1、高考专题突破四高考中的立体几何问题大一轮复习讲义命题点1求线线角例1(2019湖北知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABCA1B1C1中，A1ACBAC60，平面A1ACC1平面ABC，AA1ACAB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为_.空间角的求法多维探究题型一解析方法一令M为AC的中点，连结MB，MA1，由题意知ABC是等边三角形，所以BMAC，同理，A1MAC，因为平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，BM平面ABC，所以BM平面A1ACC1，因为A1M平面A1ACC1，所以BMA1M，方法二如图，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连结BD，C
2、D，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连结DD1，BD1，则ABC1D1，且ABC1D1，所以AC1BD1，故A1BD1或其补角为异面直线AC1与A1B所成的角.连结A1D1，过点A1作A1MAC于点M，连结BM，设AA12，由A1AMBAC60，因为平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，A1M平面A1ACC1，所以A1M平面ABC，又BM平面ABC，(1)求异面直线所成角的思路：选好基底或建立空间直角坐标系.求出两直线的方向向量v1，v2.代入公式|cosv1，v2|求解.(2)两异面直线所成角的关注点：两异面直线所成角的范围是 ，两
3、向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练1(2020邵阳模拟)若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为 ，AB1，则直线AB1与CD1所成的角为A.30 B.45 C.60 D.90以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设直线AB1与CD1所成的角为，又090，60，直线AB1与CD1所成的角为60.故选C.命题点2求线面角例2如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1
4、C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)证明：AB1平面A1B1C1；方法一证明由AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，由BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC，又因为A1B1B1C1B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1，所以AB1平面A1B1C1.方法二证明如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意知各点坐标如下：又A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面A1B1C1，所以AB1平面A1B1C1.(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.方法一解如图，过点C1
5、作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连结AD.由AB1平面A1B1C1，由C1DA1B1，平面A1B1C1平面ABB1A1B1，C1D平面A1B1C1，得C1D平面ABB1.所以C1AD即为AC1与平面ABB1所成的角.得平面A1B1C1平面ABB1.方法二解设直线AC1与平面ABB1所成的角为.设平面ABB1的一个法向量为n(x，y，z).(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.思维升华SI WEI
6、 SHENG HUA跟踪训练2如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点.(1)证明：EFBC；方法一证明如图，连结A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC，则A1EBC.又因为A1FAB，ABC90，故BCA1F，又A1E，A1F平面A1EF，A1EA1FA1，所以BC平面A1EF.又EF平面A1EF，因此EFBC.方法二证明连结A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，所
7、以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC.如图，以E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.方法一解取BC的中点G，连结EG，GF，由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形.连结A1G交EF于O，由(1)得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).则EGFA1是平行四边形.方法二解设直线EF与平面A1BC所成
8、角为.设平面A1BC的法向量为n(x，y，z).命题点3求二面角例3(2020连云港模拟)如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形.SA平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45.(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；证明连结AC，BD交于点G，连结EG，FG.因为四边形ABCD为矩形，且E，F分别是AD，SC的中点，所以EGCD，且FGSA.又SA平面ABCD，所以GF平面ABCD，所以GFAD.又ADGE，GEGFG，GE，GF平面GEF，所以AD平面GEF，所以ADEF.因为EF与平面ABCD所成的角为45，所以FEG45，从而GEGF，所以
9、SAAB.取SB的中点H，连结AH，FH，从而四边形AEFH为平行四边形.所以EFAH.又由SAAB，知AHSB.又SABC，ABBC，SAABA，SA，AB平面SAB，所以BC平面SAB，所以AHBC.又SBBCB，SB，BC平面SBC，所以AH平面SBC.所以EF平面SBC，又SC平面SBC，所以EFSC.综上知EF为异面直线AD与SC的公垂线.则由F，H分别为SC，SB的中点，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面SBC的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，设二面角BSCD的平面角为，由图知，二面角BSCD为钝角，(1)求二面角最常用的方
10、法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.(2)利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：求平面的垂线的方向向量.利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练3(2019湖北宜昌一中模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点.(1)证明：BEPD；解依题意，以点A为原点，以AB，AD，AP为轴建立空间直角坐标系如图，可得B(1
11、,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).由E为棱PC的中点，得E(1,1,1).(2)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABD的余弦值.不妨令z1，可得n1(0,3，1)为平面FAB的一个法向量，取平面ABD的法向量n2(0,0,1)，又因为二面角FABD为锐二面角，立体几何中的探索性问题题型二师生共研例4(2019淄博模拟)已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60的二面角，点M在线段AB上.(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD平面E
12、MC；解因为直线MF平面ABFE，故点O在平面ABFE内也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上(如图所示)，因为AOBF，M为AB的中点，所以OAMFBM，所以OMMF，AOBF，所以点O在EA的延长线上，且AO2，连结DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点，连结MN，因为MN为DOF的中位线，所以MNOD，又因为MN平面EMC，OD平面EMC，所以直线OD平面EMC.(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60；若存在，求此时二面角MECF的余弦值，若不存在，说明理由.解由已知可得，EFAE，EFDE，AEDEE，所以EF平面ADE，
13、所以平面ABFE平面ADE，取AE的中点H为坐标原点，以AH，DH所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面EMC的法向量m(x，y，z)，因为DE与平面EMC所成的角为60，解得t1或t3，所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60，取ED的中点Q，因为EF平面ADE，AQ平面ADE，所以AQEF，又因为AQDE，DEEFE，DE，EF平面CEF，设二面角MECF的大小为，因为当t2时，cos 0，平面EMC平面CDEF，(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定
14、假设，若得出矛盾的结论则否定假设.(2)平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练4(2019天津市南开区南开中学月考)如图1，在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，DEAB于点E，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1DBE，如图2.(1)求证：A1E平面BCDE；证明因为A1DBE，DEBE，A1DDED，A1D，DE平面A1DE，所以BE平面A1DE，因为A1E平面A1DE，所以A1EBE，又因为A1EDE，BEDEE，
15、BE，DE平面BCDE，所以A1E平面BCDE.(2)求二面角EA1DB的余弦值；解以E为原点，分别以EB，ED，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0，0)，A1(0,0,1)，设平面A1BD的法向量n(x，y，z)，因为BE平面A1DE，因为所求二面角为锐角，(3)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP平面A1BD？若 存在，求的值；若不存在，说明理由.解假设在线段BD上存在一点P，使得平面A1EP平面A1BD，设平面A1EP的法向量m(x1，y1，z1)，因为平面A1EP平面A1BD，利用空间向量求解空间角答题模板例(12分)(2019全国)如图，
16、直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.(1)证明：MN平面C1DE；规范解答证明连结B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，由题设知A1B1DC且A1B1DC，可得B1CA1D且B1CA1D，故MEND且MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，3分所以MNED.4分又MN平面C1DE，ED平面C1DE，5分所以MN平面C1DE.6分(2)求二面角AMA1N的正弦值.规范解答解由已知可得DEDA，以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，7分设m(x，y，z)为平面A1M
17、A的一个法向量，设n(p，q，r)为平面A1MN的一个法向量，可取n(2,0，1).10分答题模板DA TI MU BAN利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；第二步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第三步：计算向量的夹角(或函数值)，并转化为所求角.课时精练基础保分练1.(2019南京模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC和AA1C均是边长为2的等边三角形，点O为AC中点，平面AA1C1C平面ABC.(1)证明：A1O平面ABC；证明AA1A1C，且O为AC的中点，A1OAC，又平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，A1O
18、平面AA1C1C，A1O平面ABC.1234512345(2)求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值.解如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，平面A1BC1的一个法向量为n(1,0,1)，1234512345设直线AB与平面A1BC1所成的角为，2.如图1，在ABC中，BC3，AC6，C90，且DEBC，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1DCD，如图2.(1)求证：BC平面A1DC；12345证明DEA1D，DEBC，BCA1D，又BCCD，A1DCDD，A1D，CD平面A1CD，BC平面A1
19、DC，(2)若CD2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值.12345在直角梯形CDEB中，过E作EFBC，EF2，BF1，BC3，B(3,0，2)，E(2,0,0)，C(0,0，2)，A1(0,4,0)，设平面A1BC的法向量为m(x，y，z)，令y1，m(0,1，2)，设BE与平面A1BC所成角为，12345123453.(2020重庆诊断)如图1，在边长为5的菱形ABCD中，AC6，现沿对角线AC把ADC翻折到APC的位置得到四面体PABC，如图2所示.已知PB .(1)求证：平面PAC平面ABC；12345证明取AC的中点O，连结PO，BO得到PBO.四边形ABCD是菱形，PAPC，PO
20、AC.DC5，AC6，OC3，POOB4，POOB.OBACO，OB，AC平面ABC，PO平面ABC.PO平面PAC，平面PAC平面ABC.1234512345解ABBC，BOAC.易知OB，OC，OP两两垂直.以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则B(4,0,0)，C(0,3,0)，P(0,0,4)，A(0，3,0).设点Q(x，y，z).设n1(x1，y1，z1)为平面BCQ的法向量.取平面ABC的一个法向量n2(0,0,1).由图可知二面角QBCA为锐角，12345技能提升练123454.如图所示，在正四棱锥PABCD中，底面ABC
21、D的边长为2，侧棱长为 .(1)若点E为PD上的点，且PB平面EAC，试确定E点的位置；解设BD交AC于点O，连结OE，PB平面AEC，平面AEC平面BDPOE，PBOE.又O为BD的中点，E为PD的中点.12345(2)在(1)的条件下，在线段PA上是否存在点F，使平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为 ，若存在，求线段PF的长度，若不存在，请说明理由.解连结OP，由题意知PO平面ABCD，且ACBD，设平面AEC的法向量为m(x1，y1，z1)，12345设平面BDF的法向量n(x2，y2，z2)，123451234512345拓展冲刺练5.如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD
22、是圆内接四边形，CBCDCE1，ABADAE ，ECBD.(1)求证：平面BED平面ABCD；12345证明如图，连结AC，交BD于点O，连结EO，ADAB，CDCB，ACAC，ADCABC，易得ADOABO，AODAOB90，ACBD.又ECBD，ECACC，EC，AC平面AEC，BD平面AEC，又OE平面AEC，OEBD.12345又底面ABCD是圆内接四边形，ADCABC90，易得AEOACE，AOEAEC90，即EOAC.又AC，BD平面ABCD，ACBDO，EO平面ABCD，又EO平面BED，平面BED平面ABCD.12345(2)若点P在侧面ABE内运动，且DP平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值.12345解如图，取AE的中点M，AB的中点N，连结MN，ND，DM，则MNBE，由(1)知，DACBAC30，即DAB60，ABD为正三角形，DNAB，又BCAB，DN，CB平面ABCD，DNCB，又MNDNN，BEBCB，MN，DN平面DMN，BE，BC平面EBC，平面DMN平面EBC，点P在线段MN上.12345以O为坐标原点，OA，OB，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设平面ABE的法向量为n(x，y，z)，设直线DP与平面ABE所成的角为，12345
