1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八单元 解析几何 第 46 讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 课前双击巩固 1.直线的倾斜角 (1)定义 :在平面直角坐标系中 ,当直线 l与 x轴相交时 ,我们取 x轴作为基准 ,x轴正向与直线 l向上方向之间所成的角 叫作直线 l的倾斜角 .当直线 l和 x轴平行或重合时 ,直线 l的倾斜角为 . (2)范围 :倾斜角 的取值范围是 . 2.直线的斜率 (1)定义 :一条直线的倾斜角 ( 90) 的 叫作这条直线的斜率 ,该直线的斜率k= . (2)过两点的直线的斜率公式 :过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1 x2)的直线的斜率公式为
2、k= .若 x1=x2,则直线的斜率 ,此时直线的倾斜角为 90 . 3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线 x=x0 斜截式 不含垂直于 x轴的直线 两点式 不含直线 x=x1(x1 x2) 和直线 y=y1(y1 y2) 截距式 不含垂直于坐标轴 和过原点的直线 一般式 平面内所有直线都适用 常用结论 直线的倾斜角 和斜率 k之间的对应关系 : =【 ;精品教育资源文库 】 = 0 0 0 不存 在 k0,b0)在两坐标轴上的截距之和为 4,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第
3、47讲 两直线的位置关系、距离公式 课前双击巩固 1.两条直线的 位置关系 直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表 : 位置关系 l1,l2满足的条件 l3,l4满足的条件 平行 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1 0 垂直 A1A2+B1B2=0 相交 A1B2-A2B1 0 2.两直线的交点 设 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的 就是方程组的解 . (1)若方程组有唯一解 ,则两条 直线 ,此解就是 ; (2)若方程组无解 ,则两条直线 ,此时两
4、条直线 ,反之 ,亦成立 . 3.距离公式 点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|= 点 P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 的距离 d= 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离 d= 常用结论 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1.若所求直线过点 P(x0,y0),且与 Ax+By+C=0平行 ,则方程为 :A(x-x0)+B(y-y0)=0. 2.若所求直 线过点 P(x0,y0),且与 Ax+By+C=0垂直 ,则方程为 :B(x-x0)-A(y-y0)=0. 3.过两直线交点的直线系方程 若已知直线 l1:A1x+B1y+C1
5、=0与 l2:A2x+B2y+C2=0相交 ,则方程 A1x+B1y+C1+ (A2x+B2y+C2)=0(其中 R,这条直线可以是 l1,但不能是 l2)表示过 l1和 l2的交点的直线系方程 . 4.点 (x,y)关于原点 (0,0)的对称点为 (-x,-y). 5.点 (x,y)关于 x轴的对称点为 (x,-y),关于 y轴的对称点为 (-x,y). 6.点 (x,y)关于直线 y=x的对称点为 (y,x),关于直线 y=-x的对称点为 (-y,-x). 7.点 (x,y)关于直线 x=a的对称点为 (2a-x,y),关于直线 y=b的对称点为 (x,2b-y). 8.点 (x,y)关于
6、点 (a,b)的对称点为 (2a-x,2b-y). 9.点 (x,y)关于直线 x+y=k的对称点为 (k-y,k-x),关于直线 x-y=k的对称点为 (k+y,x-k). 题组一 常识题 1.教材改编 已知过 A(-1,a),B(a,8)两点的直线与直线 2x-y+1=0平行 ,则 a的值为 . 2.教材改 编 过点 (3,1)且与直线 x-2y-3=0垂直的直线方程是 . 3.教材改编 过两直线 l1:x-3y+4=0和 l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为 . 4.圆 (x+1)2+y2=2的圆心到直线 y=2x+3的距离为 . 题组二 常错题 索引 :判断两条直线的位置关系
7、忽视斜率不存在的情况 ;求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系 ;两直线平行解题时忽略检验两直线重合的情况 . 5.若直线 (a+2)x+(1-a)y-3=0与直线 (a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直 ,则 a= . 6.两条平行直线 3x-4y-3=0和 mx-8y+5=0之间的距离是 . 7.若直线 l1:x+y-1=0与直线 l2:x+a2y+a=0平行 ,则实数 a= . 课堂考点探究 探究点一 两条直线的位置关系 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 (1)2017咸阳二模 已知 p:m=-1,q:直线 x-y=0与直线 x+m2y=0互相垂直 ,则 p是 q的 (
8、) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)2017广州二模 已知三条直线 2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形 ,则实数 m的取值集合为 ( ) A. B. C. D. 总结反思 (1)讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在 ;(2)“直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0平行”的充要条件是“ A1B2=A2B1且 A1C2 A2C1” ,“两直线垂直”的充要条件是“ A1A2+B1B2=0” . 式题 (1)2017湖南长郡中学、衡阳八中等重点中学联考 “ a=2”是“直线 ax+y-2
9、=0与直线 2x+(a-1)y+4=0 平行” 的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (2)2017沈阳二中一模 已知倾斜角为 的直线 l与直线 x+2y-3=0垂直 ,则cos -2 的值为 ( ) A. B.- C.2 D.- 探究点二 距离问题 2 (1)2017河北武邑中学月考 已知两平行直线 l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为 3,则 b+c= ( ) A.-12 B.48 C.36 D.-12或 48 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 (a b),则坐标原点 O(0,0)到经过两点 (a,a2
10、),(b,b2)的直线的距离为 . 总结反思 (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求 ,注意直线方程应为一般式 ;(2)运用两平行直线间的距离公式 d= 的前提是两直线方程中的 x,y的系数对应相等 . 式题 (1)平面上整点 (纵、横坐标都是整数的点 )到直线 y= x+ 的距离的最小值是( ) A. B. C. D. (2)2017辽宁锦州中学期中 若动点 A,B分别在直线 l1:x+y-7=0和 l2:x+y-5=0上移动 ,则线段 AB的中点 M到原点的距离的 最小值为 ( ) A.3 B.2 C.3 D.4 探究点三 对称问题 考向 1 点关于点的对称 3 (1)点 M
11、(4,m)关于点 N(n,-3)的对称点为 P(6,-9),则 ( ) A.m=-3,n=10 B.m=3,n=10 C.m=-3,n=5 D.m=3,n=5 (2)直线 2x-y+3=0关于定点 M(-1,2)对称的直线方程是 ( ) A.2x-y+1=0 B.2x-y+5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y-5=0 =【 ;精品教育资源文库 】 = 总结反思 中心对称问题主要有两类 : (1)点关于点的对称 :点 P(x,y)关于 O(a,b)对称的点 P(x,y)满足 (2)直线关于点的对称 :直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决 ,也可考虑利用两条对称直线是相互平行的
12、,并利用对称中心到两条直线的距离相等求解 . 考向 2 点关于线对称 4 (1)已知直线 l的方程为 2x-y-3=0,点 A(1,4)与点 B关于直线 l对称 ,则点 B的坐标为 . (2)点 M(3,-4)和点 N(m,n)关于直线 y=x对称 ,则 ( ) A.m=-4,n=-3 B.m=4,n=-3 C.m=-4,n=3 D.m=4,n=3 总结反思 若点 A(a,b)与点 B(m,n)关于直线 Ax+By+C=0(A 0,B 0)对称 ,则直线Ax+By+C=0垂直平分线段 AB,即有 考向 3 线关于线对称 5 (1)直线 l1:2x+y-4=0关于直线 l:x-y+2=0对称的直
13、线 l2的方程为 . (2)直线 l1:3x-y+1=0与直线 l2:3x-y+7=0关于直线 l对称 ,则直线 l的方程为 . 总结反思 求直线 l1关于直线 l对称的直线 l2,有两种处理方法 : (1)在直线 l1上取两点 (一般取特殊点 ),利用求 点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线 l的对称点 ,再用两点式写出直线 l2的方程 . (2)设点 P(x,y)是直线 l2上任意一点 ,其关于直线 l的对称点为 P1(x1,y1)(P1在直线 l1上 ),若直线 l的方程为 Ax+By+C=0(A 0,B 0),则有 从中解出 x1,y1,再代入直线 l1的方程 ,即得直线 l2的
14、方程 . 考向 4 对称问题的应用 =【 ;精品教育资源文库 】 = 6 (1)一束光线从原点 O(0,0)出发 ,经过直线 l:8x+6y=25反射后通过点 P(-4,3),则反射光线所在直线的方程为 . (2)将一张坐标纸折叠一 次 ,使得点 (3,-2)与点 (-1,2)重合 ,点 (7,3)与点 (m,n)重合 ,则mn= . 总结反思 在对称关系的两类问题中 ,中心对称的本质是“中点” ,体现在中点坐标公式的运用上 ;轴对称的本质是“垂直、平分” ,即“对称点连线与对称轴垂直 ,对称点构成的线段的中点在对称轴上” . 强化演练 1.【考向 3】与直线 x+3y-2=0关于 x轴对称的
15、直线方程为 ( ) A.x-3y-2=0 B.x-3y+2=0 C.x+3y+2=0 D.3x+y-2=0 2.【考向 2】两点 A(a+2,b+2),B(b-a,-b)关于直线 4x+3y=11 对称 ,则 ( ) A.a=-4,b=2 B.a=4,b=-2 C.a=4,b=2 D.a=2,b=4 3.【考向 3】若直线 l1:y-2=(k-1)x和直线 l2关于直线 y=x+1对称 ,那么直线 l2恒过定点( ) A.(2,0) B.(1,-1) C.(1,1) D.(-2,0) 4.【考向 1】直线 y=3x+3关于点 M(3,2)对称的直线 l的方程是 . 5.【考向 4】 2017西安一中一模 已知点 A(x,5)关于点 (1,y)的对称点为点 (-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是 . 6.【考向 4】已知入射光线经过点 M(-3,4),被直线 l:x-y+3=0反射 ,反射光线经过点 N(2,6),则反射光线所在直线的方程是 . 第 48讲 圆的方程 课前双击巩固
