1、第十章矩第十章矩 阵阵 与与 线线 性性 方方 程程 组组(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容1、矩阵的定义：矩阵是一个数表。2、矩阵的计算：加法，减法，数乘，乘法。5、矩阵的秩的定义：非零子式的最高阶数。113、逆矩阵的定义：。AAA AE111|只进行初等行变换4、逆矩阵的求法：(1)利用伴随矩阵；(2)利用初等变换。AAA|A EE A6、矩阵的秩求法：(1)根据定义找出矩阵中一个最高阶非零子式，其阶数就是矩阵的秩；(2)运用初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵，其非零行的个数就是
2、矩阵的秩。7、求解线性方程组：一般线性方程组的解的情况见表 10-1。AXb表表10-1 10-1 线性方程组解的情况线性方程组解的情况注：表中所说的“独立的任意常数”是指这些常数之间不能合并。非齐次线性方程组齐次线性方程组 无解 有惟一解 只有零解()()与 的关系RRAA()()RRAA()()RRnAA()()RRnAA()有无穷多组解，解中含有 个独立的任意常数nRA()有无穷多组解，解中含有 个独立的任意常数nRA二、本章重点、难点内容二、本章重点、难点内容1、求逆矩阵。2、求矩阵的秩。3、解方程组。三、本章关键词三、本章关键词矩阵矩阵运算逆矩阵矩阵的秩初等变换求解线性方程组(二二)
3、常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、矩阵乘法的运算方法一、矩阵乘法的运算方法2211123042230132230451210172011.设 ，求，例例1 1ABCABCAC解解21042232304517AB2 2 1 02 2 1(4)2(3)1 50 24 00 24(4)03)4 52 2(3)02 2(3)(4)2(3)(3)51 27 01 27(4)1(3)7 5 401016204162122632，同样有112321013204121023201117CA91241901276，2C CC1123112301320132121012102011201192081724.
4、01915047由此例可知：(1)并非任意两个矩阵都能相乘，如，等不存在，两矩 阵相乘的条件是左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数；BAAC(2)矩阵乘法一般不适合交换律，如有意义，而无意义，显然；ABBAABBA2(3)并不是任意一个矩阵都可以自身相乘，仅当这一矩阵为方 阵时才可自乘，亦即只有方阵才能进行乘方运算，如 存在；CCC.(4)两矩阵相乘的结果仍为一矩阵，且这个矩阵的行数等于左 边矩阵的行数，列数等于右边矩阵的列数，即 m ss nm nABC2111111111111 设 ，求，.例例2 2ABCAABAC解解2A AA111111110000，AB111111110000，AC11
5、11111100.00由此例可知：(1)两个非零矩阵的乘积有可能是零矩阵，即由不能 得到或这一结论；ABOAOBO(2)矩阵乘法一般不适合消去律，即由不能得到 这一结论ABACBC.二、运用初等行变换求逆矩阵的方法二、运用初等行变换求逆矩阵的方法 在给定矩阵右边补上一个和它同阶的单位矩阵，然后对该矩阵经过一系列的初等行变换(只能进行行变换，不能进行列变换)，把左边的给定矩阵化为单位阵，右边的单位阵相应地就化为了给定矩阵的逆矩阵。1 A EE A初等行变换1123221343 设 ，求.例例3 3AA解解A E123100221010343001213123rrrr 12310002521002
6、63011232rrrr 102110025210001111132325rrrr 1001320203650011112312rr 100132350103220011111E A1132353.22111 A所以三、运用初等变换求秩的方法三、运用初等变换求秩的方法 利用初等行变换求矩阵的秩，就是将该矩阵化为阶梯形矩阵，这时非零行的个数即为所求矩阵的秩。1241221112311456518135135 求 的秩.例例4 4A解解A213141211rrrrrr 124120334101812164059123324262rrrr 124120334100682011520524rr 124
7、1201152050068203341423rr 1241201152050068200425614437rr 1241201152050068200000，()3.所以RA四、用高斯四、用高斯(Gauss)消元法解线性方程组的方法消元法解线性方程组的方法运用高斯消元法解线性方程组的具体步骤如下：(1)写出线性方程组的增广矩阵，并利用初等行变换 (不能进行列变换)，将增广矩阵化为阶梯形矩阵。AA bAA b()()(2)求出系数矩阵的秩与增广矩阵的秩，利用线性方 程组解的存在性判定定理，判断出方程组解的情况。RRAA()()(3)若，则方程组无解。RRAA1()()1若(未知量个数)，则方程组
8、有惟一解。写出阶梯形矩阵所对应的线性方程，由最后一个方程解出，再代入第个方程，求出，如此继续下去，从而得到方程组的惟一解。nnRRnxnxAA()()若，则方程组有无穷多组解。写出阶梯形矩阵所对应的线性方程组，把此方程组中含有个未知量的项移至方程右端，并用最后一个方程逐个向上回代的方法得到方程组的全部解，是一个含有个自由未知量的表达式。RRrnnrnrAA12(4)为了得到全部解的一般形式，可以把个自由变量依次 令为任意实数，代入全部解表达式，即得到 方程组的通解。n rnrccc2345134512451245020.32022630 解方程组 xxxxxxxxxxxxxxxx例例5 5解解
9、A0111110121110322206312rr 101210111111032220631012101111011110222131412rrrr 32422rrrr 10121011110000000001，()35.因为，所以原方程组有无穷多组解RnA原方程组同解于1345234552000，xxxxxxxxx移项得13423452.0 xxxxxxx 3142令，则原方程组的通解为xcxc11221231124252().0 、为任意常数xccxccxcccxcx 对于齐次线性方程组有：0AX(1)至少有零解；()(2)只有零解；RnA().(3)有非零解RnA12342341234
10、123412123(2)4335(8)5?已知线性方程组 问：(1)当，取何值时，方程组无解 (2)当，取何值时，方程组有惟一解？并求该解。(3)当，取何值时，方程组有无穷解？并求通解。xxxxxxxxxaxxbxxxaxababab例例6 6解解A11111011212324335185aba314123rrrr 1111101121012102252aba32422rrrr 1111101121001000010，aba10()2()3(1)当且时，故方程组无解；abRR AA1()()4(2)当，任意取值，有，abRRn AA所以方程组有惟一解，则原方程组同解于123423434121(
11、1)(1)0，xxxxxxxaxbax解得原方程组的解为1234211110；bxaabxabxax 10()()24(3)当且时，abRRn AA故方程组有无穷解，则原方程组同解于1234234121，xxxxxxx1234234112即 ，xxxxxxx 3142令，xcxc则原方程组的通解为121212123142212().、为任意常数xccxccccxcxc 对于非齐次线性方程组，有：AXb()()(1)无解；RRAA()()(2)有无穷解；RRnAA()()(3)有惟一解.RRnAA(三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、矩阵是一个数表吗？2、任何矩阵都有它
12、的行列式吗？为什么？3、对矩阵进行加法，乘法运算时须注意些什么？4 0?、齐次线性方程组有非零解的充要条件是什么AX(四四)课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案21011 3121、已知，AB3112 .11、已知，求AA02213.3114、解矩阵方程X101001104 .01010010、求矩阵的秩A .?求，两者相等吗ABBA返返 回回1、是的.返返 回回 2、不是，因为只有方阵才能写出它的行列式，行数与列数相等.返返 回回3、对矩阵进行加法运算应注意：只有同型矩阵才能相加.对矩阵进行乘法运算应注意：只有当前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.返返 回回 .4、是 R An返返 回回1、：解210123.312124AB012131.213173BA.两者不相等返返 回回2、：解3111111111111A221144221144114.11返返 回回3、：解1022112214711.311430146366X 返返 回回4、：解101010101010011001100110010100110011001000100001 初等行变换化成的行阶梯形矩阵的非零行数为 4.4.R A
