1、高二数学高二数学椭圆的标准方程及几何意义椭圆的标准方程及几何意义 知知 识识 梳梳 理理 1.1.椭圆的定义椭圆的定义与标准方程与标准方程 椭圆第一定义椭圆第一定义： 焦点在x轴上时1 2 2 2 2 b y a x （ 222 abc） cos sin xa yb （参数方程， 其中为参数） （多用于三角代换法求范围） 。 椭圆第二定义椭圆第二定义：到定直线的距离与到焦点的距离为定值(0 1)的点的轨迹。 例例 1 1： 22 AxByC表示椭圆的充要条件是什么？ 2.2.椭圆的几何性质椭圆的几何性质 （1）椭圆椭圆（以1 2 2 2 2 b y a x （0ab）为例） ： 范围：,axa
2、byb ； 焦点：两个焦点(,0)c； 对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0） ，四个顶点(,0),(0,)ab， 其中长轴长为 2a，短轴长为 2b； 准线：两条准线 2 a x c ；渐近线：两条渐近线 = ； 离心率： c e a ，椭圆01e，e越小，椭圆越圆； 通径 2 2b a 。 3 3直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 （1）相交：0 直线与椭圆相交； （2）相切：0 直线与椭圆相切； （3）相离：0 直线与椭圆相离； 例例 2 2: :直线10ykx 与椭圆 22 1 5 xy m 恒有公共点，则m的取值范围是_ 4 4、 焦半径、 焦半径：利用
3、圆锥曲线的第二定义， 转化到相应准线的距离， 即焦半径 0 redaex， 其中d表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 学员姓名 年 级 高二 上课时间 辅导科目 数学 学科教师 课 题 椭圆标准方程与几何性质椭圆标准方程与几何性质 例例 3 3： （： （1 1）已知椭圆 22 1 2516 xy 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离 为_ _. （2 2）椭圆1 34 22 yx 内有一点) 1, 1 ( P，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使MFMP2 之值最小，则点 M 的坐标为_ 5 5、焦点三角形、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角
4、形） 问题问题： 2 0 tan| 2 Sbc y ，当 0 |yb即P为短轴端点时， max S的最大值为 bc； 6 6、弦长公式、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点 A、B， 则AB 2 12 1kxx，AB 21 2 1 1yy k 。 特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 7 7、圆锥曲线的中点弦问题：、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”
5、或“点差法”“韦达定理”或“点差法”求解。 例例 4 4：（1 1） 如果椭圆 22 1 369 xy 弦被点 A （4， 2） 平分， 那么这条弦所在的直线方程是 . （2 2）已知直线1yx 与椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中 点在直线 L：20 xy上，则此椭圆的离心率为_. （3 3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆1 34 22 yx 上有不同的两点关于直线mxy 4对称 易错易错：因为0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题 时，务必别忘了检验0 ！ 热热 身身 训训 练练 1椭圆有这样的光学性质：从
6、椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过 椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计） ，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反 弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 2如果方程 22 2xky 表示焦点在 x 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 _. 3已知椭圆的焦点是) 1 , 0 (),1, 0 ( 21 FF,且经过点（1， 3 2 ） 。 求椭圆的方程; 设点 P 在椭圆上,且1 21 PFPF,求 cos 21PF F. 题题 型型 分分 类类 题型题型 1 1 椭圆定义
7、的运用椭圆定义的运用 例例 1 1、已知 12 ,F F为椭圆 22 1 259 xy 的两个焦点，过 1 F的直线交椭圆于 A、B 两点若 22 12F AF B，则AB _。 变式训练：变式训练：已知P为椭圆 22 1 2516 xy 上的一点，,M N分别为圆 2 2 31xy 和圆 2 2 34xy 上的点，则PMPN的最小值为 题型题型 2 2 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 例例 2 2、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)经过两点 ) 2, 3(A 、 ( 2 3,1)B ； (2)经过点(2，3)且与椭圆 3649 22 yx 具有共同的焦点. 题型题型 3 3 求椭圆
8、的离心率（或范围）求椭圆的离心率（或范围） 例例 3 3、ABC中， 0 30 ,2,3 ABC AABS 若以,A B为焦点的椭圆经过点C， 则椭圆的离心率为 . 变式训练：变式训练：过椭圆的一个焦点 2 F作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P，若 12 FPF为等腰直角三 角形，则椭圆的离心率为 题型题型 4 4 椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） 例例 4 4、已知实数, x y满足 22 1 42 xy ,则 22 xyx的范围为 变式训练：变式训练： 已知点,A B是椭圆 22 22 1 xy mn （0,0mn）上两点,且AOBO, 则=
9、题型题型 5 5 焦点三角形焦点三角形 例例 5 5、已知 12 ,F F为椭圆 22 1 94 xy 的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知 12 ,P F F为一个 直角三角形的三个顶点，且 12 PFPF,求 1 2 PF PF 的值； 变式训练：变式训练：若 12 ,F F为椭圆 22 1 94 xy 的两个焦点，p 为椭圆上的一点，当 12 FPF为钝角 时，点 P 横坐标的取值范围为 题型题型 6 6 三角代换的应用三角代换的应用 例例 6 6、椭圆 22 1 169 xy 上的点到直线 l:90 xy的距离的最小值为_ 变式训练：变式训练：椭圆 22 1 169 xy 的内接矩形的
10、面积的最大值为 题型题型 7 7 直线与椭圆的直线与椭圆的综合综合 例例 7 7、当m为何值时，直线yxm与椭圆 22 1 169 xy 相交？相切？相离？ 变式训练：变式训练：若直线)( 1Rkkxy与椭圆1 5 22 m yx 恒有公共点，求实数m的取值范 围； 弦长问题弦长问题 例例 8 8、求直线24yx被椭圆 22 4 1 99 xy 所截得的弦长. 变式训练：变式训练：已知椭圆 2 2 1 2 x y的左右焦点分别为 F1,F2，若过点 P（0，-2）及 F1的直线交 椭圆于 A,B 两点，求ABF2的面积； 中点弦问题中点弦问题 例例 9 9、求以椭圆 22 1 85 xy 内的
11、点 A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。 变式训练：变式训练：1 1. .中心在原点，一个焦点为 1(0, 50) F的椭圆截直线32yx 所得弦的中点 横坐标为 1 2 ，求椭圆的方程 2.椭圆 22 1mxny ，与直线1xy 相交于 、 两点， 是 的中点若 2 2AB ，斜率为 2 2 （O 为原点），求椭圆的方程 课后综合训练课后综合训练 1. 如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线 1 AB与BF交于D,且 1 BDB,则椭圆的离心率为 2. 设 12 ,F F为椭圆 2 2 1 4 x y的两焦点， P 在椭圆上， 当 12 FPF面积为 1 时， 12 PF PF的 值为
12、3. 椭圆 22 1 369 xy 的一条弦被4,2A平分,那么这条弦所在的直线方程是 4. 在 ABC 中， 90A ， 3 tan 4 B 若以,A B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的 离心率e 5. 若 12 ,F F为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若 3:2:1: 211221 PFFFPFFPF , 则此椭圆的离心率为 6.在平面直角坐标系中，椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦距为 2，以 O 为圆心，a为半径的 圆，过点 2 (,0) a c 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= 7.已知 A、B 分别是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右两个焦点，
13、O 为坐标原点，点 P 2 1, 2 在椭圆上，线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求 sinsin sin AB C 的值。 8已知长方形 ABCD, AB=2 2,BC=1.以 AB 的中点O为原点建立如图 8 所示的平面直角 坐标系xoy. ()求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; ()过点 P(0,2)的直线l交()中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线l,使得以弦 MN 为直径的 圆恰好过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 参参 考考 答答
14、案案 知识梳理：知识梳理： 例例 1 1. .ABCABC 同号， 且同号， 且 A AB B 例例 2 2. .1,55, 例例 3 3. .(1)(1) 35 3 ； (2)(2) 2 6 , 1 3 例例 4 4. .（1 1）280 xy； （； （2 2） 2 2 ； （； （3 3） 2 13 2 13 , 1313 m 热身训练：热身训练：1 1. .22224acaca或或 2.2.0,1 3.3.（1 1）1 34 22 yx ； （2 2） 3 5 题型分类：题型分类：例例 1 1.8 .8 变式训练：变式训练：7 7 例例 2 2. .（1 1） 22 1 155 xy
15、； （2 2） 22 1 1015 xy 例例 3 3. . 31 2 变式训练：变式训练：2 1 例例 4 4. . 3 2 变式训练：变式训练：- -1 1 例例 5 5. . 7 2 2 或 变式训练：变式训练： 3 5 3 5 , 55 例例 6 6. .2 2 变式训练：变式训练：2 24 4 O A B C D 图 8 例例7 7. .5,55(, 5)(5,)mmm 相交；相切；相离 变式训练：变式训练：1,55, 例例 8 8. . 10 2 变式训练：变式训练： 4 10 9 例例 9 9. .54140 xy 变式训练：变式训练：1 1. . 22 1 7525 xy 2 2. . 22 2 1 33 xy 课后综合训练：课后综合训练：1 1. . 51 2 2.0 3.2.0 3.280 xy 4.4. 1 2 5.5.31 6 6. . 2 2 7.7. （1 1） 2 2 1 2 x y；（2 2）2 8.(1)8.(1) 22 1 42 xy ； ( (2)2)22yx
