1、教 师 课 时 授 课 计 划 教师姓名 课程名称 应用数学 授课时数 2 累计课时 授课日期星期节次授课班级课题M7-2 一阶线性微分方程知识目标理解一阶线性微分方程的概念技能目标会求一阶线性微分方程的解态度目标培养学生分析，解决问题的能力教学重点一阶线性微分方程的解法教学难点常数变易法的使用技巧教学资源三角板参考书高等数学同济四版作 业教 学 过 程 设 计教学环节教学内容教学方法时间课程引入案例：一个由电阻R = 10欧，电感L = 2亨和电源电压伏串联而成的电路，开关K闭合后，电路中有电流通过，求电流和时间的函数关系提问5知识讲解1、一阶线性微分方程2、常数变易法3、例题讲解启发式50
2、课堂实战应用常数变易法求一阶线性微分方程30课后点评一阶线性微分方程的求法5课后小记一、课程引入一个由电阻R = 10欧，电感L = 2亨和电源电压伏串联而成的电路，开关K闭合后，电路中有电流通过，求电流和时间的函数关系二、新课讲解1、一阶线性微分方程定义6 形如 （7-4）的方程称为一阶线性微分方程这里的线性是指及的次数都是一次，是已知函数若，得 ， （7-5）方程（7-5）式称为与方程（7-4）式对应的齐次方程2、常数变易法我们先求方程（7-5）式的通解，为此将（7-5）式分离变量得，两端积分，得 ，即得（7-5）式的通解为 （7-6）方程（7-4）式的通解与方程（7-5）式的通解有何联系
3、呢？当C为常数时，函数（7-6）式的导数，恰等于该函数乘上 P()，从而（7-6）式为齐次方程（7-5）式的解由于非齐次方程（7-4）式比齐次方程（7-5）式多一项（左边完全相同），所以非齐次方程（7-4）式 的解的导数不能恰等于它与P()的乘积，还必须多出一项来为了达到这个目的，联系到乘积的导数公式，必须将（7-6）式中的常数C改为函数C ()，即令 , (7-7)为非齐次方程（7-4）式的解，对（7-7）式求导，得 , (7-8)用（7-7）式、（7-8）式代入（7-4）式，得,即 ,或 ,故 , (7-9)用（7-9）式代入（7-7）式中，得（7-4）式的通解为 , (7-10)即 可知，一阶线性微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和上面求方程（7-4）式的通解的方法叫做常数变易法3、例题讲解例1 解微分方程解 这里，利用通解公式（7-10）式得 例2 一个由电阻R = 10欧，电感L = 2亨和电源电压伏串联而成的电路，开关K闭合后，电路中有电流通过，求电流和时间的函数关系解 由电学知识知道，当回路中电流变化时，L上有感应电动势，由回路定律得到,即 ,由公式（7-10）得,用初条件代入，得,故得电流i与时间t的函数关系为三、课堂实战求下列微分方程的通解： （1）； （2）； 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）； （2）； 4
