1、2.2 2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2.2.2 2.2.2 反反 证证 法法 反证法反证法 内容：反证法的概念、步骤 应用: 1.直接证明难以下手的命题直接证明难以下手的命题 2.“2.“至少”、“至多”至少”、“至多” 型命题型命题 3.否定性命题否定性命题 4.某些存在性命题某些存在性命题 本课主要学习反证法。反证法是从否定命题的结论入手， 并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑 推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经 证明为正确的命题等相矛盾的结论.本课以视频王戎的故事引 入新课，从生活实例抽象出反证法的概念、步骤.让学生感受 到了反证法
2、处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法 的步骤.并能利用反证法解决简单的问题.证明方法的选择，以 及如何发现证明思路是本课的难点.由于学生的实际情况不同 ，且本节内容涉及过多以往知识点的应用，建议教师在使用本 课件时灵活掌握. 在讲述反证法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通 过例1和变式1,让学生明白:当直接证明命题难以下手时，改变 其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。通 过例2和例3,告诉学生:“至少”、“至多” 型命题常用反证 法.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解和巩固反证法 的运用方法. 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推
3、证过程和特点： 由因导果 执果索因 3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程 综合法 已知条件 结论 分析法 结论 已知条件 路边苦李路边苦李 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某天，他和小伙伴在路 边玩，看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙 伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说：“李子是苦的，我不 吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小伙伴问王戎： “这就怪了！你又没吃怎么知道李子是苦的啊？” 王戎说：“如果李子是甜的，树长在路边，李子早就没有 了！李子现在还这么多，所以啊，肯定李子是苦的，不好吃！ ” 王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一
4、样吗？是什么方法？ 反证法是我们常见的一种证明方法，它隶属于间接证明，今天 我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用. 反证法反证法 路边苦李路边苦李 （1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在 同一只鸽笼，对吗？ （2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、 B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎. 这与B撒谎矛盾. 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题 成立的证明方法称为间接证明 注：反证法是最常见的间接证法， 反证法：反证法：假设命题结论的反面成立假设命题
5、结论的反面成立, , 经过正确的推理经过正确的推理, ,引出矛盾，因此说引出矛盾，因此说 明假设错误明假设错误, ,从而证明原命题成立从而证明原命题成立, ,这这 样的的证明方法叫反证法样的的证明方法叫反证法. .（归谬法归谬法） 反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反 例例1 1：求证：求证： 是无理数。是无理数。 2 2 解析：解析：直接证明难以下手的命题直接证明难以下手的命题，改变改变 其思维方向，从反面进行思考，问题可其思维方向，从反面进行思考，问题可 能解决得十分干脆。能解决得十分干脆。 例1：求证： 是无理数。 2 2 2 2证明：假设 是有理数 则存在互质的整数m,
6、n使得 m n 2 2 2mn 22 2mn 2 2 () mm mk kN 是偶数，从而 必是偶数， 故设 2222 2,=knnk从而有4即2 2 nn是偶数，即 是偶数,mn这与 ， 互质矛盾 2假设不成立，即是无理数. 反证法的证明过程： 否定结论推出矛盾肯定结论， 即分三个步骤：反设归谬存真 反设假设命题的结论不成立； 存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。 归谬从假设出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾； 用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件 否定结论 导 致 逻辑矛盾 反设 不成立 结论 成立 所以假设错误，故原命题所以假设错误，故原命题 成立成立 b
7、a 证明证明: : 假设假设 a 不大于不大于 b 则则 a 0,b0所以所以 (1)若 a 0,y0x0,y0，x + y 2x + y 2， 求证：求证： 中至少有一个小于中至少有一个小于2 2。 x y y x1 , 1 分析：所谓至少有一个,就是不可能没 有,要证“至少有一个”只要证明它的 反面“所有都”不成立即可. 注:“至少”、“至多” 型命题常 用反证法 常见否定用语常见否定用语 是是不是不是 有有没有没有 等等不等不等 成立成立不成立不成立 都是都是不都是，即至少有一个不是不都是，即至少有一个不是 都有都有不都有，即至少有一个没有不都有，即至少有一个没有 都不是都不是部分或全部
8、是，即至少有一个是部分或全部是，即至少有一个是 唯一唯一至少有两个至少有两个 至少有一个有（是）至少有一个有（是）全部没有（不是）全部没有（不是） 至少有一个不至少有一个不全部都全部都 应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论 (3)结论为“至少”、“至多”、“有无 穷多个” 类命题； (4)结论为 “唯一”类命题； 正难则反正难则反! ! 三个步骤：三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真 归缪矛盾：归缪矛盾： （1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾； （2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。 一般地，假
9、设原命题不成立（即在原命题的条件下，一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下， 结论不成立），结论不成立）， 经过正确的推理，经过正确的推理， 最后得出矛盾。最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做这样的证明方法叫做反证法反证法。 推推 理理 与与 证证 明明 推理推理 证明证明 合情推理合情推理 演绎推理演绎推理 直接证明直接证明 间接证明间接证明 类比推理类比推理 归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法 已知：已知：整数整数a的平方能被的平方能被2整除，整除， 求证：求证：a是偶数。是偶数。 证明：假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数) a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 a2是奇数，与已知矛盾。 假设不成立，所以a是偶数。
