1、 1 高二上学期期中考试数学试题 一、 选择题（每题 5 分，共 60 分） 1、 若 , , ,a b c R a b?且 ，则下列不等式正确的个数是（ ） ba 11? 22 ba ? 44 bcac? 1122 ? c bc aA 1 B 2 C 3 D 4 2、已知 na 是由正数组成的等比数列， nS 表示 na 的前 n 项的和若 1 3a? ， 24144aa? ，则 10S 的值是 （ ） A 511 B 1023 C 1533 D 3069 3、 在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， 若 2a? ， 2b? ， sin cos 2BB?，则角 A 的大小
2、为（ ） A 60 B 30 C 150 D 30 或 150 4、 设公差不为零的等差数列 ?na 的前 n项和为 nS ，若 )(2 324 aaa ? ，则47SS 等于（ ） A 47 B 514 C 7 D 14 5、 不等式 xx 1? 的解集为（ ） A. )1,0()1,( ? B. ),1()0,1( ? ? C. ),1()1,( ? ? D. )1,1(? 6、已知数列 na 是等差数列，若 9 1130aa?， 10 11 0aa?，且数列 na 的前 n 项和 nS 有最大值，那么 nS 取得最小正值时 n 等于 （ ） A 20 B 17 C 19 D 21 7、
3、设变量 x,y满足约束条件 20202 8 0? ? ?xxyxy ，则目标函数 z=3x+y的最大值为 （ ） A.7 B.8 C.9 D.14 8、 在 ABC? 中，内角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，若 2ca? ， 1sin sin sin2b B a A a C?，2 则 sinB 为（ ） A 74 B 34 C 73 D 13 9、 如图，从地面上 C， D两点望山顶 A， 测得它们的仰角分别为 45和 30，已知 CD 100米，点 C位于 BD 上，则山高 AB等于 ( ) A 米 B 米 C 米 D 100米 10 、 数列?na满足11?，对任意的*n?N都有naa
4、a nn ? 11，则? 201621 111 aa ?（ ） A、20152016B、40322017C、40342017D、2016201711、在 ABC? 中，已知 CBA , 成等差数列， 且 3?b ，则 ? ? cba CBA sinsinsin （） A 2 B 21 C 3 D 33 12、对一切实数 x，不等式 x2 a|x| 1 0恒成立，则实数 a的取值范围是（ ） A（， 2 B 2,2 C 2，） D 0，） 二、填空题（每题 5分，共 20 分） 13、 在数列 na 中，11 12, 1nn naaa a? ?，则 2015a ? 14、 若直线 ? ?0,01
5、 ? babyax 过点（ 2， 1），则 3a+b的最小值为 15、 设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 10 5: 1:2SS? ，则 15 5:SS? . 16、 已知 ABC? 的 三个内 角 CBA 、 所对的边分别为 cba 、 ，则下列命题中正确的有_（填上你认为所有正确的命题序号） 若 CBAcba co s:co s:co s: ? ，则 ABC? 是正三角形； 若 CBAcba si n:si n:si n: ? ，则 ABC? 是正三角形； 若 CcBbAa tantantan ? ，则 ABC? 是正三角形； 3 若 Cabcba sin32222 ? ，则
6、 ABC? 是正三角形 . 三、 解答题 17、（ 10 分）解关于 错误 !未找到引用源。 的不等式 错误 !未找到引用源。 18、（ 12 分） ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.向量 ( , 3 )m a b? 与(cos ,sin )n A B? 平行 （ 1）求 A； （ 2）若 7a? ， b 2，求 ABC的面积 19、（ 12 分） 数列 na 的前 n 项和为 233nS n n?. （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）设 |nnba? ，求数列 nb 的前 n 项和 nS . 20 、（ 12 分） 在 ABC? 中 , 角 A 、 B 、
7、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 已知c o s 3 s i n 0b C b C a c? ? ? ?. （ 1）求 B ； （ 2） 若 3b? ,求 2ac? 的取值范围 . 21、（ 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 22nnSa?. （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）设函数 1( ) ( )2 xfx? ，数列 nb 满足条件 1 2b? ，1 1() ( 3 )n nfb fb? ? ?， *()nN? ，若 nn nbc a?，求数列 nc 的前 n 项和 nT 22、（ 12 分）已知函数 ? ?2 3kxfx xk?
8、? ? ?0k?. （ 1）若 ? ?f x m? 的解集为 | 3, 2x x x? ? ? ?或 ，求不等式 25 3 02kmx x? ? ?的解集； （ 2）若存在 3,x? 使得 ? ? 1fx? 成立，求 k 的取值范围 . 4 高二上学期期中考试数学 试题答案 一，选择题 1.A【解析】 对于 ， a 正 b 负时不成立，故错误；对于 ， a 与 b 都为负值时不成立，故错误；对于 ， 0c? 时不成立，故错误；对于 ，由于 2 10c ? ，根据不等式的性质，11 22 ? c bc a 总成立，故选 A. 考点：不等式的基本性质 . 2.D【解析】 由等比数列的性质可得， 1
9、442342 ? aaa ，因为数列是由正数组成的等比数列，则 03?a ，所以 123?a ，又因为 31?a ，所以 2?q ，代入等比数列的前 n 项和公式可得， ? ? 306921 213 1010 ?S，故选 D. 考点：等比数列的前 n 项和 3.B【解析】 由 sin cos 2BB?，两边平方得 1 2sin cos 2BB?，所以 2sin cos 1BB?，即 sin2 1B? ，所以 45B? ，又因为 2a? ， 2b? ，所以在 ABC? 中，由正弦定理得022sin sin 45A ?，解得 1sin 2A? ，又 ab? ，所 以 030A? ，故选 B. 考点
10、：正弦定理；三角函数的基本关系式 . 4.C【解析】 因为 ? ? ? ?4 2 3 4 1 42 , 2a a a a a a? ? ? ? ?,则? ? ? ? ?177 4144 1 47722 74 42aaS aaaS a a? ? ? ?考点： 1、等差数列的性质； 2、等差数列前 n 项和公式 . 5.B【解析】 ? ? ? 011011 2 ? x xxxxxx ， 根据穿线法可得不等式的解集为? ? ? ?，10,1- ? ， 故穿 B. 考点：解不等式 6.C 【解析】 由等差数列的性质和求和公式可得 10 110, 0aa?又可得 : 19 1019 0Sa?而5 20
11、10 1110( ) 0S a a? ? ?,进而可得 nS 取得 最小正值时 19n? . 考点：等差数列的性质 7.C 【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由 yxz ?3 得 zxy ? 3 ，平移直线 zxy ? 3 ，由图象可知当直线zxy ? 3 经过点 A 时，直线 zxy ? 3 的截距最大，此时 z 最大由 ? ? ? 082 02yxx ，解得?32yx，即 ? ?3,2A ，代入目标函数 yxz ?3 得 9323 ?z 即目标函数yxz ?3 的最大值为 9 故选： C 8.A 【解析】 因为 1sin sin sin2b B a A a C?,所以由
12、正弦定理可得 : 2212b a ac? ，又2 2 2 2 212 , 4 3 ,2c a a c b a a c a? ? ? ? ? ? ? ?利 用 余 弦 定 理 可得 : 2 2 2 233c o s ,2 2 2 4a c b aB a c a a? ? ? ?由于 0B? , 解得 : 2 97s in 1 c o s 11 6 4BB? ? ? ? ?,故选 A. 考点： 1、正弦定理及余弦定理； 2、同角三角函数之间的关系 . 9.A【解析】 设 AB xm? ，则由题意， D 30? ? ? ， ACB 45? ? ? ， 在 Rt ABC 中， BC AB xm?， 在
13、 Rt ADB 中， ? ?D B C D B C 10 0 xm? ? ? ?， 3DB AB? ，即 100 3xx? ，解得： ? ?50 3 1xm?. 6 故选 A 考点：解三角形的实际应用 10.B【解析】 11 ? naa nn ， 11 ? naa nn ，即 212 ?aa ， 323 ?aa ，naa nn ? ?1 ， 等 式 两 边 同 时 相 加 得 naa n ? ?4321 ，即1 2 3 4 1 2 3 4na a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12nn? ，则? ? ? ? 1112121 nnnnan ，1 2 3 2 0 1 61
14、 1 1 1 1 1 1 121 2 2 3 2 0 1 6 2 0 1 7a a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?40322017? ，故选： B. 考点：数列求和 . 11.B 【解析】由题 可知 06 , 3,Bb=，即可运用正弦定理：3s in s in s in s in 12 23A B C Ba b c b? ? ? ? 。 考点：正弦定理的运用 12.C【解析】根据题意，分 2种情况讨论； x=0时，原式为 1 0，恒成立，则 a R； x 0时，原式可 化为 a|x| -（ 2x +1），即 a -（ |x|+ 1x）； 又由 |x|+ 1x 2，则 -（
15、|x|+ 1x） -2； 要使不等式 2x +a|x|+1 0恒成立，需有 a -2即可； 综上可得， a的取值范围是 -2， +）； 二、填空题 13.2015 3 12aa? ?【解析】 由题意得，令 2n? ，则 12 1 1 113aa a ?；令 3n? ，则7 2321 112aa a ? ? ? ； 令 4n? ，则 3431 31aa a ? ? ；令 5n? ，则 4541 21aa a ? ；令 6n? ，则 56 5 1 113aa a ?， ，所以 此时数列为以 4 项为周期的周期数列，所以2015 3 12aa? ?， 考点：数列的周期性 . 14. 627? 【解析
16、】 直线 ? ?0,01 ? babyax 过点 ?1,2 ， 112 ?ba ，故? ? 2133a b a b ab? ? ? ?2 3 2 37 7 2 7 2 6b a b aa b a b? ? ? ? ? ? ? ?，当且仅当 baab 32 ?即 ab 32 ? 时取等号，结合 112 ?ba 可解得 3 66?a 且 16?b ，故答案为：627? 【考点】基本不等式 . 15.【答案】 34 【解析】 设 5 102,S a S a?，则 5 10 5 15 10,S S S S S?成等比数列，可得15 32Sa?，从而15 5:SS? 34 . 考点：等差数列的性质 .
17、16. 【 解 析 】 若 CBAcba c o s:c o s:c o s: ? ，由正弦定理可得: : s i n : s i n : s i na b c A B C? ，所以 s i n : s i n : s i n C c o s : c o s : c o sA B A B C?,因此必有3A B C ? ? ? , 所以 ABC? 是 正 三 角 形 ； 由 正 弦 定 理 可 得2 s in , b 2 R s in , 2 s ina R A B c R C? ? ?，所以 : : sin : sin : ina b c A B C? 对任意三角形都 成 立 ， 所 以 错
18、 误 ； 若 CcBbAa tantantan ? ， 结 合 正 弦 定 理 可 得s i n s i n s i ns i n : s i n : s i n C t a n : t a n : t a n : :c o s c o s c o sA B CA B A B C A B C?, 所以c o s c o s c o sA B C?,因此 A B C?, ABC? 是正三角形 ,所以正确；利用正弦定理可把 Cabcba sin32222 ? 化为 222s in s in s in 2 3 s in s in s inA B C A B C? ? ?，由于 A B C ? ? ? ,所以 ? ?C A B? ? ? ,通过三角恒等变换可得 ? ?sin 0AB?,所以8 AB? ,同理可得 BC? ,所以 ABC? 是正三角形，故正确 . 考点：正弦定理及三角恒等变换 . 三、解答题 17.试题解析：原不等式可化为 011 ? )( axx 当 0?a 时，不
