新人教A版高中数学必修一《4.2.2指数函数的图象和性质》教案及课件.zip

4.2.2 指数函数的图象和性质(人教 A 版普通高中教科书数学必修第一册第四章)一、教学目标一、教学目标1.类比研究幂函数性质的过程和方法，通过指数函数图象得出其性质；2.利用指数函数的图象研究指数函数的性质，并用所得性质进一步理解指数函数的图象；3.通过信息技术手段更好地理解指数函数的图象和性质。二、教学重难点二、教学重难点1.教学重点：指数函数的图象和性质2.教学难点：指数函数性质的理解三、教学过程三、教学过程教学过程时间教学环节主要师生活动1 分钟（一）复习概念，导入新课问题 1：上节课我们学习了一个新的函数指数函数，你能复述一下指数函数的概念和指数函数解析式的特征么？问题 2：类比研究幂函数性质的过程和方法，如何研究指数函数的性质？研究指数函数的性质主要研究哪些方面？师生活动：教师提出问题，引导学生复习指数函数的概念，指数函数解析式的特征，指数函数的定义域学生类比幂函数的学习经验，引出本节课的主题：指数函数的图象和性质，以及研究指数函数的图象和性质的方法类比已有的学习经验是一个好方法，引导学生回忆幂函数的学习过程，可知对于具体的函数，我们一般按照“概念图象性质”的过程进行研究前面我们学习了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质我们先从具体的指数函数入手设计意图：通过类比已有的研究函数图象和性质的内容和方法，提出研究指数函数的图象和性质的研究内容和研究方法首先先画出指数函数的图象，再借助图象研究指数函数的性质17分钟（二）绘制图象，自主探究问题 3：我们先从简单的函数2xy 入手请同学们画出指数函数2xy 的图象观察函数的图象，分析函数的性质 师生活动：从简单的函数2xy 入手，教师引导学生分析函数的性质，包括定义域，值域，奇偶性，单调性由概念知定义域为 R，根据指数运算，分析值域为(0,)，进而分析出函数的图象应该都在 x 轴上方通过特殊点的分析，得出函数不具有奇偶性单调性需要借助图象研究学生在列表时，分析 x 的取值，要兼顾正值和负值，在性质指导下画出函数的图象问题 4：请同学们画出指数函数1()2xy 的图象，观察函数的图象.师生活动：教师布置任务，学生自己选择方法作图，观察图象，探究函数的性质问题 5：你是如何画出函数1()2xy 的图象？描点法还是利用对称性？请讲出选择的理由师生活动：教师询问学生作图的方法，学生反馈自己用的是描点法还是利用了函数之间的对称性因为1()22xxy，点(x，y)与点(-x，y)关于 y 轴对称，所以函数2xy 图象上任意一点(,)P x y关于y轴的对称点1(,)Px y都在函数1()2xy 的图象上，反之亦然根据这种对称性，可以利用函数2xy 的图象，画出1()2xy 的图象并将此结论推广：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称，所以利用这种对称性，可以由一个函数的图象得到另一个函数的图象设计意图：根据函数的解析式先初步分析函数的性质，再选择合适的点，利用描点法画出函数的图象，然后由图象概括出函数的性质，这是我们研究具体函数的过程让学生观察两个具体的指数函数的图象，对指数函数的图象和性质有一个初步的认知学生在作图的过程中得出结论：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称根据这种对称性，我们将指数函数xya的图象按底数a的取值，分作1a 和01a两种类型进行研究让学生学会用联系的观点看待问题问题 6：我们将指数函数xya的图象按底数a的取值，分作1a 和01a两种类型进行研究为了得到指数函数xya的性质，我们还需要画出更多的具体的指数函数的图象进行观察问题 7：画出指数函数3xy 和4xy 的图象，分析它们的性质画出指数函数1()3xy 和1()4xy 的图象，分析它们的性质师生活动：学生动手操作，观察分析，师生共同评价教师指导学生先研究底数1a 的情况，可追问学生在1a 的范围内是否还需要进一步分类，为什么？引导学生还是要从具体的指数函数进行研究学生画出指数函数3xy 和4xy 的图象，教师借助几何画板呈现多个函数的图象观察图象，师生共同总结出图象的直观性质；当1a 时，底数越大越靠近y轴，而当01a，底数越小越靠近 y 轴，故底数互为倒数的两个指数函数图象关于 y 轴对称。设计意图：再研究了2xy 和1()2xy 这一对函数之后，再研究具有类似对称关系的其他几对函数，概括它们的共同特征通过选取底数a（a0，且a1）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象观察这些图象得出结论问题8：如图是指数函数xya，xyb，xyc，xyd的图像，则 a,b,c,d 与 1、0 的大小关系是 设计意图：利用刚刚师生总结的结论来解决实际问题，并通过几何画板验证结论的真实性。10分钟（三）观察归纳，概括性质同学们再次观察图象，分析它们的性质，并将它们跟函数2xy 的图象进行对比，寻找它们的共性，概括xya（1a）的值域和性质观察函数1()3xy 和1()4xy 的图象，寻找它们的共性，概括xya（01a）的值域和性质问题 9：观察以上这些图象的位置、公共点和变化趋势，你能寻找它们的共性？师生活动：学生合作学习，探究性质，师生互动总结教师将以上函数的图象放置于同一直角坐标系内，引导学生以小组为单位，观察函数的图象，归纳指数函数的性质，寻找共性（1）这些函数的图象都过点(0,1)（2）函数的定义域都是(,)，值域都是(0,)（3）当01a时，函数图象均呈下降趋势，即函数为减函数；当1a 时，函数图象均呈上升趋势，即函数为增函数问题 10：这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们得到的性质是否推广到一般的指数函数的性质？师生活动：依靠信息技术，教师根据指数函数的解析式直接作图，并对指数函数xya（a0，且a1）中的底数a进行任意取值，追踪函数图象的变化学生通过观察大量指数函数的图象，归纳的函数的性质设计意图：画出几个特殊函数的图象，观察这几个函数的图象来讨论函数的性质这会带来一系列问题：为什么这几个函数的图象就可以代表一般的指数函数的图象？由此得到的性质是否可靠？为什么要把底数a分为01a和1a 两类？利用信息技术，作图更加方便，学生能够通过大量的函数图象看到其共性，实现“由特殊到一般”的归纳过程，了解指数函数的性质问题 10：请同学们归纳概括指数函数的性质，并完成下表师生活动：学生从几何和代数两个角度描述函数的性质，将函数的图像特征转化为函数性质，展示其发现的指数函数的性质，师生共同归纳整理函数的性质，完成下表并生成记忆口诀：左右无限上青天，永与横轴不沾边，大一增小一减，定在（0，1）不动弹，由学生课后补上标题，增加趣味性。设计意图：教师指导学生根据图象归纳概括函数的性质学生根据函数的图象，归纳其范围、公共点、增减性等共性，概括指数函数的定义域、值域、特殊点和单调性和函数值变化情况在这个过程中，有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”10分钟（四）知识应用例题：比较下列各题中两个值的大小：（1）35.27.17.1，（2）2.0-1.0-8.08.0，（3）)10(2131aaaa且，（4）1.33.09.07.1，归纳小结：（1）当同底数并明确底数 a 与 1 的大小关系时，直接用函数的单调性来解；（2）当同底数但不明确底数 a 与 1 的大小关系时，要分情况讨论；（3）当底数不同不能直接比较时，可借助中间数（如 1 或 0 等），间接比较两个指数的大小。巩固练习：比较下列各组值中各个值的大小：（1）3.25.01.31.3，（2）24.0-3.0-3232，（3）1.0-5.0-2.03.2，设计意图：学生经历例题总结练习的过程，讲练结合，可以更好地理解和解决此类问题。1 分钟（五）课堂小结课堂小结：教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题（1）在本节课，你学习了哪些知识？（2）总结研究指数函数性质的一般步骤（3）本节课用到了哪些思想方法和核心素养？设计意图：引导学生从知识内容和研究的思想方法核心素养两个方面对本节课进行小结1 分钟（六）作业布置课后作业：教材 119 页习题 4.2 的第三题和第六题.作业拓展：1.函数)10(12aaayx且的图象必经过点_2.解不等式1211x设计意图：分层作业，激发学生的学习兴趣4.2.24.2.2指数指数函数的函数的图象和性质图象和性质重点、难点重点、难点重点：指数函数的图象和性质重点：指数函数的图象和性质难点：指数函数性质的理解难点：指数函数性质的理解教学目标教学目标1.1.类比研究幂函数性质的过程和方法，通过指数函数图象得出类比研究幂函数性质的过程和方法，通过指数函数图象得出其性质；其性质；2.2.利用指数函数的图象研究指数函数的性质，并用所得性质进利用指数函数的图象研究指数函数的性质，并用所得性质进一步理解指数函数的图象；一步理解指数函数的图象；3.3.通过信息技术手段更好地理解指数函数的图象和性质。通过信息技术手段更好地理解指数函数的图象和性质。指数函数的概念指数函数的概念 一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域R思考：类比研究幂函数性质的过程和方法，思考：类比研究幂函数性质的过程和方法，如何研究指数函数的性质？如何研究指数函数的性质？研究指数函数的性质主要研究哪些方面？研究指数函数的性质主要研究哪些方面？-2-1.5-1-0.500.511.52作出函数作出函数 的图象的图象011.0.35 0.25 0.71 4 22.83 11.41 0.5 -2-1.5-1-0.500.511.5242.8321.4110.710.50.350.25.列表、描点、连线列表、描点、连线011.P（x,y）P（-x,y）观察：观察：比较两个函数的图象，他们有什么关系比较两个函数的图象，他们有什么关系？结论：结论：底数互为倒数底数互为倒数的两个指数函数的图象的两个指数函数的图象关于关于y轴轴对称对称在同一在同一平面直角平面直角坐标系内坐标系内讨论指数函数底对其函数讨论指数函数底对其函数图象的影响图象的影响？思考思考在同一个平面直角坐标系内，当底在同一个平面直角坐标系内，当底a取值很多时图象又取值很多时图象又有什么变有什么变化化？当当 a1时，底数越大，时，底数越大，；当当0a1时，底数越小时，底数越小，当当a0且且a1时，函数时，函数 yax与与 函数的图象关于函数的图象关于 轴对称轴对称函数图象在第函数图象在第一一象限越靠近象限越靠近y轴轴 函数图象在第函数图象在第二二象限越靠近象限越靠近y轴轴 y 在同一在同一平面直角平面直角坐标系内坐标系内讨论指讨论指数函数底对其函数图象的影响数函数底对其函数图象的影响？思考思考 已知函数已知函数C1：y ax,C2：ybx,C3：ycx，C4：ydx，根，根据图象和上述结论试判断四个函数中据图象和上述结论试判断四个函数中a，b，c，d 的大小关系，并判的大小关系，并判断与断与1、0的大小关系的大小关系？答案：答案：cd1ab0 问题探究问题探究在在R上是减函数上是减函数在在R上是增函数上是增函数单调性单调性（0，1）（0，1）过定点过定点 x 0时，时，0 y 1 x 1 x 0时，时，y 1 x 0时，时，0 y 1函数值变函数值变化情况化情况R R值值 域域 (0,+)(0,+)定义域定义域图图 象象函函 数数R (0,+)（0，1）011011 指指数数函函数数的的 图象图象和和性质性质！记忆口诀记忆口诀左右无限左右无限上青上青天天,永与横轴不沾边永与横轴不沾边.大一增，小一减，大一增，小一减，定定在在(0,1)(0,1)不动弹不动弹.？例：比较下列各题中两个值的大小例：比较下列各题中两个值的大小:解解:可看作函数可看作函数 的两个函数值的两个函数值由于底数由于底数所以指数函数所以指数函数 在在 上是增函数上是增函数.所以所以因为因为例题讲解例题讲解例例：比较下列各题中两个值的大小比较下列各题中两个值的大小:例题讲解例题讲解解解:可看作函数可看作函数 的两个函数值的两个函数值所以指数函数所以指数函数 在在 上是减函数上是减函数.所以所以因为因为由于底数由于底数例例：比较下列各题中两个值的大小比较下列各题中两个值的大小:例题讲解例题讲解解解:例例：比较下列各题中两个值的大小比较下列各题中两个值的大小:例题讲解例题讲解解解:由指数函数的性质知由指数函数的性质知(4)3.当底数不同不能直接比较时：当底数不同不能直接比较时：可借助中间数（如可借助中间数（如1 1或或0 0等），间接比较两个指数的大小等），间接比较两个指数的大小1.1.当同底数并明确底数当同底数并明确底数a 与与1 1的大小关系时：的大小关系时：直接用函数的单调性来解直接用函数的单调性来解；2.当同底数但不明确底数当同底数但不明确底数a与与1 1的大小关系时：的大小关系时：要分情况讨论要分情况讨论；归纳小结归纳小结比较下列各组值中各个值的大小：比较下列各组值中各个值的大小：巩固练习巩固练习1本节课你收获了什么？本节课你收获了什么？课堂小结课堂小结2.研究指数函数性质的一般步骤研究指数函数性质的一般步骤:3.数学思想方法与核心素养数学思想方法与核心素养:观察观察图象图象归纳指数归纳指数函数性质函数性质指数函数性质指数函数性质的应用的应用分类讨论、由特殊到一般的方法分类讨论、由特殊到一般的方法数形结合的核心素养数形结合的核心素养本节课你收获了什么？本节课你收获了什么？1.指数函数图象和性质；指数函数图象和性质；本节课你收获了什么？本节课你收获了什么？作业作业：教材119页 习题4.2的 3,6 题拓展拓展：2.解不等式解不等式1.函数的图象必经过点的图象必经过点_ 作业布置作业布置