1、第十二章 排列、组合与二项式定理 排列与组合的内容是学习概率的预备知识，也是进一步学习数理统计、近世代数、组合数学等高等数学的基础；由于内容抽象，解法特殊，所以这部分内容也是发展逻辑思维能力的很好题材.二项式定理是在初中乘法公式及组合数公式的基础上学习的内容，它与概率论中二项分布、微积分中求导公式的推导有着密切的联系，是进一步学习数学时经常用的基础知识.第一节 加法原理与乘法原理第二节 排列第三节 组合第四节 二项式定理第一节 加法原理与乘法原理 在讨论排列与组合之前,我们先介绍两个基本原理，看下面的问题.例1 从甲地到乙地，可乘坐火车、汽车或轮船中的任何一种，火车每日1班，汽车每日2班，轮船
2、每日3班，问从甲地到乙地，一日中共有多少种不同的走法？从甲地到乙地，可乘坐三类交通工具：火车、汽车或轮船，这三类乘坐方法互不关联，使用其中任何一类都能独立完成从甲地到达乙地，如图12-1所示.图12-1 例1中甲地到乙地的不同走法汽车火车甲乙轮船解 因此，计算共有多少种不同走法，只需把这三类交通工具各自的班次数加起来，可得:(2+3+1)种=6种答：从甲地到乙地共有6种不同的走法.一般地，有以下原理.加法原理,1,2,ikn ik 完成一件事 如果有 类互不关联的方法 每类方法中又有种不同的具体办法 使用其中一种办法 都能独立完成这件事 那么完成这件事的不同办法共有:21种 12-1knnn(
3、!)加法原理实质是直接完成一件事.加法原理又称分类计数原理.从甲地经乙地到丙地,甲地到乙地可乘坐汽车或火车,汽车每日2班,火车每日1班,而从乙地到丙地每日有3班轮船,问从甲地到丙地共可有多少种不同的走法?例2 由已知从甲地到丙地要分两段走:2+13.第一段从甲地到乙地,坐汽车或火车,共有:种种,不同走法 第二段从乙地到丙地 坐船共有3种不同的走法.第一段采用3种走法中任意一种到达乙地后,要去丙地又有3种走法可以选择,所以从甲地经乙地到丙地,共有:3 3种=9种.不同走法,如图12-2所示.图12-2 例2中甲地到乙地的不同走法甲乙丙轮船汽车火车解一般地,我们有以下原理.乘法原理1,2,i完成一
4、件事,如果有 个相互关联的步骤,要依次完成这些步骤,这件事才能完成,而每一个步骤又有种不同的具体办法去完成 那么完成这件事的不同办法共有:knik21种 12-2kn nn(!)乘法原理实质是分步配合完成.乘法原理又称分步计数原理.(1)(2)书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书.从中任取一本书,有多少种不同的取法?从中任取数学书和语文书各一本,有多少种不同的取法?例32(1)6511.N nn1 完成从书架上任取一本书这件事有两类互不关联的方法,第一类方法是从上层取数学书,可以从6本书中任取一本,有6种方法;第二类方法是从下层取语文书,可以从5本书中任取一本,有5种方法,根
5、据加法原理,其取法共有:=种种:答 从书架上任取一本书,有11种不同的取法.解2.1(2)完成从书架上任取数学书和语文书各一本这件事可以分为两个步骤:第一步取一本数学书,有6种方法;第二步取一本语文书,有5种方法,根据乘法原理,其取法共有:=65种=30种Nn n=:,.答 从书架上取数学书和语文书各一本 有30种不同的方法 将3封信投入6个信箱内,有多少种不同的投法?例4N 完成将3封信投入6个信箱内这件事可以分步考虑,第一步投第一封信,因为有6个信箱,所以有6种不同的投法,第二步投第二封信,同样有6种投法,第三步投第三封信,同样也有6种投法,这三步都完成才是一种投法,根据乘法原理,不同的投
6、法种数共有:=6 6 6种=216种.答:共有216种不同的投法.答:思考题：课堂练习题：习 题1.如何理解加法、乘法原理?2.如图从甲经过乙到丙共有几条路是用的哪个原理？为什么？甲乙丙 1.一个三层书架每层依次有书30，25，28本，现要取出一本书，有多少种不同取法？2.由数字1，2，3，4，5可组成多少个允许重复数字的三位数？答 案答 案答 案答 案第二节 排 列一、排列的概念我们看下面的问题.例1 飞行在北京-上海-广州间的民航飞机，应准备多少种不同的飞机票？从北京、上海、广州三个站中间每次取出两个站，一个作为起点站，一个作为终点站，就是一种飞机票，我们也可以把它看成是从三个站中每次取出
7、两个站，按起点站在前终点在后的顺序，把它们排成一列，共有多少种不同的排法，就有多少种不同的飞机票.现列举如下：超点站终点站北 京上海广州上 海北京广州广 州北京上海解:,3,它的排法是 先取起点站 共有 种不同的取法 再取终点站在起点站已经确定的情况下,可作终点站的,只有2种不同的取法,这两个步骤都完成了,就组成了一种票,因此,按乘法原理,不同起点和终点的飞机票共有3 2种=6种.用1,2,5三个数字,可以排成多少个没有重复数字的三位数?例2 仿照例1的方法,从1,2,5三个数字中,依次选取百位数,十位数和个位数,可有以下几种情形:百位数十位数个位数125521255112512解 即先排百位
8、数,有3种不同的方法,排完百位数再排十位数,有2种不同的方法,排完十位数再排个位数,有1种方法,完成这三个步骤才排出三位数,因此按乘法原理,不同的三位数共有:3 2 1个=6个,它们是125,152,215,251,512,521.对于这类问题,给出以下定义.定义,.,.(!.)nnmmnnmAmnmnAmn 从 个不同的元素中,每次任取 个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从 个不同的元素中,每次取出个元素的一个排列.所有不同排列的种数,记作 当时 叫做选简称当时 叫做全排列 记作:排列与顺序有关排列排列二、排列种数的计算公式从 个元素中每次取出 个元素的排列种数的计算可以这样来考虑:假定有排
9、好顺序的 个空位置,从 个不同的元素中,任意取出 个元素去填空,一个空位置填一个元素,于是,每一种填法就得到一个排列.nmmnmnn 如图12-3所示,先确定第1号位置上的元素,全部 个元素中的任何一个都可以放在这里,共有 种不同的放法.nnn 再确定第2号位置上的元素,在第一号位置上的元素已经确定的条件下,可供挑选的只有-1个元素,所以共有-1=-2+1咱不同的放法.再确定第3号位置上的元素,在1号,2号位置上的元素已确定的条件下,第3号位置上的元素共有-2=-3+1种不同的放法.nn 依此类推可知,第 号位置上的元素应有-+1种不同的放法.mn m 121An nnnmmn图12-3 示意
10、位置填法312n1n2nm1nm,其中,每一种放法 放满 个空位置 就得到一个排列 于是根据乘法原理 从 个不同的元素中,每次取出 个不同元素的排列种数为mnm121mnmAn nnnm 个因式 12-3,这就是说 从 个不同的元素中,每次取出 个元素的排列种数等于 个连续正整数的乘积,其中最大的正整数是.nmmn4377;(2)2.36 计算(1)AAA例36 5 4120;A 36(1)437727 6 5 42 7 6 5420.(2)AA :全排列的计算公式是mn123 2 1nnnAAn nn 从正整数 开始到1,连续 个正整数的连续乘积叫做 的阶乘,记作!于是,个不同元素的全排列的
11、种数等于 的阶乘,即:nnnnnn!124n An!全排列可写成或.nnnAnA解1.n+1 求证 nAnA例4证明124:由公式可得 11!113 2 11!1nnAnnn nnnnA 1*;.8n+15 计算(1)(2)nAAnAA例5(1)由例4得:76555588 78 7 6336;85AAAAAAAA 1(2)1.n+1 nnnnAnAnAAnA解此外,由排列种数的计算公式还可以得出以下关系式:!12-5mnnAnm:证明如下11mnAn nnm13 2 11113 2 1nmnmn nnmnmnm !nnm125,:0!1.为了使公式在时也成立 我们规定nm 例6 有5面不同颜色
12、的旗，每次可取1面、2面或3面按不同顺序挂在杆上就表示信号，一共可以表示多少种不同的信号？25,2,:AAA1535 用一面旗作信号有种 用 面旗作信号有种 用3面旗作信号有种 根据加法原理 所求的信号的种数是123555.5+20+60 种85种AAA:.答 一共可以得到85种不同的信号解三、重复排列前面我们讨论了从n个不同的元素中取出m个不同元素的排列问题,它们有一个共同的特点,就是所取的元素一旦取过便不能再重复取出.但事实上，有此问题中元素是允许重复选用的，例如编电话号码，选取的数字就可以重复，允许元素重复用的排列问题叫做重复排列.在重复排列中,位置共有 个,每个位置上可供选择的元素都是
13、 个,因此,利用乘法原理不难得出,把 个不同的元素排在个位置上的重复排列种数为:mnnmmmnnnn 个,位置数其中 为可以重复的元素的个数为每一个元素最多可以重复的次数,即位置个数.!重复排列公式=元素个数.nm 某城市电话号码用7位数字组成,问该市最多可以安装多少台不同号码的电话?例7.N7 电话号码是7位数,相当于7个位置,每个位置都有0,1,2,9这十个数字可供选取,是7个位置10个元素的重复排列,所以,不同号码的电话共有:=10 台 解 有10个人去图书馆借阅7种参考书中的任意一种,每种书都有10本,共可有多少种不同的借阅法?例8.N10 10个人相当于10个位置,每个位置有7种书可
14、供选择,是10个位置7个元素的重复排列,所以,不同的借阅法共有:=7 种,710 上面两个例子虽然都有数字10和7,但例7中是7个位置10个元素,所以有10台 而在例8中是10个位置7个元素,所以有7 种,在处理重复排列的实际问题时,要注意元素和位置的区别-元素可以挑剔,位置不能空缺.解习 题思考题：课堂练习题：什么叫排列？什么叫排列数？什么叫选排列？什么叫全排列？什么叫重复排列？排列与什么有关？什么叫相同排列？1.,?开封,广州,郑州三站之间直达火车票共有3 2=6 种它的设计原理是什么2.1,2,3?由数字可以组成多少个无重复三位数 并写出所有的排列3.8,某段铁路上有 个车站 共需准备多
15、少种普通客票?答 案答 案答 案答 案5.计算：45221151(1)?;(2)3,.若求nnAAAAn6.回答：11111 (1)17 16 155 4,;.;1?若则 以上两等式成立吗mnnnnnnnnnAnmAAAnA(2)手机由11位数字组成,问可有多少个不同手机用户?答 案答 案02345678n!n4.,阶乘即为全排列 阶乘数等于正整数1到的连乘积.这个积叫的阶乘.nn12624120720504040320（单击左键显示答案）第三节 组 合一、组合的概念 例1 飞行在北京-上海-广州间的民用飞机，有多少种不同的票价？从北京、上海、广州三个站中每次取出两个站，不管哪一个是起点，票价
16、都是一样的，所以我们可把它看成是从三个站中每次取出两个站，不管顺序如何，把它们并成一组，共可并成多少种不同的组，就有多少种不同的票价.因此，北京,上海间(即北京上海或上海北京);北京,广州间(即北京广州或广州北京);广州,上海间(即广州上海或上海广州);解各是一种票价,票价的种数共计3种.这类问题与排列有相似之处,它也是从 个不同的元素中每次取出 个不同的元素,但与排列的区别是:取出的 个元素不是按顺序排成一列,而是不论顺序如何并成一组,对于这类问题,给出以下定义.nmm定义,.(!)从 个不同的元素中,每次任意取出 个不同的元素m不管顺序如何并成一组 叫做 从 个不同的元素中每次取出 个元素
17、的一个组合 所有不同的组合的种数记作组合与顺序无关.mnnmnnmC:例如(1).;210210 一个组10个人,从中选取正副组长各1人,共有多少种不同的选法是排列问题,记作从中选出代表2人去开会,共有多少种不同的选法,是组合问题,记作AC(2);,;221010 有10位同学商定,春节时每两人要互赠一张贺年卡,互通一次电话,他们共赠了多少张贺年卡,是排列问题,记作共通了多少次电话 是组合问题,记作AC24(3);,.24 四个字母,每次任取两个字母,一个作分子,一个作分母,可以组成多少个不相恒等的分数,是排列问题,记作而从中任取两个作因数 可以组成多少个不相恒等的乘积 是组合问题 记作a,b
18、,c,dAC二、组合种数的计算公式.从 个不同的元素中每次任取 个元素的组合与元素的排列顺序无关,所以可以把从n个不同的元素中每次任取m个元素的排列,看成是先从n个不同的元素中每次取m个元素的组合,再对任取的m个元素进行全排列的结果,于是,根据乘法原理可有:mmnnmnmACA,:于是 可以得到.126 mmnnmACA.:这就是组合的计算公式这个公式还可写成!127!mnnCm nm三、组合的两个性质性质11(!,1.)2当用性质 较方便mn mnnCCmn证,由公式 12-7 可得:等式左边!mnnCm nm，等式右边:!.!n mnnCnm m.所以有 mn mnnCC.7072 计算C
19、例2:由公式 12-7 可得27272 7125562 17072CC解性质211mmmnnnCCC(!化简、证明常用性质2.)证:由公式 12-7 可得 1!1!1!mmnnnnCCm nmmnm1!1!1!1!nmnm nnnm nmm nm11!1!mnnCm nm11.所以有 mmmnnnCCC9799.9699 计算CC例397323999999100100 99 98CCCCC 9699161700.3 2 1解 平面上有12个点,其中没有3点在同一条直线上,问:(1)这些点可以确定多少条不同的直线;(2)以这些点中的任意3点为顶点作一个三角形,一共可以作多少个三角形?例4 (1)
20、因为每2点可以确定一条直线,并且没有3点在同一条直线上,所以,在这样的直线中,任何两条都不重合.因此,所求的直线条数就是12个不同元素中取出2个元素的组合数,即12 11662 1C212条,(2)因为以每3点为顶点都可以作一个三角形 为什么?所以所求的三角形就是从12个不同元素中取出3个元素的组合数,即12 11 103 2 1C 312=220个答:(1)可以确定66条直线;(2)可以作220个三角形.解 有20个队参加篮球赛,比赛时先分成三组,第一组7个队,第二组6个队,第三组7个队,每组都进行单循环赛(即每队都要与本组其他各队比赛一场),然后由各组的前两名共6个队进行单循环赛,共需要多
21、少场?例526;6;6,CC2726 根据题意,第一组和第三组都是7个队,比赛场数都是第二组 个队,比赛场数是C 各组的前两名共 个队 再进行单循环赛时 还要比赛场 所以共需要比赛的场数是:2121 15 157222227766CCCC解习 题01;.nnnnCCC 组合与顺序有关吗?用什么符号表示?组合数公式及性质是什么?填出:思考题：课堂练习题：439896971801010710099991901901.:,.CC CCCCC计算 1234566666662.:.CCCCCC计算 3.7,3某小组共 人 从中选出 人参加植树劳动,有多少种不同选法?4.从8名男生,4名女生中选3人参加比
22、赛:(1)2?(2)1?恰有 名女生的选法有多少种至少有 名女生的选法有多少种答 案答 案答 案答 案答 案第四节 二项式定理一、二项式定理我们知道2222,abaabb3322333,abaa babb,继续做乘法运算 可以得到:4432234464a+baa ba babb554322345510105,abaa ba ba babb,可以看出 二项式的 次幂的展开式的各项是有规律的 人们分析了上述展开式的特点归纳出以下命题:abn011nnnrn rrnnnnnna+bC aC abC abC bn Z+下面用数学归纳法来证明这一命题.1011111(1),n=ababC aC bab证
23、明 当1时 左边右边命题成立.(2)n=k 假设时,命题成立,即011kkkrk rrkkkkkkabC aC abC abC bk Z+1,:当时 上式两边同乘以则得nkab1011101111 kkkrk rrkkkkkkkrk rrkkkkkkkkabC aC a bC abC abC a bCabCabC b 利用组合公式00001111,和可知kkkkCCCC111111,和可知kkkkkkkkCCCC以及组合公式11rrrkkkCCC:上式可化为10111111111.kkkkkrkrrkkkkabCaCa bCabCbk Z+2说明当+1时,命题也成立.由 1 和可以断定,对一切
24、正整数,命题都成立.n=kn通常,这个式子:011nnnrn rrnnnnnna+bC aC abC abC bn Z+所表示的定理叫做二项式定理，而等式右边的多项式叫做 的二项展开式.nab二、二项展开式的性质nab的二项展开式,具有下面的一些性质：(1)n 项数:共+1项.(2)anbnabn 各项幂指数:的幂指数从 起逐渐依次减小1,直到0为止,的幂指数从0起逐项依次增加1,直到 为止,每一项里 与 的指数的和等于二项式的指数.(3)各项系数:由第一项起,各项系数依次为:121,0n11.rnnnnnnnCC CCCCnnnnn 所以,与展开式的首末两项距离相等的两项的系数相等.(!二项
25、式指数 为奇数,中间两项的二项式系数相等且最大,+1+1分别为第,+1项,为偶数,中间一项二项式系数最大.22即第+1项.)21(4),n rrrC abrTrn 展开式中是第+1项 叫做二项展开式的通项记作公式10.rnn rrrTC abrn叫做二项展开式的通项公式.,有了上述公式 我们不难展开任何一个二项式 并求出它的某个指定的项.(!二项式系数与某一项系数不同.)2.012nnnnn求证nCCCC例1 证明在展开式12211012nnnnnnnnnnnnabC aC abC abCabC b1,:中设即得ab12012nnnnnnnnCCCCC.求-的展开式及通项公式na b例2解-n
26、na bab 212012nnnnnnnnnC aC abC abCb 1221.012nnnnnnnnnnC aC abC abCb 1.r+1通项公式rrrn rrn rrnnTC abC ab 93.1 求-的二项展开式中的 的系数xxx例3解二项展开式的通项99 2991r+11rrrrrrTC xC xx,923,3.根据题意 得rr3,:因此的系数是x3399 8 71843 2 1C 习 题思考题：课堂练习题：,;?1 二项式定理与初中乘法公式关系?什么是二项式定理?二项式指数为为奇数展开式系数为偶数展开式系数各有什么变化?如何计算?展开为项 它的系数有何规律第项是什么?nn n
27、nabnr4pq1.求 2的展开式.7x2.求 1+2的第4项的二项式系数和第4项系数.1016.xx3.求的二项展开式的第 项84.1?求的展开式中二项式系数最大的项x55.0.997计算的近似值.精确到0.001答 案答 案答 案答 案答 案答 案答 案 部 分思考题解答：1.完成一件事，有不同类方法.每类方法都可直接完成叫加法原理.完成一件事需分几个步骤配合完成叫乘法原理.它们都是计数的两大基本原理.所以今后称加法原理为分类计数原理(因为必属于某一类方法完成)，乘法原理为分步计数原理.返 回思考题解答：2.3 26,.共有条 它是根据分步计数原理返 回1.:30252883.得到的不同取
28、法有种课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：2.:5 5 5125.允许有重复数字的三位数有个 返 回思考题解答：,.,!从个不同元素中,任取个元素 按照一定顺序排成一列,称为从个不同元素中取出个元素的一个排列.当是选排列叫全排列 也叫阶乘.用表示;全排列所有不同法所含元素完全一样,只是元素排列的顺序不完全相同;允许元素重复用的排列问题叫重复排列;排列与顺序有关;元素必须完全相同.排列的顺序也必须相同的排列才叫相同排列.nm mnnmmnmnn返 回课堂练习题解答：1.这是根据分步计数原理设计的.返 回课堂练习题解答：2.,:无重复三位数共3 2 1=6 个它们是123,132,213,231
29、,312,321.返 回283.8 756.种A 课堂练习题解答：返 回451155.(1)7920 1207800.AA(2)1312,n nnnn=3.课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：6.(1)17,1 417 1 414;=由于两等式的排列数都成立,所以这两等式都成立.nmn 11(2)10.位置数它属于重复排列计算公式=元素个数个用户返 回思考题解答：1101!,.!1:,.21,1,.mmmnnnmmmn mmmmnnnnnnnnnAnCCAm nmCCmnCCCCCCn组合与顺序无关;公式有:有两个性质当用来解题方便.返 回4310710 9 8 77 6 51.210;35
30、;4 3 2 13 2 1CC 课堂练习题解答：982100100100 994950;2 1CC96979739999100100100 99 98161700.3 2 1CCCC 180101801801901901901900.CCCC返 回23662.6+1+6+213302063.CC原式=课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：377 6 53.35,353 2 1C 共有种 不同选法.返 回课堂练习题解答：21484.(1)6 848,48.C C 有种 不同选法122133348484128(2)164164.C CC CCCC或164.至少有一名女生选法有种返 回思考题解答：0
31、01122201,(),()(0,1,2,);112n实质上是乘法公式推广:()这个公式所表示的规律叫二项式定理 右边多项式叫的二项展开式,其中叫二项系数.叫二项式的通项用T 表示 当 为奇数,展开式中间两+1项系数最大用和算出第几项.为偶数第22nnnrn rrnnnnnnnnmnrn rrnra+bC a bC abC abC abC a bnabCmnC abnnn+Nnn02111,.1+1项(即中间项)系数最大.()展开式共项,它的系数一律用组合数表示:可知与展开式首项,末项分别等距离的两项的系数相等.第+1项为nnnnnnnnrn rrrna+bnC C CCCrTC ab返 回课
32、堂练习题解答：04132224443344444322341.(2)(2)(2)(2)1632248.p+qCpCp qCp qCp qC qpp qp qpqq4(2)返 回课堂练习题解答：37 3337737 2.1(2),35.8280.43 第4项的二项式系数为第4项的系数是指的系数为从而知二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数是两个概念.TCxCxC返 回课堂练习题解答：5555101013.()()252.TCxCx6返 回课堂练习题解答：4.81n 8 偶数 第项最大的项.2444870.5即 TC xx返 回55.0.997(1 0.003)1 5 0.003 10 0.003 5 ()1 5 0.0030.985.5由精确可知 (0.997)课堂练习题解答：返 回
