1、专题层级快练专题层级快练(十九十九) 1若 a2，则函数 f(x)1 3x 3ax21 在区间(0，2)上恰好有( ) A0 个零点 B1 个零点 C2 个零点 D3 个零点 答案 B 解析 f(x)x22ax，且 a2，当 x(0，2)时，f(x)0，f(2)11 3 4a0，f(x)在(0，2)上恰好有 1 个零点故选 B. 2已知函数 f(x)ex2xa 有零点，则 a 的取值范围是_ 答案 (，2ln22 解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程 ex2xa0 有解，即方程 a2xex有解 令函数 g(x)2xex，则 g(x)2ex，令 g(x)0，得 xln2，所以 g(x)在(，
2、ln2) 上是增函数，在(ln2，)上是减函数，所以 g(x)的最大值为 g(ln2)2ln22.因此，a 的取 值范围就是函数 g(x)的值域，所以，a(，2ln22 3(2020 合肥市一诊)已知函数 f(x)xlnxaex(e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_ 答案 0，1 e 解析 f(x)lnx1aex，x(0，)，若 f(x)xlnxaex有两个极值点， 则 ya 与 g(x)lnx1 ex 有 2 个交点 g(x) 1 xlnx1 ex ，x(0，) 令 h(x)1 xlnx1，h(x) 1 x2 1 x0，g(x)0，g(x)单调递增 当 x(1，)时
3、，h(x)0，g(x)0，g(x)单调递减 g(x)极大值g(1)1 e. 当 x0 时，g(x)，当 x时，g(x)0. 若 ya 与 g(x)在(0，)有 2 个交点，则 0a0； 当 x(32 3，32 3)时，f(x)0，所以 f(x)0 等价于 x3 x2x13a0. 设 g(x) x3 x2x13a，则 g(x) x2（x22x3） （x2x1）2 0，仅当 x0 时 g(x)0，所以 g(x) 在(，)上单调递增 故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点 又 f(3a1)6a22a1 36 a1 6 2 1 60，故 f(x)有一个零点综上， f(x)只有一个零点
4、 5(2019 东北四校联考)已知 f(x)1 x ex e 3，F(x)lnxe x e 3x2. (1)判断 f(x)在(0，)上的单调性； (2)判断函数 F(x)在(0，)上零点的个数 答案 (1)f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增 (2)3 个 解析 (1)f(x) 1 x2 ex e x2exe ex2 ， 令 f(x)0，解得 x1，令 f(x)0，解得 0 x1， 所以 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增 (2)F(x)f(x)1 x ex e3， 由(1)得 f(x)minf(1)1，则x1，x2，满足 0 x11x2， 使得 f(x)在(
5、0，x1)上大于 0，在(x1，x2)上小于 0，在(x2，)上大于 0， 即 F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增， 而 F(1)0，x0 时，F(x)，x时，F(x)， 画出函数 F(x)的草图，如图所示 故 F(x)在(0，)上的零点有 3 个 6已知函数 f(x)(2a)(x1)2lnx(aR) (1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在 0，1 3 上无零点，求 a 的取值范围 答案 (1)单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，) (2)23ln3，) 解析 (1)当 a1 时，f(x)x12lnx，
6、定义域为(0，)， 则 f(x)12 x x2 x ，由 f(x)0，得 x2，由 f(x)0，得 0 x2. 故 f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，) (2)因为 f(x)0 在区间 0，1 3 上恒成立不可能， 故要使函数 f(x)在 0，1 3 上无零点， 只要对任意的 x 0，1 3 ，f(x)0 恒成立， 即对 x 0，1 3 ，a22lnx x1恒成立 令 h(x)22lnx x1，x 0，1 3 ， 则 h(x) 2lnx2 x2 （x1）2 ， 再令 m(x)2lnx2 x2，x 0，1 3 ， 则 m(x)2（1x） x2 0， 故 m(x)在 0，1
7、3 上为减函数 于是 m(x)m 1 3 42ln30. 从而 h(x)0，于是 h(x)在 0，1 3 上为增函数， 所以 h(x)h 1 3 23ln3， 所以 a 的取值范围为23ln3，) 7已知函数 f(x)lnx2x23，g(x)f(x)4xalnx(a0) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若关于 x 的方程 g(x)a 有实数根，求实数 a 的取值范围 答案 (1)f(x)的单调递增区间为 0，1 2 ，单调递减区间为 1 2， (2)a(，0)1，) 解析 (1)依题意，得 f(x)1 x4x 14x2 x （12x）（12x） x ，x(0，) 令 f(x)0，即
8、12x0，解得 0x1 2； 令 f(x)0，即 12x1 2， 故函数 f(x)的单调递增区间为 0，1 2 ，单调递减区间为 1 2， . (2)由题意，得 g(x)f(x)4xalnx1 xalnx， 依题意，方程1 xalnxa0 有实数根， 令 h(x)1 xalnxa，即函数 h(x) 1 xalnxa 存在零点 又 h(x) 1 x2 a x ax1 x2 ，令 h(x)0，得 x1 a. 当 a0 时，h(x)0，h(e11 a) 1 e11 a a 11 a a 1 e11 a 11 e10 时，h(x)，h(x)随 x 的变化如下表： x 0，1 a 1 a 1 a， h(x) 0 h(x) 极小值 所以 h 1 a aaln1 aaalna 为函数 h(x)的极小值，也是最小值 当 h 1 a 0，即 0a0， 所以函数 h(x)存在零点 综上所述，当 a(，0)1，)时， 方程 g(x)a 有实数根
