1、21.4 二次函数的应用二次函数的应用第1课时 二次函数在面积最值中的应用学习目标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.难点2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.重点导入新课导入新课复习引入写出以下抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.1y=x2-4x-5;(配方法)(2)y=-x2-3x+4.(公式法)解：1开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：2，-9；最小值：-9；（2）开口方向：向下；对称轴：x=；顶点坐标：（，）；最大值：.3-23-2254254求二次函数的最大或最小值讲授新课讲授新课合作探究问题1 二次
2、函数 的最值由什么决定？2yaxbxcxyOxyO2bxa 2bxa 最小值最大值二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定.2yaxbxc问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数 的最值是多少？2yaxbxc244acbya最小值当a0时，有 ，此时 .2bxa244acbya最大值当a0时，有 ，此时 .2bxa问题3 当自变量x有限制时，二次函数 的最值如何确定？2yaxbxc例1 求以下函数的最大值与最小值x0y解：-3123 x239()224yx232yxx（1）(31)x 231()424yx3312 Q32x 当 时，1-44y最小值1x 当 时，132=2.y 最大值典例精析
3、解：0 xy5 x1-321215yxx（2）(31)x 21565yx（）53Q即x在对称轴的右侧.3x 当 时，26.5y最大值函数的值随着x的增大而减小.1x 当 时，6.5y 最小值方法归纳当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定：2yaxbxc1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.引例:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h单位：m与小球的运动时间 t单位：s之间的关
4、系式是 h=30t-5t 2 0t6小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？二次函数与几何图形面积的最值t/sh/mO1 2 3 4 5 62040h=30t-5t 2 可以出，这个函数的图象是一条抛物看线的一局部，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.由于抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y=ax 2+bx+c 有最小（大）值2bxa 244acbya想一想：如何求出二次函数 y=ax 2+bx+c 的最小大值？小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45
5、m303225bta （），2243045445acbha（）t/sh/mO1 2 3 4 5 62040h=30t-5t 2 例2 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1 矩形面积公式是什么？典例精析问题2 如何用l表示另一边？问题3 面积S的函数关系式是什么？解:根据题意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0l30).因此，当 时，S有最大值 301522(1)bla 2243022544(1)acba 也就是说，当l是1 15m时，场地的面积S最大.5 510101515 2020 25253030100
6、100200200lsO变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S的函数关系式是什么？问题1 变式1与例题有什么不同？Sx(602x)2x260 x.设垂直于墙的边长为x米问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5 如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.0602x32，即14x30.变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少
7、时，菜园的面积最大，最大面积是多少？x问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？那么如何表示另一边与面积？答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，那么22601130(30)450222xSxxxx 问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？0 0 x 18.18.问题6 如何求最值？由于30 30 1818，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.不正确.实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1
8、与变式2的比照，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.方法总结例3 用长为6米的铝合金材料做一个形状如下图的矩形窗框.窗框的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？铝合金型材宽度不计x解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m.这里应有x0，故0 x2.632x6302x矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：632xyx g233.2yxx 即233(1).22yx 配方得所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.x=1满足0 x2，这时631.5.2x因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，
9、它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2.知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.1.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是_.当堂练习当堂练习2225m82.如图1，在ABC中，B=90,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动不与点B重合，动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动不与点C重合.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形A
10、PQC的面积最小.3ABCPQ图1解：设一直角边长为x，那么另一直角边长为 ，依题意得：3.直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形的面积最大？最大值是多少？)8(x)8(21xxSxx4212)16168(212xx8)4(212x84maxSx时，当84xQ4x48.当两直角边都为 时，这个三角形面积最大，最大值为4.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym2(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.2240(1)()24012022xy
11、xxxxx解：25 mDACB)250(2021即2xxxyx240 x(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？xxy202122）（)40(212xx)202040(21222xx200)20(212x200面积时，满足条件的绿化带20当maxyx025xQ解：5.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；解：(1)设矩形一边长为x，那么另一边长为6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0 x6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为91000=9000元(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
