1、 1 山东省济南市历城区 2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文 本卷满分 150分,考试时间 120分钟 第 ? 卷(选择题 , 共 50分 ) 一、选择题 :本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知 p: 2 2 5; :3 2,q? ? ? 则下列判断错误的是 ( ) A p q q?“ ” 为 真 , “ ” 为 假 B p q p?“ ” 为 假 , “ ” 为 真 C p q p?“ ” 为 假 , “ ” 为 假 D p q p q?“ ” 为 假 , “ ” 为 真 2.在 ABC? 中,已知
2、, 2, 45a x b B? ? ?,如果三角形有两解,则 x 的取值范围是 ( ) A 2 2 2x? B. 22x? C 22x? D.02x? 3.已知 1, , , , 4abc?成等比数列,则实数 b 为( ) A 4 B 2? C 2? D 2 4.若实数 x, y满足 04yx ? ,则 22 yx? 的最小值是( ) A 12 B 4 C 8 D 7 5.两个等差数列 ?na 和 ?nb ,其前 n 项和分别为 nS , nT ,且 ,则 2 207 15aabb? ? ( ) A B C D 6.如果实数 x、 y满足条件 ,那么 2x y的最大值为( ) A 2 B 1
3、C 2 D 3 7.设 nS 是等差数列 ?na 的前 n 项和,公差 d 0,若 11 132S ? , 3 24kaa?,则正整数 k 的值( ) A 9 B 10 C 11 D 12 8.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在 河岸上选一点 C,使在 C塔底 B的正东方向上,测得点 A的仰角为 60,再由点 C 沿北偏东 15方向走 10 米到位置 D,测得 BDC=45,则塔 AB 的 高度为( ) 2 A 10米 B.10 2米 C. 10 3米 D.10 6米 9.定义 为 n个正数 12, ,. np p p 的“均倒数”若已 知数列 ?na 的前 n 项的“均倒数”为 ,又 1
4、4nn ab ?,则 =( ) A B C D 10.不等式 2220x axy y? ? ?对 任意 x 1, 2及 任意 y 1, 3恒成立,则实数 a 取值范围是( ) A.a B.a C.a D.a 第 ? ? 卷(非选择题 , 共 100分) 二、填空题 :本大题共 5小题,每小题 5分,共 25分 . 11. 命题 “ xR? , 使得 2 11x ? ” 的否定为 _. 12.在 ABC中, 01, 45 , 2ABCa B S ? ? ?, 则 b =_. 13.已知关于 x 的不等式 0ax b? 的解集是( 3, +),则关于 x 的不等 式 02ax bx ? ? 的解集
5、是 _ 14.已知数列 ?na 满足 *+1 = ( )nnna a n N?( -1 ) , 1 1a? , nS 是数列 ?na 的前 n项和,则 2015S ? _ 15.下列命题: 设 ,ab是非零实数,若 ab? ,则 22ab ab? ;若 0ab?,则 11ab? ; 函数 y= 的最小值是 2;若 x、 y是正数,且 + =1,则 xy 有最小值 16; 已知两个正实 数 x, y满足 + =1,则 x+y的最小 值是 42. 其中正确命题的序号是 _ 三、解答题:本大题 共 6小 题,共 75分,请写在答题卡指定区域内 . 16.给定两个命题, p :对任意实数 x 都有 2
6、 10ax ax? ? ? 恒成立; q : 2 8 20 0aa? ? ?如果 pq? 为真命题, pq? 为假命题,求实数 a 的取值范围 3 17.锐角ABC?的内角,所对的边分别为abc,向量( , 3 )m a b?与(cos ,sin )n A B?平行 . ( 1) 求 角 A; ( 2) 若2a?,求 周长的取值范围 . 18.等比数列 ?na 的前 n 项和为 nS ,已知 1 3 2,S S S 成等差数列,且 133aa?. ( 1)求 ?na 的公比 q 及通项公式 na ; ( 2)n nnb a?,求数列 ?nb 的前 n项和 nT 19.已知函数 ()fx= (
7、sin2x cos2x+ ) sin2( x ), x R ( 1)求函数 ()fx的单调 递增区间; ( 2)在 ABC中,角 A, B, C 的对边分别为,abc,且 ( ) 1fB? , 2b? ,求 ABC的面积的最大值 20.徐州、苏州两地相距 500千米,一辆货车从徐州匀速行驶到苏州,规定速度不得超过 100千米 /小时已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可 变部分与速度 v(千米 /时)的平方成正比,比例系数为 0.01;固定部分为 a 元( a 0) ( 1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米 /时)的函数,并指出这个函数的定义域; ( 2
8、)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 21.设数列 ?na 的前 n 项和为 nS .已知 1 1a? , 212 1233n nS a n nn ? ? ? ?, *n?N . 4 ( 1) 求 2a 的值 ; ( 2) 求数列 ?na 的通项公式 ; ( 3) 在数列 ?nb 中,142nnnnb aa? ,求 ?nb 的前 n 项和 nT . 5 高二 上学期 数学期 中考试卷答案 1-5 CABCD 6-10 BADCB 11. xR? , 都有 2 11x ? 12. 5 13. ? ?3,2? 14. -1 15. 16.解:命题 p : ax2+ax+1 0恒成立 当
9、 a=0时,不等式恒成立,满足题意) 当 a 0时, ,解得 0 a 4 0 a 4 命题 q : a2+8a 20 0解得 10 a 2 pq? 为真命题, pq? 为假命题 ,pq有且只有一个为真, 当 p 真 q 假时 0410 2aaa? ? ? ? 或得 24a? 当 p 假 q 真时 0410 2aaa? ? ? 或得 10 0a? ? ? 所以 10 a 0或 2 a 4 17.解: (I)因为/mn,所以si n 3 cos 0B b A?由正弦定理,得si n si n 3 si n c o s 0A B B A?, 又sin 0B?,从而tan 3A?,由于0 ?, 所以3
10、A ?(II)由正弦定理知 2 2 6s in s in s in 332b c aB C A? ? ? ? ?262 s in s in3l a b c B C? ? ? ? ? ? 又 23CB?,所以 2s i n s i n s i n s i n ( ) 3 s i n ( )36B C B B B? ? ? ? ? ? 因为ABC?为锐角三角形,所以 62B? , 26 3 3B ? ? ?, 3sin sin 32BC ? ?, 所以 ? 6 + 2,3 2l ? ?. 18.解:( 1)依题意有 , 6 a1 0, 2q2+q=0, q 0, q= , ,解得 a1=4 ( 2
11、) bn= = , +? +n( 2) n 1, 2Tn= 1( 2) +2( 2) 2+3( 2) 3+? +n( 2) n, 两式相减,得: 3Tn= 1+( 2) +( 2) 2+? +( 2) n 1 n( 2) n= , = 19.解:( 1) f( x) = ( cos2x) 1 cos( 2x ) = sin2x cos2x=sin( 2x ), 令 +2k 2x +2k, k Z,得到 k x k + , k Z, 则函数 f( x)的单调递增区间 k , k + , k Z; ( 2)由 f( B) =1,得到 sin( 2B ) =1, 2B = ,即 B= , 由余弦定理
12、得: b2=a2+c2 2accosB,即 4=a2+c2 ac 2ac ac=ac,即 ac 4, S ABC= acsinB= ac ,则 ABC的面积的最大值为 20.解:( 1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ,全程运输成本为 y=a +0.01v2 = ? ( 4分) 故所求函数及其定义域为 , v( 0, 100?( 6分) ( 2)依题意知 a, v都为正数,故有 ,当且仅当 ,即 v=10 时, 等号成立?( 8分) 若 100,即 0 a 100时,则当 v= 时,全程运输成本 y最小( 10 分) 若 100,即 a 100时,则当 v( 0, 100时,由对号
13、函数的单调性知函数在 v( 0, 100上单调递减,也即当 v=100时,全程运输成本 y最小?( 12分) 7 综上知,为使全程运输成本 y最小,当 0 a 100时行驶速度应为 v= 千米 /时;当 a 100时行驶速度应为 v=100 千米 /时?( 13 分) 21.解: (1) 解 : 212 1233n nS a n nn ? ? ? ?,nN? . ? 当 1n? 时 , 1 1 2 2122 2 1 233a S a a? ? ? ? ? ? ? 又 1 1a? , 2 4a? (2)解 : 212 1233n nS a n nn ? ? ? ?,nN? . ? ? ? ? ?
14、3211 12122 3 3 3n n n n n nS n a n n n n a? ? ? ? ? ? ? ?当 2n? 时 , ? ? ? ? ? ?1 1121 3nn n n nS n a? ? ? ? 由 , 得 ? ? ? ?112 2 1 1n n n nS S n a n a n n? ? ? ? ? ? 12 2 2n n na S S ? ? ? ? ?12 1 1n n na n a n a n n? ? ? ? ? ? 1 11nnaa? ? ? ( 2n? )又 211aa? ?数列 nan?是以首项为 1 11a? ,公差为 1的等差数列 . ? ? ? ?2*1 1 1 ,n na n n a n n Nn? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)证明 :由 (2)知 , 2*,na n n N? 则2 2 2 214 2 4 2 1 12 ( )( 1 ) ( 1 )n nnb a a n n n n? ? ? ?; 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 12 ( ) 2 (1 )1 2 2 3 ( 1 ) ( 1 )nT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?