略；2.等腰；3.B. 活动 5 课堂小结与作业布置 课堂小结 本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质， 要求同学们理解 圆内接四边形和四边形的外接圆的概念， 理解圆内接四边形的性质定理； 并初步应用性质定 理进行有关问题的证明和计算 作业布置 教材第 8991 页 习题第 5，6，13，14，17 题 24.2 点和
24、圆、直线和圆的位置关系 242.1 点和圆的位置关系 1理解并掌握设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OPd，则有：点 P 在圆外dr； 点 P 在圆上dr；点 P 在圆内dr； 点 P 在圆上dr； 点 P 在圆内dr点 P 在圆外；如果 dr点 P 在圆上；如果 dr； 点 P 在圆上dr； 点 P 在圆内dr. 这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点 P 是否在圆外、圆上、圆内提供了依据 下面，我们接着研究确定圆的条件： (学生活动)经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能 作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆 (1)作圆，使该圆经过已知点
25、 A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使该圆经过已知点 A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的 分布有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ (3)作圆，使该圆经过已知点 A，B，C 三点(其中 A，B，C 三点不在同一直线上)，你是 如何做的？你能作出几个这样的圆？ (老师在黑板上演示) (1)无数多个圆，如图(1)所示 (2)连接 A，B，作 AB 的垂直平分线，则垂直平分线上的点到 A，B 的距离都相等，都 满足条件，作出无数个 其圆心分布在 AB 的中垂线上，与线段 AB 互相垂直，如图(2)所示 (3)作法：连接 AB，BC； 分别作线段 AB，BC 的中垂线
26、 DE 和 FG，DE 与 FG 相交于点 O； 以 O 为圆心，以 OA 为半径作圆，O 就是所要求作的圆，如图(3)所示在上面的 作图过程中，因为直线 DE 与 FG 只有一个交点 O，并且点 O 到 A，B，C 三个点的距离相 等(中垂线上的任一点到两端点的距离相等)，所以经过 A，B，C 三点可以作一个圆，并且 只能作一个圆 即不在同一直线上的三个点确定一个圆 也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心 下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆 证明：如图，假设过同一直线 l 上的
27、A，B，C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为 P，那么点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 l1，又在线段 BC 的垂直平分线 l2，即点 P 为 l1与 l2交点，而 l1l，l2l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 矛盾 所以，过同一直线上的三点不能作圆 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同， 它不是直接从命题的已知得出结 论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆)，由此经过推理 得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立这种证明方法叫做反证法 在某些情景下，反证法是很有效的证明方法 例 1 某地出土一明代残破圆形瓷
28、盘，如图所示为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请 在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心 分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任 取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心 作法：(1)在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段； (2)作两线段的中垂线，相交于一点 O. 则 O 就为所求的圆心图略 三、巩固练习 教材第 95 页 练习 1，2，3. 四、课堂小结 (学生总结，老师点评) 本节课应掌握： 1点和圆的位置关系：设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d，则 点P在圆外dr； 点P在圆上dr； 点P在圆内dr. 2不在同一直线上的三个点确定一个圆
29、3三角形外接圆和三角形外心的概念 4反证法的证明思想 5以上内容的应用 五、作业布置 教材第 101，102 页 习题 1，7，8. 242.2 直线和圆的位置关系(3 课时) 第 1 课时 直线和圆的三种位置关系 (1)了解直线和圆的位置关系的有关概念 (2)理解设O 的半径为 r，直线 l 到圆心 O 的距离为 d，则有： 直线 l 和O 相交dr. 重点 理解直线和圆的三种位置关系 难点 由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价 一、复习引入 (老师口问，学生口答，老师并在黑板上板书)同学们，我们前一节课已经学到点和圆的 位置关系设O 的半径为 r，点
30、P 到圆心的距离 OPd. 则有：点 P 在圆外dr，如图(a)所示； 点 P 在圆上dr，如图(b)所示； 点 P 在圆内dr，如图(c)所示 二、探索新知 前面我们讲了点和圆有这样的位置关系， 如果这个点 P 改为直线 l 呢？它是否和圆还有 这三种的关系呢？ (学生活动)固定一个圆，把三角尺的边缘移动，如果把这个边缘看成一条直线，那么这 条直线和圆有几种位置关系？ (老师口问，学生口答)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离 (老师板书)如图所示： 如图(a)，直线 l 和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆 的割线 如图(b)，直线 l 和圆有一个公共点，这时
31、我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的 切线，这个点叫做切点 如图(c)，直线 l 和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离 我们知道，点到直线 l 的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足 D 的距离，按照这个定 义，作出圆心 O 到 l 的距离的三种情况 (学生分组活动)：设O 的半径为 r，圆心到直线 l 的距离为 d，请模仿点和圆的位置关 系，总结出什么结论？ 老师点评：直线 l 和O 相交dr，如图(c)所示 例 1 如图，已知 RtABC 的斜边 AB8 cm，AC4 cm. (1)以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，直线 AB 与C 相切？ (2)以点 C 为圆心，分别以 2
32、cm 和 4 cm 为半径作两个圆，这两个圆与直线 AB 分别有 怎样的位置关系？ 解：(1)如图，过 C 作 CDAB，垂足为 D. 在 RtABC 中， BC 82424 3. CD4 34 8 2 3， 因此，当半径为 2 3 cm 时，AB 与C 相切 (2)由(1)可知，圆心 C 到直线 AB 的距离 d2 3 cm，所以 当 r2 时，dr，C 与直线 AB 相离； 当 r4 时，dr，C 与直线 AB 相交 三、巩固练习 教材第 96 页 练习 四、课堂小结 (学生归纳，总结发言，老师点评) 本节课应掌握： 1直线和圆相交(割线)、直线和圆相切(切线、切点)、直线和圆相离等概念
33、2设O 的半径为 r，直线 l 到圆心 O 的距离为 d 则有： 直线 l 和O 相交dr. 五、作业布置 教材第 101 页 习题第 2 题 第 2 课时 圆的切线 1能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理，能判定一条直线 是否为圆的切线；能从逆向思维的角度理解切线的性质定理 2掌握切线的判定定理和性质定理，并能运用圆的切线的判定和性质解决相关的计算 与证明问题 重点 探索圆的切线的判定和性质，并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明等问题 难点 探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线 活动 1 动手操作 要求学生先在纸上画O 和圆上一点 A，然后思考：根据
34、所学知识，如何画出这个圆过 点 A 的一条切线？能画几条？有几种画法？你怎么确定你所画的这条直线是O 的切线？ 活动 2 探索切线的判定定理 1如图，在O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 lOA，则圆心 O 到直线 l 的距 离是多少？ 2思考：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆有何位置关系呢？你能发现 此问题和上节课所学内容的联系吗？ 3教师引导学生探索得出切线的判定定理的内容要求学生尝试用文字语言和几何语 言描述： 文字语言描述：经过_并且_的直线是圆的切线 几何语言描述：如上图，OC 为半径，且 OCAB，AB 与O 相切于点 C. 引导学生观察下面两个图形，发现直线
35、l 都不是圆的切线所以，在理解切线的判定定 理时，应注意两个条件“经过半径外端”“垂直于半径”缺一不可 4讲解教材第 98 页例 1.请学生自己先寻找解题思路，教师引导，然后小结解题基本模 式 活动 3 性质定理 1教师引导学生思考：如图，如果直线 l 是O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与 直线 l 是不是一定垂直呢？ 教师提示学生：直接证明切线的性质定理比较困难，可用反证法假设半径 OA 与 l 不 垂直，如图，过点 O 作 OMl，垂足为 M，根据垂线段最短的性质有_， 直线 l 与O_.这就与已知直线 l 与O 相切矛盾， 假设不正确 因此， 半径 OA 与直线 l 垂直 2学生
36、总结出切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 3教师引导学生辨别切线的判定定理与性质定理的区别与联系 切线的判定定理是要在未知相切而要证明相切的情况下使用； 切线的性质定理是在已知 相切而要推得一些其他的结论时使用 活动 4 巩固练习 1(1)下列直线是圆的切线的是( ) A与圆有公共点的直线 B到圆心的距离等于半径的直线 C垂直于圆的半径的直线 D过圆的直径外端点的直线 (2)如图，已知直线 EF 经过O 上的点 E，且 OEEF，若EOF45，则直线 EF 和O 的位置关系是_ ,第(2)题图) ,第(3)题图) (3)如图， AB 是O 的直径， PAB90， 连接 PB 交O 于点
37、 C， D 是 PA 边的中点， 连接 CD.求证：CD 是O 的切线 2教材第 98 页 练习第 1，2 题 答案：1.(1)B；(2)相切；(3)连接 OC，OD；2.略 活动 5 课堂小结与作业布置 课堂小结 1知识总结：两个定理：切线的判定定理是_；切线的性质定理是_ 2方法总结：(1)证明切线的性质定理所用的方法是反证法 (2)证明切线的方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来， 然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直” ；当直线和圆的公共点没有明确 时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径” (3)在运用切线的性质时，
38、连接圆心和切点是常作的辅助线，这样可以产生半径和垂直 条件 作业布置 教材第 101 页 习题 24.2 第 46 题 第 3 课时 切线长定理 了解切线长的概念 理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用 复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、 性质定理知识迁移到切长线的概念和切线 长定理， 然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念， 最 后应用它们解决一些实际问题 重点 切线长定理及其运用 难点 切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题 一、复习引入 1已知ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？ 2点和圆有
39、几种位置关系？ 3直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理是什么？ 老师点评：(1)在黑板上作出ABC 的三条角平分线，并口述其性质：三条角平分线 相交于一点；交点到三条边的距离相等 (2)(口述)点和圆的位置关系有三种，点在圆内dr. (3)(口述)直线和圆的位置关系同样有三种：直线 l 和O 相交dr；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线 是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 二、探索新知 从上面的复习，我们可以知道，过O 上任一点 A 都可以作一条切线，并且只有一条， 根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题 问题：在你手中的纸上画出O，并画出过
40、A 点的唯一切线 PA，连接 PO，沿着直线 PO 将纸对折，设圆上与点 A 重合的点为 B，这时，OB 是O 的一条半径吗？PB 是O 的 切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的 PA 与 PB，APO 与BPO 有什么关系？ 学生分组讨论，老师抽取 34 位同学回答这个问题 老师点评：OB 与 OA 重叠，OA 是半径，OB 也就是半径了又因为 OB 是半径，PB 为 OB 的外端，又根据折叠后的角不变，所以 PB 是O 的又一条切线，根据轴对称性质， 我们很容易得到 PAPB，APOBPO. 我们把 PA 或 PB 的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫 做这点到圆
41、的切线长 从上面的操作我们可以得到： 从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角 下面，我们给予逻辑证明 例 1 如图，已知 PA，PB 是O 的两条切线 求证：PAPB，OPAOPB. 证明：PA，PB 是O 的两条切线 OAAP，OBBP， 又 OAOB，OPOP， RtAOPRtBOP， PAPB，OPAOPB. 因此，我们得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角 我们刚才已经复习， 三角形的三条角平分线交于一点， 并且这个点到三条边的距离相等 (同刚才画的图)设交点为 I
42、，那么 I 到 AB，AC，BC 的距离相等，如图所示，因此以点 I 为圆心，点 I 到 BC 的距离 ID 为半径作圆，则I 与ABC 的三条边都相切 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的 交点，叫做三角形的内心 例 2 如图，已知O 是ABC 的内切圆，切点为 D，E，F，如果 AE2，CD1， BF3，且ABC 的面积为 6.求内切圆的半径 r. 分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求，就 需添加辅助线，如果连接 AO，BO，CO，就可把三角形 ABC 分为三块，那么就可解决 解：连接 AO，BO，CO， O 是
43、ABC 的内切圆且 D，E，F 是切点 AFAE2，BDBF3，CECD1， AB5，BC4，AC3， 又SABC6， 1 2(453)r6， r1. 答：所求的内切圆的半径为 1. 三、巩固练习 教材第 100 页 练习 四、课堂小结 (学生归纳，老师点评) 本节课应掌握： 1圆的切线长概念； 2切线长定理； 3三角形的内切圆及内心的概念 五、作业布置 教材第 102 页 综合运用 11，12 243 正多边形和圆 了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间 的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形 复习正多边形概念， 让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题
44、引入正多边形和圆这一节 的内容 重点 讲清正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系 难点 通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系 一、复习引入 请同学们口答下面两个问题 1什么叫正多边形？ 2从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称 轴有几条，对称中心是哪一点？ 老师点评：1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形 2实例略正多边形是轴对称图形，对称轴有很多条，但不一定是中心对称图形，正 三角形、正五边形就不是中心对称图形 二、探索新知 如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心， 以点到顶点的连线为半径， 能
45、够作一个 圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形 ABCDEF，连接 AD， CF 交于一点，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，那么 B，C，D，E，F 肯定都在这个圆上 因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这 个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆 我们以圆内接正六边形为例证明 如图所示的圆，把O 分成相等的 6 段弧，依次连接各分点得到六边 ABCDEF，下面 证明，它是正六边形 ABBCCDDEEFAF， AB BC CD DE EF AF ， 又A1 2BCF 的度数1 2(BC CD DE EF )的度数2BC
46、 的度数， B1 2CDA 的度数1 2(CD DE EF FA)的度数2CD 的度数， AB， 同理可证：BCDEFA， 又六边形 ABCDEF 的顶点都在O 上， 根据正多边形的定义，各边相等、各角相等，六边形 ABCDEF 是O 的内接正六边 形，O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆 为了今后学习和应用的方便， 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中 心 外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 例 1 已知正六边形 ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是 a，求正六边形的周长和 面积
47、分析： 要求正六边形的周长， 只要求 AB 的长， 已知条件是外接圆半径， 因此自然而然， 边长应与半径挂上钩，很自然应连接 OA，过 O 点作 OMAB 垂足为 M，在 RtAOM 中 便可求得 AM，又应用垂径定理可求得 AB 的长正六边形的面积是由六块正三角形面积组 成的 解：如图所示，由于 ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于360 6 60，OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径 因此，所求的正六边形的周长为 6a 在 RtOAM 中，OAa，AM1 2AB 1 2a 利用勾股定理，可得边心距 OMa2(1 2a) 21 2 3a 所求正六边形的面积61 2AB
48、OM6 1 2a 3 2 a3 2 3a2 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形 例 2 利用你手中的工具画一个边长为 3 cm 的正五边形 分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为 3 的正五边形的半径 解：正五边形的中心角AOB360 5 72， 如图，AOM36，OA1 2AB sin361.5 sin362.55(cm) 画法：(1)以 O 为圆心，OA2.55 cm 为半径画圆； (2)在O 上顺次截取边长为 3 cm 的 AB，BC，CD，DE，EA. (3)分别连接 AB，BC，CD，DE，EA. 则正五边形 ABCDE 就是所要画的正五边形，如图 三、巩固练习 教材第 108 页 习题 1，2，3 四、课堂小结 (学生小结，老师点评) 本节课应掌握： 1正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角， 正多边的边心距 2正多边形的
