1、正弦定理 怎样解直角三角形怎样解直角三角形？ 已知两边；已知两边； 已知一边及一锐角已知一边及一锐角. sinA ，sinB ， a c b c . a sinA b sinB c sinC A B C a b c 怎样解斜三角形？ 在一个三角形中在一个三角形中, ,各各 边的长和它所对角的正弦的比边的长和它所对角的正弦的比 相等相等. . 正弦定理正弦定理 a sinA b sinB c sinC ？ a sinA b sinB c sinC 2R. =2R b sinB B A B C b O A B C b O B A B C b O 思考：你能用向量法推导出以上结论吗？ 例例 1 在在
2、ABC中，已知中，已知c10，A45， C30，求，求b. 解：解： ， b sinB c sinC B=180 (AC)105， A B C c b b 19. c sinB sinC 例 2 在ABC中，已知a20，b28， A40，求B和c. 解： sinB 0.8999 b sinA a B164，B2116 40 A B C b B1 B2 在例 2 中，将已知条件改为以下几种 情况，结果如何？ （1） b20，A60，a203 ; （2） b20，A60，a103 ; （3） b20，A60，a15. 60 A B C b （1） b20，A60，a203 sinB ， b sin
3、A a 1 2 B30或150， 15060 180， B150应舍去. 60 20 203 A B C （2） b20，A60，a103 sinB 1 ， b sinA a B90. B 60 A C 20 （3） b20，A60，a15. sinB ， b sinA a 23 3 23 3 1， 无解. 60 20 A C 思考： 当b20，A60，a？时， 有1解、2解、无解. 例 3：已知向量a与ab夹角为60， 且 a 8，b 7，求a与b的夹角及a b. 解： 在OAC中， b sin60 a sinOCA sinOCA 0.9897, 8 sin60 7 OCA81.8或98.2
4、, OAC38.2或21.8, 过O作OBAC， AOB141.8或158.2, a b a b cosAOB44.0或52. 60 a O A C1 C2 B1 B2 例 3：已知向量a与ab夹角为60， 且 a 8，b 7，求a与b的夹角及a b. 思考：是否可以先求a (ab)，再求a b 及a与b 的夹角? 选作题 如图，墙上有一个三 角形灯架OAB，灯所受 重力为10N，OA、OB都 是细杆，只能受延杆方 向的力，试求杆OA、OB 所受的力. A B O 70 50 2 30 练习 ABC中， （1）已知c3，A45，B75， 则a_， （2）已知c2，A120，a23， 则B_，
5、（3）已知c2，A45，a ，则 B_. 26 3 75或15 小结 2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角. 1. 正弦定理 是解斜三角形的工具之一. a sinA b sinB c sinC 2R b a b a b a b a a 已知边a,b和A 仅有一个解 有两个解 仅有一个解 无解 ab CH=bsinAab a=CH=bsinA a0时递增，d0即a0时, 3.当公差d =0即a=0时, n S n S n a 1 0a 1 0a n S x y o x= 2 b a 1 1.当公差d 0即a0，b0，则，则 _2abab
6、 通常我们把上式写作：通常我们把上式写作： (0,0) 2 ab abab 当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做时取等号，这个不等式就叫做均值不等式均值不等式. 二、新课二、新课 通常我们把上式写作：通常我们把上式写作： (0,0) 2 ab abab 当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做均值不等式时取等号，这个不等式就叫做均值不等式. 2 ab ab证明：要证证明：要证 只要证只要证 2abab 要证，只要证要证，只要证 20abab 要证，只要证要证，只要证 2 ()0ab 显然显然, 是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 分
7、析 法 分 析 法 执果索因执果索因 几何意义：半径不小于半弦几何意义：半径不小于半弦 ab 2 ba 如图如图, ,AB是圆的直是圆的直 径，径，C是是AB上任一上任一 点点AC=a, , CB=b, ,过过 点点C 作垂直于作垂直于AB的的 弦弦DE，连，连 AD, BD, , 则则CD= =, , 半径为半径为 ab 2 ab 二、新课二、新课 对均值不等式对均值不等式 的几何意义作进一步探究的几何意义作进一步探究 2 ab ab m ab E D AO B C 均值不等式：均值不等式： (0,0) 2 ab abab 注意注意：（：（1）不等式使用的条件不同；）不等式使用的条件不同；
8、（2）当且仅当）当且仅当a=b时取等号；时取等号； （3） 叫做正数叫做正数a，b的的算术平均数算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的的几何平均数几何平均数； 2 ab ab 均值不等式均值不等式 二、新课二、新课 例例1：(1)用篱笆围成一个面积为用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园的矩形菜园， 问这个矩形的长问这个矩形的长、宽各为多少时宽各为多少时，所用篱笆最短所用篱笆最短 。 最短的篱笆是多少最短的篱笆是多少？ 解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m， 则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2（x+y）m. 2 xy xy 2 100, xy 2()40
9、xy 等号当且仅当等号当且仅当x=y时成立，此时时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆 最短最短的篱笆是最短最短的篱笆是40m. 结论结论1.两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值 三、例题三、例题 例例1：(2)用一段长为用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面菜园的面 积最大积最大，最大面积是多少最大面积是多少？ 三、例题三、例题 解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m，
10、 则则 2(x + y)= 36 , x+ y =18 矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m2 2 xy xy =18/2=9 得得 xy 81 当且仅当当且仅当x=y,即即x=y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时， 菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2 结论结论2.两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值 最值定理：最值定理：若若x、y皆为正数，则皆为正数，则 （1）当）当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时，时，xy有最有最 大值大值_； （2）当）当xy的值是常数
11、的值是常数P时，时，当且仅当当且仅当x=y时，时， x+y有最有最 小值小值_. 注意：各项皆为正数；注意：各项皆为正数； 和为定值或积为定值；和为定值或积为定值； 注意等号成立的条件注意等号成立的条件. 2 1 4 S 2 P 一“正”一“正” 二“定”二“定” 三“相等”三“相等” 和 定 积 最 大 ， 积 定 和 最 小 和 定 积 最 大 ， 积 定 和 最 小 三、例题三、例题 注：注：应用此不等式关键是配凑应用此不等式关键是配凑和一定和一定或或积一定积一定 2 1 四、练习四、练习 2. 当当 x0 时，时， 的最小值为的最小值为 ，此时，此时x= 。 1 x x 思考：当思考：
12、当 x-1, 当当 x 取什么值时取什么值时, 的值最小的值最小? 最小值是最小值是 多少多少? 1 1 x x 1.已知已知x0，y0， (1).若若xy=36，则，则x+y的最小值是的最小值是_，此时，此时x=_，y=_； (2).若若x+y=18，则，则xy的最大值是的最大值是_，此时，此时x=_，y=_； (3).若若x+2y=4，则，则xy的最大值是的最大值是_，此时，此时x=_，y=_； 2 2 1 12 6 6 81 9 9 22 2 2 , ab ababa ba b 或或中中，代代表表的的是是实实数数， 它它既既可可以以是是具具体体的的数数字字，也也可可能能是是比比较较复复杂
13、杂的的代代数数式式 ( (关关键键是是如如何何化化归归为为可可以以利利用用此此不不等等式式 注注： 的的形形式式) )。 本节课主要探究均值不等式的证明与初步应用本节课主要探究均值不等式的证明与初步应用 1.两个重要的不等式两个重要的不等式 （1） （2） (当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立) 22 R,2,()a bababab那那么么当当且且仅仅当当时时取取号号 (0,0) 2 ab abab 五、小结五、小结 2.不等式的简单应用：主要在于求最值不等式的简单应用：主要在于求最值 把握把握 ”六字方针”六字方针” 即即 “一正，二定，三等”“一正，二定，三等” 简单线性规划
14、证一证： x y o 1 - 1 x-y+1=0 y=y0 P(x0,y0) M(x,y) 如图，在直线x-y+1=0上取 一点P(x0,y0)，过点 p做平 行于x轴的直线y=y0 ，在此 直线上点p右侧的任意一点 （x，y）都有： 且y=y0 Xx0 故 , x-y x0-y0 有: x-y+1 x0-y0+1=0 即 x-y+10 因为点p为直线x-y+1=0上任意一点,故对于直线 x-y+1=0右下方的任意点(x,y),都有x-y+10 同理,对于直线左下方的任意一点(x,y),都有x-y+10 例1：画出不等式 2x+y-60 表示的平面区域。 x y o 3 6 2x+y-60 2
15、x+y-6=0 解： 先画直线2x+y-6=0 取原点（0,0),代入2x+y-6=0， 因为 20+0-6=-6 0， 所以，原点在2x+y-60表示的平 面区域内，不等式 2x+y-60表 示的区域如图所示。 直线定界，特殊点定域 练习练习1： 画出下列不等式表示的平面区域：画出下列不等式表示的平面区域： （1） （2）21 （3） O X Y 3 2 O X Y 5 2 O Y X 3 -4 （1） （2） （3） 例2：画出不等式组 表示的平面区域 3 0 05 x yx yx O X Y x+y=0 x=3 x-y+5=0 注：不等式组表示的平面区域是各不等 式所表示平面区域的公共部
16、分。 练习2： 画出下列不等式组表示的平面区域画出下列不等式组表示的平面区域： (1) (2) 2 42 y yx xy 93 623 2 3 xy yx xy x 4 o x Y -2 O X Y 3 3 2 1、由三条直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域如下图： o x Y 4 -2 则用不等式可 如何表示？ 思考 2、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购 买单价为60元、70元单片软件和盒装磁盘，根 据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则 不同的选购方式共有多少种？ 思考 小结 （1）二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中 表示什么图形？ （2）怎样画二元一次不等式（组)所表示的平面区域？ 应注意哪些事项？ （3）熟记“直线定界，特殊点定域”方法。 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, , 点点 的集合的集合 （x x，y y）|x|x- -y+1=0y+1=0表示表示 什么图形？什么图形？ 想 一 想 ？
