1、 - 1 - 巢湖市柘皋中学 2017-2018 学年第一学期高三第三次月考试卷 数学 (理科 ) 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，则 的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 B 【解析】 由题意，令 ，得 ，所以 ，其子集的个数为 ，故选 B. 2. 的内角 的对边分别为 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】 在 中， 则 ,即 ，若 ，则
2、，即 ， 所以 是 成立的充要条件，故选 C. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由 ，故选 D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题 “ ，使 ” 的否定为 “ ，都有 ” B. 若命题 为假命题，命题 为真命题，则 为假命题 C. 命题 “ 若 ，则与 的夹角为锐角 ” 及它的逆命题均为真命题 D. 命题 “ 若 ，则 或 ” 的逆否命题为 “ 若 且 ，则 ” 【答案】 D 【 解析】 选择 A：命题 “ ，使 ” 的否定为 “ ，都有 ” ； 选项 B： 为真命题； 选项 C： “ 若 ，则与 的夹角为锐角 ” 原命题为假命题，- 2 - 逆命题为真
3、命题，故选 D 5. 中，角 的对边分别为 ， ， ， ，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A . 由正弦定理 ，可得 ，进而得到 ，故选 A. 6. 已知数阵 中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若 ，则所有九个数的和为（ ） A. 18 B. 27 C. 45 D. 54 【答案】 C 【解析】 由题意得，这九个数的和 根据等差数列的性质，得 ， 又因为各列也构成等差数列，则 ， 所以 ，故选 C. 7. 已知函数 （ ），且导函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B - 3 - 【解析】 因为 ，所以
4、， 由图象可得，函数 的最大值 ， 又因为 ，所以 ，可得 ， 所以 ，将 代入 ， 得 ，即 ，即 ， 因为 ，所以 ，所以 所以 ，故选 B. 8. 如图，设 是平面内相交成 角的两条数轴， 、 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在仿射坐标系 中的坐标 .若在此仿射坐标系下， 的坐标为 ， 的坐标为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 在平面直角坐标系可得： ， 则 ， 所以 ，故选 A. 9. 函数 （ ）的图象大致是（ ） A. B. - 4 - C. D. 【答案】 B 【解析】 由题意可知 ， 所以函数 是奇函数，依
5、据图象 排除 A 和 C 选项， 由于 ，即 ，排除 D 选项，故选 B. 10. 将向量 组成的系列称为向量列 ，并定义向量列 的前 项和若 ，则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 不存在 ，使得 C. 对 ，且 ，都有 D. 以上说法都不对 【答案】 C 【解析】 由 ，则 ，所以数列 构成首项为 ，公比为的等比数列，所以 ，又当 时， ， 所以当 ，且 时， 是成立的，故选 C. 11. 已知 ， ， ， 则函数 （ ）的各极大值之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由题意得， ，所以 ， 则 ，所以 的极大值点为 ， - 5 - 的各极大值之和为 ，故选
6、A. 点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用以及等比数列的求和问题，其中解答中涉及到归纳推理、利用导数研究函数的极值，以及等比数列求和公式等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中认真审题，利用导数判定出函数在定义域上的极大值点是解答的关键 . 12. 如图，点 为 的边 上一点， ， 为边 上的一列点，满足，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 因为 ，所以 ，所以 ， 因为 ，且 ， 所以 ，得 ，所以 ， 又 ，所以数列 表示首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，故选 B. 点睛：本题主要考查了向量的运算和数列的通项公式的求解问题，其中解答中
7、涉及到向量的线性运算，共线向量的表示和等差数列的判定和等差数列的通项公式的应用，试题综合性强，属于中档试题，解答中根据向量的运算和共线向量的表示，得出数列 和 的关系是解答的关键 . 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） - 6 - 13. _ 【 答案】 【解析】 由 ，及 ， 可得 ，所以 . 14. 已知函数 ，若 ，则实数的值是 _ 【答案】 0 或 或 【解析】 由题意得， 当 时， ，符合题意； 当 时， ，解得 ，符合题意； 当 时， ，解得 ，符合题意， 综上所述， 或 或 . 15. 若直线 为函数 图象的一条切线，则 的最小值为 _ 【答案】 0
8、【解析】 设切点 ，则 ，所以方程为 ， 即 ，所以 ， ， 可得 在 上单调递减，在 单调递增， 所以当 时， 取得最小值 . 点睛：本题主要 考查了导致在函数中的应用，其中解答中涉及到导数的几何意义求解切线的方程，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据导数的几何意义，得出切线方程，求得的解析式是解答的关键 . 16. 点 为 所在平面内的一点且满足 ， ，动点 满足 ， ，则 的最小值为 _ - 7 - 【答案】 【解析】 因为 ，即点 是 外接圆的圆心，即外心， 又因为 ，即点 是 外接圆的重心 ， 所以 是等
9、边三角形， 由 ，解得 ，即三角形的边长为 ， 以点 为原点建立坐标系，并且做单位元，点 是圆上任意一点， 则 ，点 是 的中点， 所以 ， ， 当 时，函数取得最小值 ，即 的最小值为 . 点睛：本题主要考查了三角函数的综合应用问题，其中解答中涉及到三角形的性质，正弦定理解三角形，以及三角函数的恒等变换和三角函数的性质，试题综合性强，属于难题，解答中根据三角形的形式和正弦定理得到三角形为等边三角形，建立坐标系，利用坐标法求解是解答的关键 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知向量 ， ，记函数 . (1)求函数 的最大
10、值及取得最大值时 的取值集合； (2)求函数 在区间 内的单调递减区间 . 【答案】（ 1） 最大值 ，且取得最大值时 的集合为 ；（ 2）和 【解析】 试题分析： () 由题意，化简得 ，即可求解函数 的最值，及其相应的 的值 . - 8 - () 由题意 :根据三角函数的图象与性质，即可求解 在 的单调递减区间 试题解析： 当 ，即 时， 取得最大值 . 此时 ， 最大值 . 且取得最大值时 的集合为 . (2)由题意 : ， 即 ， 于是， 在 的单调递减区间是 和 18. 在等差数列 中， ， .记数列 的前 项和为 . (1)求 ； (2)设数列 的前 项和为 ，若 成等比数列，求
11、. 【答案】（ 1） ；（ 2） 【解析】试题分析： () 由题意，求得等差数列的公差 ，进而得到数列的通项公式，即可求解数列的前 项和 . () 由 成等比数列，求解 ，进而得到数列 通项公式，再猜裂项相消求和即可 . 试题解析： (1)由 得 ， ， ， ， ， ， (2)若 成等比数列，则 ，即 ， ， - 9 - . 19. 设 分别为 三个内角 的对边，若向量 ， ，且 . (1)求 的值； (2)求 的最小值 (其中 表示 的面积 ). 【答案】（ 1） ；（ 2） 【解析】试题分析： () 由题意得，得出向量 的坐标，根据 ，利用 ，化简即可到结论； () 由三角形的面积公式及余
12、弦定理，得 ，在 中，得出，再利用正切的两角和公式和基本不等式，即可求解结论 . 试题解析： (1) ， ，且 ， 即 ， ， 因此 . (2)由 及余弦定理，得 在 中， ，易知 ， 即当且仅当 时， 20. 设函数 . (1)讨论 的单调性； - 10 - (2)当 时， 恒成立，求实数的取值范围 . 【答案】（ 1）见解析；（ 2） 【解析】试题分析： () 由定义域为 ，求得 ，分 ， 两种情况讨论，即可得出函数的单调性； () 由 () 可知得到 ，则 恒成立，转化为函数 ， 得出 ，令令 ，利用导数得出 的单调性和最值，即可求解实数的取值范围 . 试题解析： (1)由定义域为 ， ， 当 时， ， 在 单调增 当 时， ， ； 在 单调增， 在 单调减 综上所述 :当 时， 在 单调增； 当 时， 在 单调增， 在 单调减 (2)由 () 可知 ， ，则 恒成立 令 ，显然 ， 再令 ， ，当 ，当 在 单调减， 单调增 ， ， ， 在 单调增， ， 21. 设正项数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， . (1)求数列 的通项公式； (2)若正项等比数列 满足 ，且 ，数列 的前 项和为 . 求 ； 若对任意 ， ，均有 恒成立，求实数 的取值范围 . 【答案】（ 1） ；（ 2）
