1、 ?（ ?） 这是古希腊哲学家喜欢讲的一个故事如果我们仔细想一想， 就会明白那个商人是多么机智他对强盗说： “ 你会 杀掉我的” 这样， 无论强盗怎么做， 都必定与许诺相矛盾如果不是这样， 假如他说： “ 你会放了我的” 这样， 强盗就可 以说： “ 不！我会杀掉你的， 你说错了， 应该杀掉” 商人就难逃一死了 解直角三角形 内容清单能力要求 锐角三角函数的意义能列举锐角三角函数的意义及表示方法 特殊角三角函数的意义能理解并记住特殊锐角三角函数数值 用锐角三角函数解决简单的实 际问题 会用锐角三角函数知识解决实际问题， 能说明方位 角、 俯角、 仰角、 坡角的含义， 并能解决相关问题 一、选择
2、题 （ 第题） （ 山东枣庄） 如图， 直径为 的 犃经过点犆（，） 和点犗（，） ，犅 是狔轴 右 侧犃优 弧 上 一 点， 则 犗 犅 犆的值为（） 槡 （ 天津） 的值等于（） 槡 槡 （ 广东深圳） 小明想测量一棵树的高度， 他发现树的影 子恰好落在地面和一斜坡上； 如图， 此时测得地面上的影长为 米， 坡面上的影长为米已知斜坡的坡角为 ， 同一时 刻， 一根长为米、 垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 米， 则树的高度为（） （ 槡 ） 米 米 （ 槡 ） 米 米 （ 第题） （ 第题） （ 福建福州） 如图， 从热气球犆处测得地面犃、犅两点的 俯角分别为 ， ， 如果此时热气球犆
3、处的高度犆 犇为 米， 点犃、犇、犅在同一条直线上， 则犃、犅两点的距离是 （） 米 槡 米 槡 米 （槡 ） 米 （ 广西桂林） 如图， 已知 犃 犅 犆中，犆 ，犅 犆 ，犃 犆 ， 则 犃的值为（） （ 第题） （ 第题） （ 甘肃兰州） 如图，犃、犅、犆三点在正方形网格线的交点 处， 若将犃 犅 犆绕着点犃逆时针旋转得到犃 犆 犅 则 犅 的值为（） 槡 （ 福建福州） 在 犃 犅 犆中，犆 ，犪、犫、犮分别是 犃、犅、犆的对边， 那么犮等于（） 犪 犃犫 犅 犪 犃犫 犅 犪 犃 犫 犅 犪 犃 犫 犅 （ 第题） （ 山东日照） 在 犃 犅 犆中，犆 ， 把犃的邻边与对边的比叫做犃
4、的 余切， 记作 犃犫 犪 则下列关系式中不 成立的是（） 犃 犃 犃 犃 犃 犃 犃 犃 犃 犃 （ 贵州毕节） 在正方形网格中，犃 犅 犆的位置如图所 示， 则 犅的值为（） （ 第题） ?（ ?） 韩信点兵又称为中国剩余定理， 相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少， 韩信答曰： 每人一列余人、人一 列余人、人一列余人、 人一列余人刘邦茫然而不知其数我们先考虑下列的问题： 假设兵不满一万， 每 人一列、人一列、 人一列、 人一列都剩人， 则兵有多少？首先我们先求、 、 之最小公倍数 （ 注： 因为 、 、 为两两互质的整数， 故其最小公倍数为这些数的积） ， 然后再加， 得 （ 人） 槡
5、 槡 槡 二、填空题 （ 山 东 济 宁） 在犃 犅 犆中， 若犃、犅满 足 犃 犅槡 （） ， 则犆 （ 湖北武汉） （ 辽宁铁岭） 如图， 在东西方向的海岸线上有犃、犅两 个港口， 甲货船从犃港沿北偏东 的方向以海里 小时 的速度出发， 同时乙货船从犅港沿西北方向出发， 小时后 相遇在点犘处， 问乙货船每小时航行海里 （ 第 题） （ 第 题） （ 山东泰安） 如图， 为测量某物体犃 犅的高度， 在点犇测得 点犃的仰角为 ， 朝物体犃 犅方向前进 米， 到达点犆， 再次 测得点犃的仰角为 ， 则物体犃 犅的高度为 （ 黑龙江哈尔滨） 如图， 在 犃 犅 犆中，犆 ，犃 犆 ，犃 犅 ， 则
6、 犅的值是 （ 第 题） （ 第 题） （ 江苏南京） 如图， 海边有两座灯塔犃、犅， 暗礁分布在 经过犃、 犅两点的弓形（ 弓形的弧是犗的一部分） 区域内， 犃 犗 犅 ， 为了避免触礁， 轮船犘与犃、犅的张角犃 犘 犅 的最大值为 （ 第 题） （ 第 题） （ 湖南衡阳） 河堤横断面迎水坡犃 犅的坡比是 槡 ， 堤高犅 犆 ， 则坡面犃 犅的长度是 （ 广东茂名） 如图， 在高出海平面 米的悬崖顶犃 处， 观测海平面上一艘小船犅， 并测得它的俯角为 ， 则船 与观测者之间的水平距离犅 犆米 （ 江苏南通） 如图， 测量河宽犃 犅（ 假设河的两岸平行） ， 在点犆测得犃 犆 犅 ， 在点犇
7、测得犃 犇 犅 ， 又犆 犇 ， 则河宽犃 犅为（ 结果保留根号） （ 第 题） （ 第 题） （ 广东佛山） 如图，犃 犅是伸缩性遮阳棚，犆 犇是窗户， 要想夏至正午时的阳光刚好不能射入窗户， 则犃 犅的长度是 （ 假如夏至正午时的阳光与地平面的夹角是 ） 三、解答题 （ 山西） 如图， 为了开发利用海洋资源， 某勘测飞机预 测量一岛屿两端犃、 犅的距离， 飞机在距海平面垂直高度为 米的点犆处测得端点犃的俯角为 ， 然后沿着平行于 犃 犅的方向水平飞行了 米， 在点犇测得端点犅的俯角为 ， 求岛屿两端犃、犅的距离（ 结果精确到 米， 参考数 据： 槡 ，槡 ） （ 第 题） （ 江苏苏州）
8、如图， 已知斜坡犃 犅长 米， 坡角（ 即 犅 犃 犆） 为 ，犅 犆犃 犆， 现计划在斜坡中点犇处挖去部分 坡体（ 用阴影表示） 修建一个平行于水平线犆 犃的平台犇 犈 和一条新的斜坡犅 犈（ 请将下面小题的结果都精确到 米， 参考数据槡 ） （ ） 若修建的斜坡犅 犈的坡角（ 即犅 犈 犉） 不大于 ， 则平台 犇 犈的长最多为米； （ ） 一座建筑物犌犎距离坡脚点犃 米远（ 即犃 犌 米） ， 小明在点犇测得建筑物顶部犎的仰角（ 即犎犇犕） 为 ?（ ?） 中国有一本数学古书 孙子算经 也有类似的问题： 今有物， 不知其数， 三三数之， 剩二， 五五数之， 剩三， 七七数之， 剩二， 问
9、物几何？答曰： 二十三 术曰： 三三数之剩二， 置一百四十， 五五数之剩三， 置六十三， 七七数之剩二， 置三十， 并之， 得二百三十三， 以二百一 十减之， 即得凡三三数之剩一， 则置七十， 五五数之剩一， 则置二十一， 七七数之剩一， 则置十五， 即得 点犅、犆、犃、犌、犎在同一个平面上， 点犆、犃、犌在同一 条直线上， 且犎犌犆 犌， 问建筑物犌犎高为多少米？ （ 第 题） （ 陕西） 如图， 小明想用所学的知识来测量湖心岛上的 迎宾槐与岸上的凉亭间的距离， 他先在湖岸上的凉亭犃处 测得湖心岛上的迎宾槐犆处位于北偏东 方向， 然后， 他 从凉亭犃处沿湖岸向正东方向走了 米到犅处， 测得湖
10、 心岛上的迎宾槐犆处位于北偏东 方向（ 点犃、犅、犆在同 一水平面上）请你利用小明测得的相关数据， 求湖心岛上的 迎宾槐犆处与湖岸上的凉亭犃处之间的距离（ 结果精确到 米） （ 参考数据： ， ， ， ， ， ） （ 第 题） （ 湖南常德） 如图， 一天， 我国一渔政船航行到犃处 时， 发现正东方向的我领海区域犅处有一可疑渔船， 正在以 海里?小时的速度向西北方向航行， 我渔政船立即沿北 偏东 方向航行， 小时后， 在我领海区域的犆处截获可 疑渔船问我渔政船的航行路程是多少海里？（ 结果保留 根号） （ 第 题） （ 四川资阳） 小强在教学楼的点犘处观察对面的办公 大楼为了测量点犘到对面办公
11、大楼上部犃 犇的距离， 小强 测得办公大楼顶部点犃的仰角为 ， 测得办公大楼底部点 犅的俯角为 ， 已知办公大楼高 米，犆 犇 米求点犘 到犃 犇的距离（ 用含根号的式子表示） （ 第 题） （ 山东德州） 某兴趣小组用高为 米的仪器测量建 筑物犆 犇的高度如示意图， 由距犆 犇一定距离的犃处用仪 器观察建筑物顶部犇的仰角为， 在犃和犆之间选一点犅， 由犅处用仪器观察建筑物顶部犇的仰角为测得犃、犅之 间的距离为米， ， ， 试求建筑物犆 犇的 高度 （ 第 题） （ 浙江金华） 生活经验表明， 靠墙摆放的梯子， 当 时（为梯子与地面所成的角） ， 能够使人安全攀爬 现在有一长为米的梯子犃 犅，
12、 试求能够使人安全攀爬时， 梯 子的顶端能达到的最大高度犃 犆 （ 结果保留两个有效数字， ， ， ， ） （ 第 题 ） ?（ ?） 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考， 不过根据考证， 著作年代不会在晋朝之后， 以这个考证来说上面这种 问题的解法， 中国人发现得比西方早， 所以这个问题的推广及其解法， 被称为中国剩余定理中国剩余定理（ ） 在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位 （ 安徽） 如图， 某高速公路建设中需要确定隧道犃 犅的 长度已知在离地面 高度犆处的飞机， 测量人员测 得正前方犃、 犅两点处的俯角分别为 和 ， 求隧道犃 犅 的长 （ 第 题） （ 江苏泰州） 一幢房屋的
13、侧面外墙壁的形状如图所示， 它由等腰三角形犗 犆 犇和矩形犃 犅 犆 犇组成，犗 犆 犇 ， 外 墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹， 其中一块的形状是四边 形犈 犉 犌犎， 测得犉 犌犈犎， 犌犎 ，犉 犌 犅 （ ） 求证：犌 犉犗 犆； （ ） 求犈 犉的长（ 结果精确到 ） （ 参考数据： ， ） （ 第 题） （ 湖北潜江、 天门、 仙桃、 江汉油田） 五月石榴红， 枝头 鸟儿歌一只小鸟从石榴树上的犃处沿直线飞到对面一房 屋的顶部犆处从犃处看房屋顶部犆处的仰角为 ， 看房 屋底部犇处的俯角为 ， 石榴树与该房屋之间的水平距离 为 槡 米， 求出小鸟飞行的距离犃 犆和房屋的高度犆 犇 （
14、第 题） （ 安徽芜湖） 图（） 为已建设封项的 层楼房和其塔 吊图， 图（ ） 为其示意图， 吊臂犃 犅与地面犈犎平行， 测得点 犃到楼顶点犇的距离为， 每层楼高 ，犃 犈、犅 犉、犆 犎 都垂直于地面， 犈 犉 ， 求塔吊的高犆 犎的长 （ 第 题） （ 湖南长沙） 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通 拥挤的现状， 交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌 （ 如图）已知立杆犃 犅高度是， 从侧面点犇测得显示牌 顶端点犆和底端点犅的仰角分别是 和 求路况显示 牌犅 犆的高度 （ 第 题） 趋势总揽 解直角三角形的知识是近年各地中考命题的热点之一， 考 查内容以基础知识与基础技能为主应用意识
15、进一步增强， 联系 实际， 综合运用知识、 技能的要求越来越明显， 不仅有计算距离、 高度、 角度的应用题， 更有要求学生根据题中给出的信息构建图 形， 建立数学模型， 然后用解直角三角形的知识解决问题， 考查 题型为选择题、 填空题、 应用题（ 分值一般在分以上） 年 中考题继续体现这种特点 高分锦囊 掌握锐角三角函数的概念， 会熟练运用特殊角的三角函 数值 了解某些实际问题中的仰角、 俯角、 坡度等概念 ? （ ?） 从前， 山东省有个大军阀， 在一次会议开始时想点点名， 了解一下哪些人来了， 哪些人没来可是， 到会的人数比较 多， 点名很费事， 于是这个不学无术的军阀就想了一个“ 办法”
16、 ， 他大声地叫道： “ 没有来的人请举手！ ” 他认为没有来的人 总是少数， 只要知道哪些人没来， 来的人无需一一点明就明白了到会的人面面相觑， 都感到莫明其妙 将实际问题转化为数学问题， 建立数学模型 涉及解斜三角形的问题时， 会通过作适当的辅助线构造 直角三角形， 使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决 实际问题的目的 解应用题的关键是根据实际问题画出示意图， 弄清图中 各个量的具体意义及各已知量和未知量之间的关系， 这些量不 一定恰好集中在一个直角三角形中， 这时应构造数学几何模型， 即通过添加适当辅助线将解一般三角形转化为解直角三角形， 如等腰（ 含等边） 三角形， 作底边上的高
17、； 一般三角形也可以作边 上的高（ 作哪一边上的高， 要便于解题） ， 这样可构造直角三角 形； 又如梯形， 过底上的两个顶点作另一底的高， 就可以构造出 两个直角三角形通过特殊的几何图形将未知量和已知量联系 起来， 也可以假设未知数， 通过设数（ 结合几何图形） 构造方程， 将未知量与已知量联系起来， 使问题得以解决 常考点清单 一、基本概念 锐角三角函数的概念 在 犃 犅 犆中，犆是直角，犃、犅、犆的对边分别是 犪，犫，犮， 如图 （ ） 犃犃 的对边 斜边 （ ） 犃犃 的邻边 斜边 仰角和俯角： 如图， 在同一铅垂面内视线和水平线间的夹 角， 视线在水平线上方的叫做， 在水平线下方的叫
18、做 坡度、 坡角和坡比： 如图， 通常把坡面的和 的比叫坡度（ 或叫做坡比） ， 用字母表示； 坡面 与水平面的夹角叫做， 记作 方位角： 如图，犃 犗 犅的方位角为；犇 犗 犆的 方位角为 二、 特殊角的三角函数值 锐角三角函数 槡 槡 三、直角三角形中的边角关系 在 犃 犅 犆中，犆 ， 犪，犫，犮分别是犃、犅、犆的对 边 三边之间的关系：； 两锐角之间的关系：； 边角之间的关系： 犃， 犅， 犃， 犅 四、解直角三角形 在直角三角形中， 由求的过程， 就是解直 角三角形 易混点剖析 解直角三角形时， 若所求元素不在直角三角形中， 则应将 它转化到直角三角形中去， 转化的途径有： 作辅助线
19、构造直角三角 形或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等 特殊角的三角函数值： （ ） （ ） 坡角与坡比： 坡比是坡角的正切值 设坡角为， 坡比为犻， 则犻 易错题警示 【 例】 （ 湖南岳阳） 九（ 一） 班课题学习小组， 为了 了解大树生长状况， 去年在学校门前点犃处测得一棵大树顶点 犆的仰角为 ， 树高； 今年他们仍在原点犃处测得大树犇 的仰角为 ， 问这棵树一年生长了多少米？（ 参考数据： ， ， ， ） ? （ ?） 在数学中， 集合是一个重要的基本概念今天会议应到的人就构成一个集合其中实到的人是应到的人的一部分我 们就把应到的人叫做“ 全集” ， 实到的人叫做它的“ 子集”
20、未到的人也是应到的人的一部分， 所以它也是一个子集实到的 人这个子集与未到的人这个子集之和正好是应到的人这个全集， 我们把这两个子集叫做互补的集合这个军阀为了了解 “ 实到的人” 这个子集， 转而去了解这个子集的补集 未到的人的集合这个方法是不错的不过由于他脱离了实际， 结 果闹了个大笑话 【 解析】本题考查仰角的定义此题难度适中， 注意能借助 仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键由题意， 得犇 犃 犅 ，犆 犃 犅 ， 犅 犆 ， 然后分别在 犃 犅 犆 与 犇 犃 犅中， 利用正切函数求解即可求得答案 【 答案】根据题意， 得犇 犃 犅 ，犆 犃 犅 ，犅 犆 ， 在 犃 犅 犆
21、中， 犃 犅 犅 犆 槡 槡 （） ， 在 犇 犃 犅中，犅 犇犃 犅 槡 （） ， 则犆 犇犅 犇犅 犆 （） 答： 这棵树一年生长了 【 例】 （ 四川攀枝花） 如图， 我渔政 船在南海 海面上沿正东方向匀速航行， 在犃地观测到我渔船犆在东北方 向上的我国某传统渔场若渔政 船航向不变， 航行半小时后 到达犅处， 此时观测到我渔船犆在北偏东 方向上问渔政 船再航行多久， 离我渔船犆的距离最近？（ 假设我渔船犆捕 鱼时移动距离忽略不计， 结果不取近似值） 【 解析】本题主要考查了解直角三角形的应用 方向角 问题， 正确理解方向角的定义是解决本题的关键我们可以过点 犆作犃 犅的垂线， 设垂足为犇
22、由题易知犆 犃 犅 ，犆 犅 犇 先在 犅 犆 犇中， 得到犆 犇槡 犅 犇， 再在 犃 犆 犇中， 得 到犆 犇犃 犇， 据此得出犅 犇 犃 犅 槡 ， 然后根据匀速航行的渔政 船其时间之比等于路程之比， 从而求出渔政 船行驶犅 犇 的路程所需的时间 【 答案】作犆 犇犃 犅于犇 犃地观测到渔船犆在东北方向上， 渔船犆在北偏东 方向上， 犆 犃 犅 ，犆 犅 犇 在 犅 犆 犇中， 犆 犇 犅 ，犆 犅 犇 ， 犆 犇槡 犅 犇 在 犃 犆 犇中， 犆 犇 犃 ，犆 犃 犇 ， 犆 犇犃 犇 槡 犅 犇犃 犅犅 犇 犅 犇 犃 犅 槡 槡 渔政 船匀速航行， 设渔政 船再航行狋分钟， 离我渔
23、船犆的距离最近， 狋 槡 狋 （ 槡 ） 答： 渔政 船再航行 （ 槡 ） 分钟， 离我渔船犆的距离 最近 一、选择题 （ 江苏沭阳银河学校质检题） 在直角三角形中不能求解 的是（） 已知一直角边和一锐角 已知斜边和一锐角 已知两边 已知两角 （ 山西大同模拟）在犃 犅 犆中，犅 ，犆 ， 犅 犆边上的高犃 犇 ， 则犅 犆的长为（） 槡 槡 槡 槡 槡 （ 安徽安庆二模） 当 ， 下列不等式成立的是 （） （ 陕西榆林模拟） 已知犃为锐角， 犃 ， 则锐角犃 满足（） 犃 犃 犃 犃 （ 陕西新希望教育二模） 如图， 在犃 犅 犆中，犃 ， 犅 ? （ ?） “ 补集” 的思想在我们生活中是
24、常用的现在是什么时间了？点差分这里不说点 分， 因为点差分 比较简单明了我们在电视和小说中也常看到， 公安人员侦破案子时， 总是逐一地把确证为不可能作案的嫌疑者排 除掉， 从而缩小嫌疑对象的范围， 这里也用到补集的思想 （ 第题） 槡 ， 犃 犆 槡 ， 则犃 犅等于（） （ 甘肃兰州） 点犕（ ， ） 关于狓轴的对称点 坐标是（） 槡 ， （） 槡 ， （） 槡 ， （） ， 槡 （） （ 四川达州） 如图所示， 在数轴上点犃表示的数狓的大 致范围是（） （ 第题） 狓 狓 狓 狓 （ 安徽芜湖模拟） 小明沿着坡度为的山坡向上走 了 ， 则他升高了（） 槡 槡 二、填空题 （ 海南省中考数学
25、科模拟） 铁路的路基的横断面为等腰 梯形， 其腰的坡度为 ， 上底宽为， 路基高为， 则 路基的下底宽为 （ 江苏沭阳银河学校质检题） 在 犃 犅 犆中，犆 ， 若 犅 ， 则 犃 （ 宁夏模拟） 若犃为锐角， 且 犃 犃 ， 犃 （ 安徽安庆一模） 地面上有一棵大树高为米， 早晨 ： 太阳光与地面的夹角为 ， 此时大树在地面上的影长 为米 （ 第 题） （ 第 题） （ 北京四中模拟） 如图所示， 某河堤的横断面是梯形 犃 犅 犆 犇，犅 犆犃 犇， 迎水坡犃 犅长 ， 且 犅 犃 犈 ， 则 河堤的高犅 犈为 （ 河南新乡模拟） 如图， 甲、 乙两楼相距 米， 甲楼高 米， 小明站在距甲楼
26、 米处目测得点犃与甲、 乙楼顶刚 好在同一直线上， 若小明的身高忽略不计， 则乙楼的高度是 米 （ 第 题） （ 第 题） （ 浙江衢州） 在一自助夏令营活动中， 小明同学从营地 犃出发， 要到犃地的北偏东 方向的犆处， 他先沿正东方 向走了 到达犅地， 再沿北偏东 方向走， 恰能到达目 的地犆（ 如图） ， 那么， 由此可知， 犅、犆两地相距 三、解答题 （ 广东二模） 日本福岛出现核电站事故后， 我国国家海 洋局高度关注事态发展， 紧急调集海上巡逻的海检船， 在相 关海域进行现场监测与海水采样， 针对核泄漏在极端情况下 对海洋环境的影响及时开展分析评估如图， 上午时， 海检 船位于犃处，
27、观测到某港口城市犘位于海检船的北偏西 方向， 海检船以 海里 时的速度向正北方向行驶， 下 午时海检船到达犅处， 这时观察到城市犘位于海检船的 南偏西 方向， 求此时海检船所在犅处与城市犘的距 离？ ， ， ， （） （ 第 题） （ 北京中考数学模拟试卷） 一条船在海面上自西向东 沿直线航行， 在犃处测得航标犆在北偏东 方向上， 前进 米到达犅处， 又测得航标犆在北偏东 方向上 （ ） 请根据以上描述， 画出图形； （ ） 已知以航标犆为圆心、 米为半径的圆形区域内有浅 滩， 若这条船继续前进， 是否有被浅滩阻碍的危险？为什 么？ （ 第 题） ? （ ?） 在小学， 学习心算和速算时， 补
28、数的用途很多进位的加法的口诀是“ 进一减补” ， 退位减法的口诀是“ 退一加补”乘法 速算用到补数的地方也不少 加得 ，和可以看成是互补的仿此， 和， 和也是互补的倒数关系以及初中 学的相反数关系， 也都可以理解为一种互补的关系在几何里， 补角和余角都是互补思想的运用 （ 云南双柏县学业水平模拟考试） 小明用一个有 角 的直角三角板估测他们学校的旗杆犃 犅的高度他将 角 的直角边水平放在 米高的支架犆 犇上， 三角板的斜边与 旗杆的顶点在同一直线上， 他又量得犇 犅的距离为 米试 求旗杆犃 犅的高度（ 精确到 米） （ 第 题） （ 安徽安庆二模） 如图， 一直升飞机航拍时测得正前方 一建筑物
29、犃的俯角为 ， 号机组犅的俯角为 已知建 筑物犃离号机组犅距离为 公里， 问此时飞行员有没有 被辐射的危险？ （ 第 题） （ 河南郑州模拟） 如图， 在航线犾的两侧分别有观测点 犃和犅， 点犃到航线犾的距离为 ， 点犅位于点犃北偏东 方向且与犃相距 处现有一艘轮船从位于点犅南 偏西 方向的犆处， 正沿该航线自西向东航行， 后该 轮船行至点犃的正北方向的犇处 （ ） 求观测点犅到航线犾的距离； （ ） 求该轮船航行的速度（ 结果精确到 ）（ 参考数 据： 槡 ， ， ， ） （ 第 题） 已知犃为锐角， 且 犃 ， 则（ ） 犃 犃 犃 犃 将一副三角板按如图（） 位置摆放， 使得两块三角板的
30、直角边 犃 犆和犕犇重合已知犃 犅犃 犆 ， 将犕 犈 犇绕点犃（犕） 逆时针旋转 后（ 如图（ ） ） ， 两个三角形重叠（ 阴影） 部分的 面积约是 （ 结果精确到 ， 槡 ） （ 第题） 如图， 某渔船在海面上朝正东方向匀速航行， 在犃处观测到 灯塔犕在北偏东 方向上， 航行半小时后到达犅处， 此时观 测到灯塔犕在 北 偏 东 方 向 上， 那 么 该 船 继 续 航 行 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置 （ 第题） 已知： 线段犗 犃犗 犅，犆为犗 犅中点，犇为线段犗 犃上一点连 结犃 犆、 犅 犇交于点犘 （） （） （） （ 第题 ） ? 在一个社交舞会上， 一个慈善家得意洋洋
31、地告诉美国作家马克吐温： “ 上个星期我根据困难程度将 枚银元施 舍给了 个穷人， 他们得到的数目各不相同” 马克吐温听了笑起来， 当场揭穿了慈善家的伪善面目你知道他是怎么 知道的吗？ （ ） 如图（） ， 当犗 犃犗 犅， 且犇为犗 犃中点时， 求犃 犘 犘 犆的值； （ ） 如图（） ， 当犗 犃犗 犅， 且犃 犇 犃 犗 时， 求 犅 犘 犆的值； （ ） 如图（） ， 当犃 犇犃 犗犗 犅狀槡狀时， 直接写出 犅 犘 犆的值 如图，犃、犅、犆三个粮仓的位置如图所示，犃粮仓在犅粮仓北 偏东 ， 处；犆粮仓在犅粮仓的正东方，犃粮仓的正 南方已知犃、 犅两个粮仓原有存粮共 ， 根据灾情需要，
32、 现 从犃粮仓运出该粮仓存粮的 支援犆粮仓， 从犅 粮仓运出该 粮仓存粮的 支援犆 粮仓， 这时犃、犅两处粮仓的存粮吨数 相等（ ， ， ） （ ）犃、犅两处粮仓原有存粮各多少吨？ （ ）犆粮仓至少需要支援 粮食， 问此调拨计划能满足犆 粮仓的需求吗？ （ ） 由于气象条件恶劣， 从犅处出发到犆处的车队来回都限 速以每小时 的速度匀速行驶， 而司机小王的汽车油 箱的油量最多可行驶小时， 那么小王在途中是否需要加 油才能安全地回到犅地？请你说明理由 （ 第题） 如图是某货站传送货物的平面示意图， 为了提高传送过程的 安全性， 工人师傅欲减小传送带与地面的夹角， 使其由 度 改为 度， 已知原传送
33、带犃 犅长为米 （ ） 求新传送带犃 犆的长度； （ ） 如果需要在货物着地点犆的左侧留出米的通道， 试判断 距离犅点米的货物犕犖 犙 犘是否需要挪动， 并说明理 由（ 精确到 米， 参考数据槡 ， 槡 ，槡 ，槡 ） （ 第题） 某商场为缓解我市“ 停车难” 问题， 拟建造地下停车库， 如图是 该地下停车库坡道入口的设计示意图， 其中，犃 犅犅 犇， 犅 犃 犇 ，犆在犅 犇上，犅 犆 根据规定， 地下停车库 坡道入口上方要张贴限高标志， 以便告知驾驶员所驾车辆能 否安全驶入小明认为犆 犇的长就是所限制的高度， 而小亮认 为应该以犆 犈的长作为限制的高度小明和小亮谁说的对？ 请你判断并计算出
34、正确的结果（ 结果精确到 ） （ 第题） 解直角三角形 年考题探究 解析 连结犃 犆、犗 犃， 则犗 犃 犆是等边三角形 所以 犗 犅 犆 犗 犃 犆 解析 解析 将图中直线延长与地面相交， 利用相似比及解 直角三角形解答 解析犅 犇 米， 犃 犇槡 米 解析 犃犅 犆 犃 犅 解析 犅 犅 解析犪 犃犫 犅犪 犪 犮 犫犫 犮 犪 犫 犮 犮 犮 犮 解析 犃 犃 犪 （ ） 犫 犫 （ ） 犪 犪 犫 犫 犪 ， 显然不等于， 只有 犃 犃 成立 解析 构造一个含有犅的直角三角形即可 解析 犃 犅槡 （） ， 犃 ， 犅槡 犃 ， 犅槡 犃 ，犅 犆 犃犅 槡 解析槡 槡 解析 过犘点向犃
35、 犅作垂线 槡 米 解析在直角三角形犃 犇 犅中，犇 ， 犃 犅 犅 犇 犅 犇 犃 犅 槡 犃 犅 在直角三角形犃 犅 犆中， 犃 犆 犅 犅 犆 犃 犅 槡 犃 犅 犆 犇 ， 犆 犇犅 犇犅 犆 槡 犃 犅槡 犃 犅 槡 犃 犅 解得犃 犅 槡 解析 犅犃 犆 犃 犅 解析犃 犘 犅 犃 犗 犅 解析犻犅 犆 犃 犆 槡 犃 犆， 得犃 犆 槡 犃 犅犅 犆 犃 犆 槡 （槡 ） 槡 解析犅 犆犃 犆 米 槡 解析 设犃 犅狓， 则 犃 犇 犅犃 犅 犅 犇， 得犅 犇 犃 犅 犅 犇狓 槡 槡 狓 又 犃 犆 犅犃 犅 犅 犆， 即 狓 犅 犇犆 犇 得槡 狓 槡 狓 ， 解得狓 槡
36、槡 解析犃 犅 犃 犇 槡 过点犃作犃 犈犆 犇于点犈， 过点犅作犅 犉犆 犇于点犉 犃 犅犆 犇， 犃 犈 犉犈 犉 犅犃 犅 犉 四边形犃 犅 犉 犈为矩形 犃 犅犈 犉，犃 犈犅 犉 由题意可知犃 犈犅 犉 米，犆 犇 米 在 犃 犈 犆中，犆 ，犃 犈 米 犆 犈 犃 犈 槡 槡 （ 米） 在 犅 犉 犇中，犅 犇 犉 ，犅 犉 犇 犉 犅 犉 （ 米） 犃 犅犈 犉犆 犇犇 犉犆 犈 槡 （ 米） 故岛屿两端犃、犅的距离为 米 （） （ 也对） （） 过点犇作犇 犘犃 犆， 垂足为犘 在 犇 犘 犃中，犇 犘 犃 犇 ， 犘 犃犃 犇 槡 槡 在矩形犇 犘 犌 犕中，犕 犌犇 犘 ，
37、犇 犕犘 犌 槡 在 犇犕犎中，犎犕犇犕 槡 （槡 ）槡 ， 得犌犎犎犕犕犌槡 故建筑物犌犎高为 米 如图， 作犆 犇犃 犅交犃 犅的延长线于点犇 由题意， 得犅 犆 犇 ，犃 犆 犇 在 犃 犆 犇和 犅 犆 犇中， 设犃 犆狓， 则犃 犇狓 ， 犅 犇犆 犇狓 狓 狓 狓 （ 米） 湖心岛上的迎宾槐犆处与凉亭犃 处之间的距离约 为 米 （ 第 题） 自犆点作犃 犅的垂线， 垂足为犇 南北方向犃 犅， 犆 犃 犇 ，犆 犅 犇 在等腰 犅 犆 犇中，犅 犆 ， 犆 犇 犅 犇 在 犃 犆 犇中，犆 犇犃 犆 ， 犃 犆槡 （ 海里） 故我渔政船的航行路程是 槡 海里 连结犘 犃、犘 犅， 过
38、点犘作犘犕犃 犇于点犕； 延长犅 犆交 犘犕于点犖， 则犃 犘犕 ，犅 犘犕 ，犖犕 米 设犘犕狓米 在 犘犕犃中， 犃犕犘犕 犃 犘犕狓 狓（ 米） 在 犘 犖 犅中， 犅 犖犘 犖 犅 犘犕（狓 ）槡 （ 米） 由犃犕犅 犖 米， 得狓（狓 ） 槡 ， 解得狓 槡 槡 点犘到犃 犇的距离为 槡 槡 米（ 结果分母有理 化为（槡 ） 米也可） （ 第 题） 设建筑物犆 犇与犈 犉的延长线交于点犌，犇 犌狓米 （ 第 题） 在 犇 犌 犉中， 犇 犌 犌 犉， 即 狓 犌 犉； 在 犇 犌 犈中， 犇 犌 犌 犈， 即 狓 犌 犈 犌 犉 狓 ，犌 犈 狓 犈 犉 狓 狓 狓 狓 解得狓 犆
39、犇犇 犌犌 犆 故建筑物高为 米 当 时， 梯子顶端达到最大高度 犃 犆 犃 犅， 犃 犆 （ 米） 故人安全攀爬梯子时， 梯子的顶端达到的最大高度约 米 犗 犃 槡 槡 ， 犗 犅犗 犆 ， 犃 犅 槡 （） 故隧道犃 犅的长约为 （） 在四边形犅 犆 犉 犌中， 犌 犉 犆 （ ） ， 犌 犉犗 犆 （） 如图， 作犉 犕犌犎交犈犎于点犕， 则有犉 犌犎犕 （ 第 题） 犉犕犌犎 ，犈 犉 犕 犉 犌犈犎，犌 犉犗 犆， 犈犎犗 犆 在 犈 犉 犕中，犈 犉犉 犕 （） 作犃 犈犆 犇于点犈 由题意可知：犆 犃 犈 ，犈 犃 犇 ，犃 犈 槡 米 在 犃 犆 犈中， 犆 犃 犈犆 犈 犃
40、犈， 即 犆 犈 槡 犆 犈槡 槡 槡 （ 米） 犃 犆 犆 犈 （ 米） 在 犃 犈 犇中，犃 犇 犈 犈 犃 犇 ， 犇 犈犃 犈 槡 （ 米） 犇 犆犆 犈犇 犈（ 槡 ） 米 故犃 犆 米，犇 犆（ 槡 ） 米 根据题意， 得犇 犈 ，犃 犅犈 犉 犃 犆 犅犆 犅 犌犆 犃 犅 ， 犃 犆 犅犆 犃 犅 犆 犅犃 犅 犆 犌犅 犆 犆 犎犆 犌犎犌犆 犌犇 犈犃 犇 故塔吊的高犆 犎为 在 犃 犇 犅中，犅 犇 犃 ，犃 犅 ， 犇 犃 在 犃 犇 犆中，犆 犇 犃 ， 犆 犃 犃 犇 犆 犃槡 犅 犆犆 犃犅 犃（槡 ） 故路况显示牌犅 犆的高度是（槡 ） 年模拟提优 解析 解直角三角形两元素中必须有一个是边长 解析犅 犇 ，犆 犇 槡 解析 采用特殊值法， 取值为 解析 槡 ， 槡 ， 介于这两个值之 间， 所以锐角犃满足 犃 解析 过点犆作犃 犅的垂线， 垂足为犇， 则犆 犇 槡 ， 犃 犇 ， 由 犅槡 ， 得犅 犇 ， 所以犃 犅 解析 槡 ， 关于原点对称点 坐 标 为 槡 ，（） ，关 于狓轴 对 称 点 坐 标 为 槡 ，（
