1、 - 1 - 木里中学 2017-2018 学年度上期高三 10月月考试卷 数学（理科） 考试时间： 120分钟； 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题） 一、选择题 （每题 5分，共 60分） 1、 复数 2(2 )iZ i? （ i为虚数单位 )，则 ( ) A、 B、 C、 D、 2、 已知集合 ? ?2 1 0 , =A x x m x A R ? ? ? ? ?若,则实数 的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 3、 函数 ()fx 2x 6+lnx 的零点个数为 ( ) A、 2 B、 1 C、 3 D、 4 4
2、、 函数 4 xy comx e?（ 为自然对数的底数）的图象可能是（ ） A、 B、 C 、 D、 5、 已知 a 130.7? ， b 130.6? ， c log2.11.5，则 a ， b， c的大小关系是 ( ) A、 cba B、 a bcC、 ba c D、 ca b - 2 - c6 某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 ( ) A、 2 B、 4 C、 5 D、 6 7 某算法的程序框图如图所示，若输出 的 22y? ，则输入的 x 的值可能为（ ） A、 12? B、 12 C、 32 D、 92 8、 设函数 的导函数 ( ) 2 1f x x? ? 则 21
3、()f xdx?的值等于 ( ) A、 B、 C、 D、 9、 已知 ， ，则 的值为（ ） A、 B、 C、 D、 10、 设 nS 是等差数列 ?na 的前 n 项和，已知 263, 11aa?，则 7S 等于（ ） A、 13 B、 35 C、 49 D、 63 11、 已知 1sin cos 5?， 0 ?，则 2sin 24?的值为（ ） A、 3125? B、 1725? C、 3125? D、 1725? 12 、 已知函数 ? ? 123 , 0 2 1 , 0x xfx x x x? ? ? ? ? ? ? ， 若关于 x 的方程? ? ? ? ? ?2 30f x f x
4、a a R? ? ? ?有 8个不等实数根，则 a 的取值范围是 ( ) A、 10,4?B、 1,33?C、 ? ?1,2 D、 92,2?第 II卷（非选择题） - 3 - 二、填空题： （每题 5分，共 20分） 13、 ( 1 , 2 ) , 2 ( 3 , 1 ) ,a a b a b? ? ? ?设 则_ 14、 已知数列 满足 （ ）且 ，则 2 2020log a =_ 15、 若 xy、 满足约束条件 11 0 20xxyxy? ? ? ? ，则 22z x y?的最小值为 _ 16、 如图，点 A ， B 为直线 yx? 上的两点， 过 A ,B 两点分别作 y 轴的平行线
5、交双 曲线 1 ( 0)yxx?于 C 、 D 两点， 若 2BD AC? ,则 224OC OD? 的值为 _ 17、（本小题满分 12分）已知在 ABC 中， a， b， c是角 A， B， C的对边，向量与向量 共线 （ 1）求角 C的值； （ 2）若 ，求 的最小值 18、 （本题 12分） 已知数列 的首项 ， . （ 1）证明：数列 是等比数列； （ 2）求数列 的前 项和 为 . 19、 （本题 12分） 如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 平面 ABCD， AB AD， AD BC， AP AB AD 1 （ ）若直线 PB 与 CD 所成角的大小为 ， 求 BC 的长；
6、- 4 - （ ）求二面角 B PD A的余弦值 20、 （本题 12分） 已知椭圆 ： （ ） 的短轴长为 2， 离心率是 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）点 ， 轨迹 上的点 ， 满足 ，求实数 的取值范围 . 21、 （本题 12分） 已知函数 （ ）当 a 0时，求函数 ()fx的单调递减区间； （ ）当 a =0时，设函数 g（ x ） =x f （ x ） k（ x +2） +2若函数 g（ x ）在区间 上有两个零点，求实数 k的取值范围 请考生在 22 题 22、 23 题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用2B铅笔把所选题目对应的题号涂黑 （ 10
7、 分） 22、 选修 4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C： (x 1)2 y2 1.直线 l 经过点 P(m， 0)，且倾斜角为，以 O为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 (1)写出曲线 C的极坐标方程与直线 l 的参数方程； (2)若直线 l 与曲线 C相交于 A， B两点，且 |PA| PB| 1，求实数 m的值 23、 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （ ）解不等式 ( ) 3fx? ； （ ）记函数 ( ) ( ) 1g x f x x? ? ?的值域为 ，若 ，证明： 2 313ttt? ? ?- 5 - 45一、 CCBAD DCABC
8、BD 12、 函数 ? ? 123 , 0 2 1 , 0x xfx x x x? ? ? ? ? ?的图象如图，关于 ? ? ? ? ? ?2 30f x f x a a R? ? ? ?有 8个不等的实数根，即 ? ? ? ?2 30g t t t a a R? ? ? ? ?在 ? ?1,2 有 2 个不等的实数根 ， 可得? ? ?9 4 031221 2 02 2 0agaga? ?， 解得 92 4a? ， 故选 D. 二、 13、 5 14、 2018 15、 16、 6 的 两 点 ， 可 设 ? ? ? ?, , , ,A a a B b b 则16、 【解析】 由点 A ，
9、 B 为直线 yx? 上11, , ,C a D bab? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11,A C a B D bab? ? ? ?， BD=2AC， 1bb? =2( 1a a? ) 224OC OD? =? ?2 2 2 2 2 2221 1 1 1 1 14 4 ( ) 2 ) 2 4 ( ) 8 4 ( ) 2 6a b a b a aa b a b a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故答案为 6 三、 解答题 17题 （ 1）向量 与向量 共线 （ a b） ?sin（ A+C
10、） =（ a c）（ sinA+sinC），由正弦定理可得（ a b） ?b=（ a c）（ a+c）， c 2=a2+b2 ab， ， 0 C ， （ 2） ， ， ， ，- 6 - ， ， ，（ 当 且 仅 当时，取 “=” ）， 的最小值为 18题 ( ） ， ， ，又 ， ， 数列 是以为 首项， 为公比的等比数列 ?5 分 （ ）由（ ）知 ，即 ， ?7 分 ?8 分 设 ? ， 则 ? ， 由 得 ? ， ?1 0分 又 ? 22 ( 1 ) 4 22 1 22 2 2 2n nnnn n n n n n nnsa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?数 列 的 前 项 和
11、分19题 以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz 因为 AP AB AD 1，所以 A(0， 0， 0)， B(1， 0， 0)， D(0， 1， 0)， P(0， 0， 1)设 C(1， y，0)，则 (1， 0， 1)， ( 1， 1 y， 0) ?2 分 - 7 - 因为直线 PB 与 CD所成角大小为 ， 所以 |cos ， | | | ， 即 ，解得 y 2或 y 0（舍）， 所以 C(1， 2， 0)，所以 BC 的长为 2 （ 2）设平面 PBD的一个法向量为 n1 (x， y， z) 因为 (1， 0， 1)， (0， 1， 1)， 则 即 令 x 1，则
12、 y 1， z 1，所以 n1 (1， 1， 1) 因为平面 PAD的一个法向量为 n2 (1， 0， 0)， 所以 cos n1， n2 ， 所以，由图可知二面 角 B PD A的余弦值为 20题 (1) 由椭圆定义 ，有 ， 从而 . (2) 设直线 ，有 ，整理得 ， 设 ，有 ， ，由已知 . 21题 （ ） f（ x）的定义域为（ 0， + ）， f（ x）的导数为 f （ x） = ax+1+a = （ a 0）， 当 a （ 0， 1）时， 由 f（ x） 0，得 或 x 1 当 x （ 0， 1）， 时， f（ x）单调递减 - 8 - f （ x）的单调递减区间为（ 0， 1
13、）， ； 当 a=1时，恒有 f（ x） 0 ， f （ x）单调递减 f （ x）的单调递减区间为（ 0， + ）； 当 a （ 1， + ）时， 由 f（ x） 0，得 x 1或 当 ， x （ 1， + ）时， f（ x）单调递减 f （ x）的单调递减区间为 ，（ 1， + ） 综上，当 a （ 0， 1）时， f（ x）的单调递减区间为（ 0， 1）， ； 当 a=1时， f（ x）的单调递减区间为（ 0， + ）； 当 a （ 1， + ）时， f（ x）的单调递减区间为 ，（ 1， + ） （ ） g（ x） =x2 xlnx k（ x+2） +2 在 上有零点， 即关于 x的方
14、程 在 上有两个不相等的实数根 令函数 则 令函数 则 在 上有 p（ x） 0 故 p（ x）在 上单调递增 p （ 1） =0， 当时，有 p（ x） 0即 h（ x） 0 h （ x）单调递减； 当 x （ 1， + ）时，有 p（ x） 0即 h（ x） 0， h （ x）单调递增 ， h（ 1） =1， ， k 的取值范围为 22题 (1)曲线 C的直角坐标方程为： (x 1)2 y2 1，即 x2 y2 2x，即 2 2 cos ， - 9 - 所以曲线 C的极坐标方程为： 2cos . 直线 l的参数方程为 (t为参数 ) (2)设 A， B两点对应的参数分别为 t1， t2，将直线 l的参数方程代入 x2 y2 2x中， 得 t2 ( m )t m2 2m 0，所以 t1t2 m2 2m， 由题意得 |m2 2m| 1，解得 m 1或 m 1 或 m 1 .
