1、 - 1 - 福建省泉州市 2018 届高三数学下学期质量检查（ 3 月）试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 2 | log 0A x x? ， | 1 3B x x? ? ? ? ， 则 AB? （ ） A (3?， ） B ( 1 )? ?， C ( 1 1)?， D (1 3)， 2.已知向量 (3 2)a? ， ， (2 3)b? ， ,则下列结论正确的是（ ） A ab? B ( ) ( )a b a b? ? ? C ab D ( ) ( )
2、a b a b? 3.已知函数 ()fx 是偶函数 ， 且 ( ) ( 4)f x f x? ， (1) 1f ? ， 则 ( 9)f ? （ ） A 1? B 5? C 1 D 5 4.若 22 loga bc?， 则 a ， b ， c 的大小关系为 （ ） A a c b? B abc? C.c b a? D bac? 5.已知实数 x ， y 满足 3 2 4 002xyxyx?， 则 1yz x? ? 的最大值为 （ ） A 1 B 43 C.32 D 2 6.设函数 ( ) sin( )f x x? （ 0? ， 0? ）的最小正周期为 ? ， 且 ( ) ( )8f x f ?
3、，则下列说法不正确的是 （ ） A ()fx 的一个零点为 8? B ()fx 的一条对称轴 为 8x ? C. ()fx 在区间 35()88?， 上单调递增 D ()8fx? 是偶函数 7.执行如图所示的程序框图，则输出 S? （ ） - 2 - A 45? B 36 C.64 D 204 8.惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千多年的繁衍发展，仍然保留着非常纯粹的中国艺术传统，左下图粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋期间伟大数学家刘徽创造的一个独特的几何体 牟合方盖（如下右图），牟合方盖的体积 323Vd? （其中 d 为最大截面圆的直径 ）
4、.若三视图中 网格纸上小正方形的边长为 1 ， 则该石雕构件的体积为 （ ） A 45125 2? B 509 4542? C. 45143 2? D 45161 2? 9.如图所示，正六边形 ABCDEF 中 ， P 为线段 AE 的中点 ， 在线段 DE 上随机取点 Q ，入射光线 PQ 经 DE 反射 ， 则反射光线与线段 BC 相交的概率为 （ ） A 14 B 13 C.512 D 23 10.已知点 P 是双曲线 E ： 221xyab? （ 0a? ， 0b? ）与圆 2 2 2 2x y a b? ? ? 的一个交点 ， 若 P 到 x 轴的距离为 a ， 则 E 的离心率等于
5、 （ ） A 51 2? B 3+52 C. 152? D 152? - 3 - 11.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为 3 ， 则其包装盒的体积的最小值为 （ ） A 36? B 72? C. 81? D 216? 12.不等式 2ln ( 2 ) 2x x x a x a? ? ? 有且只有一个整数解 ， 则 a 的取值范围是 （ ） A 1 )? ?， B ( 4 4 ln 2 1 )? ? ? ? ? ?， ， C. ( 3 3 ln 3 1 + )? ? ? ? ?， ， D ( 4 4 l n 2 3 3 l n 3 1 )? ? ? ? ? ? ?， ，
6、第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知复数 (1 2 )(2 )z i i? ? ? ， 则 z? 14. 441( 1) (1 )x x? 的展开式中，常数项是 15.已知抛物线 E ： 2 4yx? 的焦点为 F ， 准线为 l ， l 交 x 轴于点 T ， A 为 E 上一点 ， 1AA 垂直于 l ， 垂足为 1A ， 1AF 交 y 轴于点 S ， 若 ST AF ，则AF? 16.在平面四边形 ABCD 中 ， =120ABC? ， 2 19AC? ， 23AB BC? ， 2AD BD? ，BCD 的面积为 23 ，
7、则 AD? 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 记数列 ?na 的前 n 项和为 nS ,已知 1 ， na ， nS 成等差 数列 . （ 1）求 ?na 的通项公式 ； （ 2）若 112( 1)( 1)nnnnab aa? ?， 证明 ：122 13 nb b b? ? ? ?. 18. 如图，在四边形 ABCD 中 ， AD BC ， 90BAD? ? ? ， 23AB? ， 4BC? ，6AD? ， E 是 AD 上的点 ， 13AE AD? ， P 为 BE 的中点 ， 将 ABE 沿 BE 折起到 1ABE 的位
8、置 ， 使得 1 4A? ， 如图 2. - 4 - （ 1）求证：平面 1ACP? 平面 1ABE ； （ 2）求二面角 1B AP D? 的余弦值 . 19. 某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测 100 株树苗的高度 ，经数据处理得到如图的频率分布直方图 ， 起中最高的 16 株树苗高度的茎叶图如图所示 ， 以这100 株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率 . （ 1）求这 批树苗的高度高于 1.60 米的概率 ， 并求图 19-1 中， a ， b ， c 的值 ； （ 2）若从这批树苗中随机选取 3 株 ， 记 ? 为高度在 (1.40 1.60， 的树苗
9、数列 ， 求 ? 的分布列和数学期望 . （ 3）若变量 S 满足 ( ) 0 .6 8 2 6PS? ? ? ? ? ? ? 且 ( 2 2 ) 0 . 9 5 4 4PS? ? ? ? ? ? ? ， 则称变量 S 满足近似于正态分布 2()N?， 的概率分布 .如果这批树苗的高度满足近似于正态分布 (1.5 0.01)N ， 的概率分布 ， 则认为这批树苗是合格的 ， 将顺利获得签收 ；否则，公司将拒绝签收 .试问，该批树苗能否被签收？ 20. 过圆 C ： 224xy? 上的点 M 作 x 轴的垂线 ， 垂足为 N ， 点 P 满足- 5 - 32NP NM? .当 M 在 C 上运动
10、时 ， 记点 P 的轨迹为 E . （ 1） 求 E 的方程 ； （ 2）过点 (0 1)Q ， 的直线 l 与 E 交于 A ， B 两点 ， 与圆 C 交于 S ， T 两点 ， 求 AB ST? 的取值范围 . 21. 已知函数 ( ) ( 2 )( )xf x x e ax? ? ? . （ 1）当 0a? 时 ， 讨论 ()fx 的极值情况 ； （ 2）若 ( 1) ( ) 0x f x a e? ? ? ， 求 a 的值 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参
11、数方程为 1 cos1 sinxtyt? ?（ t 为参数 ， 0 ? ） .在以 O 为极点 ， x 轴正半轴为极轴的极坐标中 ， 曲线 C ： =4cos? . （ 1）当 4? 时 ， 求 C 与 l 的交点的极坐标 ； （ 2）直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点 ， 且两点对应的参数 1t ， 2t 互为相反数 ， 求 AB 的值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 2f x x a x? ? ? ?. （ 1）当 1a? 时 ， 求不等式 ()fx 5 的解集 ； （ 2） 0x?R ， 0( ) 2 1f x a? ， 求 a 的取值范围 . - 6 -
12、 参考答案 一、选择题 1-5:BBCAB 6-10:CBCCD 11、 12： BD 二、填空题 13.5 14. 6 （ 15） 4 ； （ 16） 43 . 三、解答题 17.解： （ 1）由已知 1， na ， nS 成等差数列，得 21nnaS? 当 1n? 时， 1121aS?，所以 1 1a? ； 当 2n? 时， 1121nnaS? ， 两式相减得 122n n na a a?，所以1 2nnaa? ?， 则数列 ?na 是以 1 1a? 为首项， 2q? 为公比的等比数列， 所以 1 1 11 1 2 2n n nna a q ? ? ? ? ? ? （ 2） 由 （ 1）
13、得 ? ? ? ? ? ? ? ?11122 11 2 1 2 1nnnnnnnab aa ? ?1112 1 2 1nn?， 所以， 12 nb b b? ? ? 2 2 3 11 1 1 1 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 111 21n? ?因为 122 1 2 1 3n? ? ? ? ?，1110 2 1 3n?， 所以121113 2 1n? ? ?，即证得122 13 nb b b? ? ? ? ? 18.解 ： （ 1） 连结 CE 在四边形 AB
14、CD 中， /AD BC ， 90BAD? ? ? ， 23AB= ， 4BC= ， 6AD= ，13AE AD= ， - 7 - 1 2AE AE?， 4BE DE?， 四边形 BCDE 为菱形，且 BCE? 为等边三角形 又 P 为 BE 的中点 ， CP BE? . 1 1 22AP BE?， 23CP? ， 1 4AC= ，满足 2 2 211A P CP A C?， 1CP AP? ， 又 1AP BE P? ， CP? 平面 1ABE . CP? 平面 1ACP ， 平面 1ACP 平面 1ABE （ 2）以 P 为原点，向量 ,PBPC 的方向分别为 x 轴、 y 轴的正方向建立
15、空间直角坐标系P xyz? （如图）， 则 ? ?0,0,0P (0,2 3,0)C ， ( 4,2 3,0)D ? ， ? ?1 1,0, 3A ?， 所以 ? ?1 1, 0, 3PA ?， ( 4, 2 3, 0)PD ? ， 设 ? ?,x y z?n 是平面 1APD 的 一个 法向量， 则 1 0,0,PAPD? ?nn即 3 0,4 2 3 0,xzxy? ? ? ? ? 取 1z? ，得 ( 3,2,1)?n 取 平面 1ABE 的一个法向量 ? ?0,1,0?m 22c o s ,222? ? ?nmnm nm， 又二面角 1B AP D?的平面角为钝角， 所以 二面角 1B
16、 AP D?的余弦值为 22? - 8 - zyx3 = 1.734 + 62= 5.2262= 1.22A 1PDECB19.解： （ 1） 由图 19-2 可知， 100 株样本树苗中高度高于 1.60 的共有 15 株， 以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于 1.60 的概率为 0.15. 记 X 为树苗的高度，结合 图 19-1 可得： 2( 1 . 2 0 1 . 3 0 ) ( 1 . 7 0 1 . 8 0 ) 0 . 0 2100f X f X? ? ? ? ? ? ?， 13( 1 . 3 0 1 . 4 0 ) ( 1 . 6 0 1 . 7 0 ) 0 .
17、1 3100f X f X? ? ? ? ? ? ?， 1( 1 . 4 0 1 . 5 0 ) ( 1 . 5 0 1 . 6 0 ) ( 1 2 0 . 0 2 2 0 . 1 3 ) 0 . 3 52f X f X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 又由于组距为 0.1，所以 0 .2 , 1 .3, 3 .5a b c? ? ? （ 2） 以样本的频率估计总体的概率，可得： 从这批树苗中随机选取 1 株 ， 高度在 1.40,1.60的概率 ( 1 . 4 0 1 . 6 0 ) ( 1 . 4 0 1 . 5 0 ) ( 1 . 5 0 1 . 6 0 ) 0 . 7P X f X f X? ? ? ? ? ? ? ? ?. 因为从这批树苗中 随机选取 3 株，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量 ? 服从二项分布 (3,0.7)B ， 故 ? 的分布列为： 33( ) C 0 . 3 0 . 7 ( 0 , 1 , 2 , 3 )n n nP n n? ? ? ? ? ?， 8 分 即
