1、题组层级快练题组层级快练(五十三五十三) 1(2020湖北襄阳模拟)设直线 m 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是() A在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直 C与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行 D与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直 答案B 解析对于 A，在平面 内可能有无数条直线与直线 m 垂直，这些直线是互相平行的，A 错误 ； 对于 B，只要 m且与 不垂直，过直线 m 必有并且也只有一个平面与平面 垂直， B 正确；对于 C，类似于 A，在平面 外可能有无数条直线垂直于直线 m 并且平行于平面 ，C 错误；对于 D
2、，与直线 m 平行且与平面 垂直的平面有无数个，D 错误故选 B. 2(2020江西南昌模拟)如图，在四面体 ABCD 中，已知 ABAC，BD AC，那么 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在() A直线 AB 上 B直线 BC 上 C直线 AC 上 DABC 内部 答案A 解析由 ABAC，BDAC，又 ABBDB，则 AC平面 ABD，而 AC平面 ABC， 则平面 ABC平面 ABD， 因此 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在平面 ABC 与平面 ABD 的交 线 AB 上故选 A. 3(2020江西临安一中期末)三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1垂直于底 面 A1B1C
3、1，底面三角形 A1B1C1是正三角形，E 是 BC 的中点，则下列叙述 正确的是() CC1与 B1E 是异面直线； AE 与 B1C1是异面直线，且 AEB1C1； AC平面 ABB1A1； A1C1平面 AB1E. A B C D 答案A 解析对于，CC1，B1E 都在平面 BB1C1C 内，故错误；对于，AE，B1C1为在两个平行 平面中且不平行的两条直线， 底面三角形 ABC 是正三角形， E 是 BC 中点， 所以 AE 与 B1C1 是异面直线，且 AEBC，又 B1C1BC，故 AEB1C1，故正确；对于，上底面 ABC 是 一个正三角形，不可能存在 AC平面 ABB1A1，故
4、错误；对于，A1C1所在的平面与平面 AB1E 相交，且 A1C1与交线有公共点，故错误故选 A. 4如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC 和 CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿着 AE 和 AF 及 EF 把正方形折成一个四面体，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在四面体 AEFH 中必有() AAHEFH 所在平面 BAGEFH 所在平面 CHFAEF 所在平面 DHGAEF 所在平面 答案A 解析ADDF，ABBE，又B，C，D 重合记为 H，AHHF，AHHE.AH 面 EFH. 5(2020保定模拟)如图，在正四面体 PABC 中，D，E，
5、F 分别是 AB， BC，CA 的中点， 下面四个结论不成立的是() ABC平面 PDF BDF平面 PAE C平面 PDF平面 PAE D平面 PDE平面 ABC 答案D 解析因 BCDF， DF平面 PDF， BC平面 PDF， 所以 BC平面 PDF， A 成立 ； 易证 BC 平面 PAE，BCDF，所以 B、C 均成立；点 P 在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，不 在中位线 DE 上，故 D 不成立 6.(2020沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正 六边形，PA平面 ABC.则下列结论不正确的是() ACD平面 PAF BDF平面 PAF CCF平
6、面 PAB DCF平面 PAD 答案D 解析A 中，CDAF，AF面 PAF，CD面 PAF，CD平面 PAF 成立；B 中，六 边形 ABCDEF 为正六边形，DFAF.又PA面 ABCDEF，DF平面 PAF 成立；C 中，CFAB，AB平面 PAB，CF平面 PAB，CF平面 PAB；而 D 中 CF 与 AD 不垂 直故选 D. 7.如图，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点， 则下列命题中正确的是() A平面 ABC平面 ABD B平面 ABD平面 BCD C平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDE D平面 ABC平面 ACD，且平面 AC
7、D平面 BDE 答案C 解析因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC，同理，DEAC，由于 DEBE E，于是 AC平面 BDE.因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故选 C. 8(2020福建泉州质检)如图，在下列四个正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 均为所在 棱的中点，过 E，F，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线 BD1与平面 EFG 不垂直 的是() 答案D 解析如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q 均为所在棱的中点，且 六点共面，直线 BD1与平面 EFMNQG 垂直， 并
8、且 A 项， B 项， C 项中 的平面与这个平面重合 对于 D 项中图形， 由于 E，F 为 AB，A1B1的 中点，所以 EFBB1，故 B1BD1为异面直线 EF 与 BD1所成的角，且 tanB1BD1，即 B1BD1不为直角，故BD1与平面EFG不垂直故2 选 D. 9(2020重庆秀山高级中学期中)如图，点 E 为矩形 ABCD 边 CD 上异于点 C，D 的动点， 将ADE 沿 AE 翻折成SAE，使得平面 SAE平面 ABCE，则下列说法中正确的有() 存在点 E 使得直线 SA平面 SBC；平面 SBC 内存在直线与 SA 平行；平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行
9、；存在点 E 使得 SEBA. A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案A 解析若直线 SA平面 SBC，则 SASC，又 SASE，SESCS，SA平面 SEC， 又平面 SEC平面 SBCSC， 点 S， E， B， C 共面， 与已知矛盾， 故错误 ； 平面 SBC 直线SAS， 故平面SBC内的直线与SA相交或异面， 故错误 ； 在平面ABCD内作CFAE， 交 AB 于点 F，由线面平行的判定定理，可得 CF平面 SAE，故正确；若 SEBA， 过点 S 作 SFAE 于点 F， 平面 SAE平面 ABCE， 平面 SAE平面 ABCEAE， SF 平面 ABCE，SFAB，又
10、SFSES，AB平面 SEC，ABAE，与BAE 是锐角 矛盾，故错误 10(2016课标全国)，是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： 如果 mn，m，n，那么 ； 如果 m，n，那么 mn； 如果 ，m，那么 m； 如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号) 答案 解析对于命题，可运用长方体举反例证明其错误： 如图，不妨设 AA为直线 m，CD 为直线 n，ABCD 所在的平面为 ，ABCD所在的平 面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立 命题正确，证明如下：设过直线 n 的某平面与平面 相交于直线 l，则 l
11、n，由 m 知 ml，从而 mn，结论正确 由平面与平面平行的定义知命题正确 由平行的传递性及线面角的定义知命题正确 11(2020黄冈质检)如图，PA圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上一点， E，F 分别是点 A 在 PB，PC 上的射影，给出下列结论： AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC. 其中正确结论的序号是_ 答案 解析由于PA平面ABC， 因此PABC， 又ACBC， 因此BC平面PAC， 所以BCAF， 由于 PCAF，因此 AF平面 PBC，所以 AFPB； 因为 AEPB，AFPB，所以 PB 平面 AEF，因此 EFPB；在中已证明 AF
12、平面 PBC，所以 AFBC；若 AE平面 PBC， 由知 AF平面 PBC， 由此可得出 AFAE， 这与 AF， AE 有公共点 A 矛盾， 故 AE 平面 PBC 不成立故正确的结论为. 12(2020山西太原一模)已知在直角梯形 ABCD 中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD 2， 将直角梯形 ABCD 沿 AC 折叠成三棱锥 DABC， 当三棱锥 DABC 的体积取最大值 时，其外接球的体积为_ 答案 4 3 解析当平面 DAC平面 ABC 时，三棱锥 DABC 的体积取最大值此时易知 BC平面 DAC， BCAD， 又 ADDC， AD平面 BCD， ADBD， 取 AB 的中
13、点 O， 易得 OA OBOCOD1，故 O 为所求外接球的球心，故半径 r1，体积 V r3. 4 3 4 3 13(2020辽宁大连双基测试)如图所示，ACB90，DA平面 ABC， AEDB 交 DB 于 E，AFDC 交 DC 于 F，且 ADAB2，则三棱锥 D AEF 体积的最大值为_ 答案 2 6 解析因为 DA平面 ABC，所以 DABC，又 BCAC，DAACA，所以 BC平面 ADC，所以 BCAF，又 AFCD，BCCDC，所以 AF平面 DCB，所以 AFEF，AF DB， 又 DBAE， AEAFA， 所以 DB平面 AEF， 所以 DE 为三棱锥 DAEF 的高 因
14、 为 AE 为等腰直角三角形 ABD 斜边上的高，所以 AE，设 AFa，FEb，则AEF 的2 面积 S ab ，所以三棱锥 DAEF 的体积 V (当且仅 1 2 1 2 a2b2 2 1 2 2 2 1 2 1 3 1 2 2 2 6 当 ab1 时等号成立) 14如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC 60，PAABBC，E 是 PC 的中点，求证： (1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 答案(1)略(2)略 证明(1)PA底面 ABCD， CDPA. 又 CDAC，PAACA， 故 CD平面 PAC，AE平面 PAC. 故 CDAE.
15、 (2)PAABBC，ABC60，故 PAAC. E 是 PC 的中点，故 AEPC. 由(1)知 CDAE，由于 PCCDC， 从而 AE平面 PCD，故 AEPD. 易知 BAPD，故 PD平面 ABE. 15(2018课标全国)如图，在平行四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM90.以 AC 为折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA. (1)证明：平面 ACD平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BPDQ DA，求三棱锥 QABP 的体 2 3 积 答案(1)略(2)1 解析(1)证明：由已知可得，BAC90，BAAC.
16、又 BAAD，所以 AB平面 ACD. 又 AB平面 ABC， 所以平面 ACD平面 ABC. (2)由已知可得，DCCMAB3，DA3. 2 又 BPDQ DA，所以 BP2. 2 3 2 作 QEAC，垂足为 E，则 QE 綊 DC. 1 3 由已知及(1)可得 DC平面 ABC， 所以 QE平面 ABC，QE1. 因此，三棱锥 QABP 的体积为 VQABP QESABP 1 32sin 451. 1 3 1 3 1 2 2 16如图，三棱柱 ABCA1B1C1的侧面 AA1C1C 是矩形，侧面 AA1C1C侧面 AA1B1B， 且 AB4AA14，BAA160，D 是 AB 的中点 (
17、1)求证：AC1平面 CDB1； (2)求证：DA1平面 AA1C1C. 答案略 证明(1)连接 A1C 交 AC1于 F，取 B1C 的中点 E，连接 DE，EF. 四边形 AA1C1C 是矩形， F 是 A1C 的中点， EFA1B1，EF A1B1. 1 2 四边形 ABB1A1是平行四边形，D 是 AB 的中点， ADA1B1，AD A1B1， 1 2 ADEF，ADEF， 四边形 ADEF 是平行四边形，AFDE，即 AC1DE. 又DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，AC1平面 CDB1. (2)AB4AA14，D 是 AB 中点，AA11，AD2. BAA160， A1D.
18、 AD2AA122ADAA1cos603 AA12A1D2AD2，A1DAA1. 侧面 AA1C1C侧面 AA1B1B，侧面 AA1C1C侧面 AA1B1BAA1， ACAA1，AC平面 AA1C1C，AC平面 AA1B1B. 又A1D平面 AA1B1B，ACA1D. 又ACAA1A，DA1平面 AA1C1C. 17(2016北京)如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC. (1)求证：DC平面 PAC； (2)求证：平面 PAB平面 PAC； (3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由 答案(1)略(2)略(3)PB 中点即为点 F 解析(1)证明：因为 PC平面 ABCD， 所以 PCDC. 又因为 DCAC，PCACC， 所以 DC平面 PAC. (2)证明：因为 ABDC， DCAC， 所以 ABAC. 因为 PC平面 ABCD， 所以 PCAB. 又因为 PCACC， 所以 AB平面 PAC.又 AB平面 PAB， 所以平面 PAB平面 PAC. (3)棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF.理由如下： 取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF. 因为 E 为 AB 的中点，所以 EFPA. 又因为 PA平面 CEF，且 EF平面 CEF， 所以 PA平面 CEF.
