1、 2021 届单元训练卷高三文科数学卷（A） 第第 7 单元单元 数列数列 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题，每小题小题 5 分，在每小题给出
2、的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1已知数列 n a满足 1 3a ， 2 8a ， 2n a 等于 1nn aa 的个位数，则 2020 a（ ） A2 B4 C6 D8 2设 n a为等差数列，公差2d ， 58 230aa，则 6 a （ ） A8 B10 C12 D14 3已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 16 0S，且 17 0S，则当 n S最大时，n的值为（ ） A8 B9 C10 D16 4若等比数列 n a的各项均为正数， 2 3a ， 2 317 4aa a，则 5 a （ ） A 3 4 B 3 8
3、 C12 D24 5已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列 的项数为（ ） A2 B4 C8 D16 6已知数列 n a满足 1 1 nn n aa n ， 1 1a ，则数列 1 nn a a 的前10项和为（ ） A10 11 B 11 10 C 9 10 D10 9 7 设 n a为等比数列， n b为等差数列， 且 n S为数列 n b的前n项和若 2 1a ，1016a， 且 66 ab， 则 11 S（ ） A20 B30 C44 D88 8数列 n a的首项为3， n b为等差数列，且 1nnn baa （ * nN） ，若 3
4、2b ， 10 12b ， 则 8 a （ ） A0 B3 C8 D11 9已知等差数列 n a中， 3456 8aaaa，则 7 S （ ） A8 B21 C28 D35 10 已知正项等比数列 n a中， 35 4a a ， 且 4 a， 6 1a ， 7 a成等差数列， 则该数列公比q为 （ ） A 1 4 B 1 2 C2 D4 11数列1，12，124，1 242n ，的前n项和为（ ） A 1 22 n n B 2 22 n n C 2 23 n n D2 1 n n 12已知正项数列 n a的前n项和为 n S，数列 n a满足 1 1a ，(21) nnn Sa a数列 n b
5、满足 1 ( ) 2 n nn ba，它的前n项和为 n T （ ） A 2 2 2n n B 1 2 2 2n n C 2 2 2n n D 1 2 2n n 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13在等差数列 n a中， 5101520 20aaaa，则 24 S_ 14等比数列 n a中， 2 9a ， 5 243a ，则 n a的前4项和为_ 15已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且 13 5 2 aa， 24 5 4 aa，则 3 3 S a _ 16正项等比数列 n a满足： 2 1a ， 8 64a ，则数列 2 4
6、 n n a的前n项和是_ 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）数列 n a的前n项和为 n S （1）若 n a为等差数列，求证： 1 () 2 n n n aa S ； （2）若 1 () 2 n n n aa S ，求证： n a为等差数列 18 （12 分）记 n S是正项数列 n a的前n项和，1 n a 是4和 n S的等比中项 （1）求数列 n a的通项公式； （2）记 1 1 (1) (1) n nn b aa ，求数列 n b的前n项和
7、n T 19 （12 分）已知 n a是公差不为零的等差数列， 4 26a ，且 1 a， 2 a， 7 a，成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 ( 1)n nn ba ，数列 n b的前n项和为 n T，求 511 T 20 （12 分）已知数列 n a的首项为1， 1 3 nn aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足 3 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n T 21 （12 分）数列 n a中， 1 1a ， 1 21 nn aan （1）求证：存在n的一次函数( )f n，使得( ) n af n成公比为2的等比数列； （
8、2）求 n a的通项公式； （3）令 2 log () nn ban，求证： 222 12 1115 3 n bbb 22 （12 分）记数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 1 1 nn aS （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n na的前n项 n T 答答 案案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 【答案】A 【解析】已知 1 3a ， 2 8a ， 2n a 等于 1nn aa 的个位数， 则
9、3 4a ， 4 2a ， 5 8a ， 6 6a ， 7 8a ， 8 8a ， 9 4a ， 10 2a， 可以看出：从 8 a开始重复出现从 2 a到 7 a的值为8，4，2，8，6，8 因此 6nn aa （2n， * nN） ， 20204 6 3364 2aaa ，故选 A 2 【答案】B 【解析】由已知，得 5866 22()230aaadad，即 6 330a ，解得 6 10a ， 故选 B 3 【答案】A 【解析】因为在等差数列 n a中， 16 0S， 17 0S， 所以 116 16116 () 16 8()0 2 aa Saa ， 117 179 () 17 170
10、2 aa Sa ， 所以 11689 9 0 0 aaaa a ，所以 8 0a ， 9 0a ， 所以在等差数列 n a中，当8n且 * nN时， 0 n a ； 当9n且 * nN时， 0 n a ， 所以 n S最大值为 8 S，此时n的值为8，故选 A 4 【答案】D 【解析】数列 n a是等比数列，各项均为正数， 22 3174 4aa aa， 所以 2 2 3 2 4 4 a q a ，所以2q =， 所以 33 52 3 224aaq ，故选 D 5 【答案】C 【解析】设这个等比数列 n a共有2 ()k k N项，公比为q， 则奇数项之和为 1321 85 k Saaa 奇
11、， 偶数项之和为 2421321 ()170 nn Saaaq aaaqS 奇偶 ， 170 2 85 S q S 偶 奇 ， 等比数列 n a的所有项之和为 2 2 1 2 (1 2 ) 21 17085255 1 2 k k k a S ， 则 2 2256 k ，解得4k ， 因此，这个等比数列的项数为8，故选 C 6 【答案】A 【解析】 1 1 nn n aa n ， 1 1 n n an an ， 则 32 1 121 1211 1 23 n n n aaan aa aaann ， 1 111 (1)1 nn a a n nnn ， 所以，数列 1 nn a a 的前10项和为 1
12、0 1111111110 (1)()()()1 2233410111111 S ， 故选 A 7 【答案】C 【解析】 n a为等比数列， 2 6210 16aaa且 4 62 0aaq， 66 4ba， 又 n b为等差数列， 111 116 111144 2 aa Sa ，故选 C 8 【答案】B 【解析】由题意可设等差数列的首项为 1 b，公差为d，所以 103 14 2 1037 bb d ， 所以 13 2246bbd ，所以28 n bn，即 1 28 nn aan ， 12132887 ()()()3( 6)( 4)63aaaaaaaa ， 所以 8 3a ，故选 B 9 【答案
13、】C 【解析】 534563535 28aaaaaaaaa， 1735 7 7728 22 aaaa S ， 故选 C 10 【答案】C 【解析】由于 4 a， 6 1a ， 7 a成等差数列，所以 647 2(1)aaa， 所以 647 35 2(1) 4 aaa a a ，即 536 111 24 11 2 4 () 1a qa qa q a qa q ，解得 1 1 4 a ，2q ， 故选 C 11 【答案】A 【解析】设 1 1 (1 2 ) 1 24221 1 2 n nn n a ， 所以数列 n a的前n项和 2 12 2 12121 n nn Taaa 21 2(1 2 )
14、(222 )22 1 2 n nn nnn ， 故选 A 12 【答案】C 【解析】当2n时， 2 111 2 nnn Saa ， 又(21) nnn Sa a，两式相减整理得 111 ()()() nnnnnn aaaaaa ， 由于数列 n a为正项数列，则 1 1 nn aa ，故1 (1) n ann= +-=，即 n an， 1 ( ) 2 n n bn，所以 1 1 2 b ， 2 1 2 b ，则 1 1 2 T ， 2 1T ， A 中， 1 5 2 T ，舍去； B 中， 1 1T 舍去； C 中， 1 1 2 T ， 2 1T ，符合； D 中， 1 1T ，舍去， 故选
15、C 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】120 【解析】由等差数列的性质，得 5201110524 aaaaaa， 已知 5101520 20aaaa，解得 214 10aa， 1 24241 24) 24( 12(120) 2 aa Saa ，故答案为120 14 【答案】120 【解析】 3 5 2 27 a q a ，3q ， 2 1 3 a a q ， 4 1 4 (1) 120 1 aq S q ， 故答案为120 15 【答案】7 【解析】设等比数列 n a的公比为q，则 2 11 5 2 aa q， 3 11
16、5 4 a qa q， 两式相除可得 2 3 1 2 q qq ，解得 1 2 q ， 1 2a ， 1233 33 1 2 1 2 7 1 2 Saaa aa ，故答案为7 16 【答案】 21 (23) 26 n nn 【解析】由题意，设正项等比数列 n a的公比为(0)q q ， 则 66 82 64aaqq，解得2q =， 2 1 1 2 a a q ， 12 1 22 2 nn n a ， * nN 令 2 4 nn bn a，则 222 422 nn n bnn ， 设数列 2 4 n n a的前n项和为 n T， 则 2122232 1222322n n Tn， 2223221
17、21222(1)22 nn n Tnn ， 两式相减，可得 212222232221 12(21 ) 2(32 ) 2(1) 22 nn n Tnnn 12321 1 23 25 2(21) 22 nn nn ， 2，可得 23122 21 23 2(23) 2(21) 22 nnn n Tnnn ， ，可得 12321122 1 22 22 22 22(21) 22 nnnn n Tnnn 12221 28 (1 22) 2(21) 2 nn nnn 1 2121 1 2 28(21) 2(23) 26 1 2 n nn nnnn ， 故答案为 21 (23) 26 n nn 三、解答题：三
18、、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 （1）证明：已知数列 n a为等差数列，设其公差为d， 有 1 (1) n aand，则 123nn Saaaa， 于是 1111 (2 )(1)( n Saadadand， 又()(2 )(1) nnnnn Saadadand， 由相加有 1 2() nn Sn aa，即 1 () 2 n n n aa S （2）证明：由 1 () 2 n n n aa S ， 又当2n时， 11 1
19、(1) 2 ) n n naa S ， 所以 111 1 ()(1)() 22 nn nnn n aanaa aSS ， 111 1 (1)()() 22 nn n naan aa a ， 并整理，得 11( 2) nnnn aaaan ，即 11 2 nnn aaa ， 所以数列 n a是等差数列 18 【答案】 （1）21 n an； （2） 4(1) n n 【解析】 （1）因为1 n a 是4和 n S的等比中项，所以 2 (1)4 nn aS， 当2n时， 2 11 (1)4 nn aS ， 由，得 22 11 (1)(1)44 nnnn aaSS ， 化简得 22 1 (1)(1)
20、 nn aa ，即 1 11 nn aa 或者 1 110() nn aa （舍去） ， 故 1 2(2) nn aan ，数列 n a为等差数列， 因为 2 11 () 14aS，解得 1 1a ， 所以数列 n a是首项为1、公差为2的等差数列，21 n an （2）因为 11 11 () 2(22)41 n b nnnn ， 所以 12 111111 (1) 422314(1) nn n Tbbb nnn 19 【答案】 （1）86 n an； （2）2042 【解析】 （1）设 n a的公差为d，0d ， 1 a， 2 a， 7 a成等比数列， 2 217 aa a， 即 2 111
21、()(6 )ada ad，整理，得 2 1 40dda， 又0d ， 1 4da 又 41 326aad， 联立，得 1 1 4 326 da ad ，解得 1 2 8 a d ， 28(1)86 n ann （2） 11 ( 1)( 1)(86) nn nn ban ， 51112511 2 10 1826406640744082Tbbb (2 10)(1826)(40664074)4082=( 8) 25540822042 20 【答案】 （1） 1 3n n a ； （2） 323 44 3 n n n T 【解析】 （1）由题得 +1 =3 n n a a ，数列 n a是首项为1，公
22、比为3的等比数列， 1 3n n a （2） 33 n n n nn b a ，所以 231 1231 33333 n nn nn T ， 所以 2341 11231 333333 n nn nn T ， 上面两式相减得 231 21111 333333 n nn n T ， 所以 1 11 (1) 2 33 1 33 1 3 n n n n T ，所以 1 211 (1) 3233 n nn n T ， 所以 1 21111123 = 322 33236 n nnn nn T ，所以 323 44 3 n n n T 21 【答案】 （1）证明见解析； （2）2n n an； （3）证明见解
23、析 【解析】 （1）证明：设( )f nknb满足条件， 由于( ) n af n成公比为2的等比数列， 则 1 (1)2( ) nn afnnaf ，即 1 (1)2() nn ak nbaknb ， 由 1 21 nn aan ，得2(1)2)1( nn ak nbanknb， 解得1k ，0b， ( )f nn， 存在( )f nn，使( ) n af n成公比为2的等比数列 （2）由（1）知 n an是首项为 1 12a ，公比为2的等比数列， 则2n n an，2n n an （3）证明： 22 log ()log (2) n nn bannnn，即 n bn， 要证 222 12
24、1115 3 n bbb ，即证 222 1115 123n ， 当2n时， 22 11111 () 1211nnnn ， 222 1111111111111 1()()()() 124224354611nnn ， 即 222 11111 11115115 1() 1242 23132223nnnnn ， 所以 222 1115 123n ，即 222 12 1115 3 n bbb 22 【答案】 （1） 1* 2() n n anN - =?； （2）(1)21 n n Tn 【解析】 （1）由 1 1 nn aS ， 可得 1 1 nn aS （2n） ， ，得 1 2 nn aa （2n） ， 而 1 1a ， 211 1 1 122aSa ，即有 * 1 2() n n a n a N ， 所以 n a是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为 1* 2() n n anN - =? （2）由题得 1 2n nn bnan ， 令 0121 12 1 22 23 22n nn Tbbbn ， 有 123 21 22 23 22n n Tn ， 所以 121 1 2 1 22222(1)21 1 2 n nnnn n Tnnn ， 从而(1)21 n n Tn
