1、 中考数学 （广东专用） 4.3 等腰三角形与直角三角形 考点一 等腰三角形 A组 20162020年广东中考题组 1.(2020深圳,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC.在AB、AC上分别截取AP,AQ,使AP=AQ,再分别以点P,Q为 圆心,以大于PQ的长为半径作弧,两弧在BAC内交于点R,作9射线AR,交BC于点D.若BC=6,则BD的长 为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 1 2 答案答案 B 由作图过程可知BAD=CAD.又因为AB=AC,所以BD=CD,所以BD=BC=6=3,故选B. 1 2 1 2 2.(2019深圳,8,3分)如图,已知AB=AC,AB=5,BC=3
2、,以A,B两点为圆心,大于AB的长为半径画圆弧,两弧相 交于点M,N,连接MN与AC相交于点D,则BDC的周长为( ) A.8 B.10 C.11 D.13 1 2 答案答案 A 由题可知,MN垂直平分AB,BD=AD,CBDC=BC+CD+DB=BC+CD+DA=BC+AC,又AC=AB =5,BC=3,CBDC=3+5=8,故选A. 思路分析思路分析 由题得MN是AB的垂直平分线,根据垂直平分线的性质得CBDC=BC+CA,即可求出BDC的 周长. 3.(2016广州,7,3分)如图,已知ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,连接 CD,则CD
3、=( ) A.3 B.4 C.4.8 D.5 答案答案 D AB=10,AC=8,BC=6, AB2=AC2+BC2,ACB=90. DE是AC的垂直平分线,AED=90,点E是AC的中点,AD=DC,又ACB=90,EDBC, ED是ABC的中位线,D为AB的中点, AD=AB=5,CD=AD=5. 1 2 4.(2020广东,20,6分)如图,在ABC中,点D,E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,ABE=ACD,BE与CD相 交于点F.求证:ABC是等腰三角形. 证明证明 BD=CE,ABE=ACD,DFB=EFC, DFBEFC.(3分) FB=FC. FBC=FCB. FBC+AB
4、E=FCB+ACD, 即ABC=ACB. ABC是等腰三角形.(6分) 解题关键解题关键 解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定. 思路分析思路分析 首先证明DFBEFC,得到FB=FC,进而证得FBC=FCB,推理得到ABC=ACB,根 据等腰三角形的判定得证. 5.(2018广东,19,6分)如图,BD是菱形ABCD的对角线,CBD=75. (1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,连接BF,求DBF的度数. 解析解析 (1)如图所示,直线EF即为所求. (2)BD是菱形ABCD的对角线,
5、 ABD=CBD=75,A=30. 由(1)知EF是线段AB的垂直平分线, FBA=A=30, DBF=DBA-FBA=75-30=45. 解后反思解后反思 本题考查了线段垂直平分线的尺规作图,菱形的性质,等腰三角形的性质及三角形内角和定 理的综合运用. 6.(2018广州,23,12分)如图,在四边形ABCD中,B=C=90,ABCD,AD=AB+CD. (1)利用尺规作ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的条件下, 证明:AEDE; 若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值. 解析解析 (1)如图所示.
6、(2)证明:如图,分别延长DE、AB相交于点F. ABC=C=90,ABC+C=180,ABCD,CDE=F.DE平分ADC,ADE=CDE, ADE=F,AD=AF=AB+BF. 又AD=AB+CD,AB+BF=AB+CD,BF=CD. 在CED和BEF中, CEDBEF,DE=EF.又AD=AF,AEDE. , , , DECFEB CDEF CDBF 可得AD=AF,DE=EF,AE平分DAB, 点N在AD上.当点B,M,N共线且BNAD时,BM+MN有最小值,即BM+MN有最小值. 在RtADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,由勾股定理可得,DH=4. DHA=BNA=
7、90,DAH=BAN, DAHBAN.=,=, BN=,BM+MN的最小值为. 22 -AD AH322 BN DH AB AD 4 2 BN4 6 8 2 3 8 2 3 如图,作DHAB于点H,作点N关于AE的对称点N,连接MN,BM,则MN=MN,BM+MN=BM+MN.由 思路分析思路分析 (1)利用基本作图“作已知角的平分线”,按照题目的作图要求作图; (2)分别延长DE、AB相交于点F,由“角平分线、平行线”可以得出“等腰三角形ADF”,再结合 “AD=AB+CD”,利用全等证得DE=EF,然后由“等腰三角形三线合一”证得AEDE;利用轴对称转 化BM+MN,再利用垂线段最短分析得
8、出BN的长即为所求,最后利用相似三角形求出BN的长. 7.(2019广州,24,14分) 如图,等边ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4.点E为边AC上一动点(不与点C重合),CDE关于DE对称的 图形为FDE. (1)当点F在AC上时,求证:DFAB; (2)设ACD的面积为S1,ABF的面积为S2,记S=S1-S2,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值;若不存 在,请说明理由; (3)当B,F,E三点共线时,求AE的长. 解析解析 (1)证明:ABC是等边三角形,A=B=C=60.由CDE关于DE对称的图形为FDE可 知DF=DC,又点F在AC上,DFC=C=60, DFC=A,
9、DFAB. (2)存在. 如图,过点D作DMAB,交AB于点M. BC=AB=6,BD=4,CD=2,DF=2, 点F在以D为圆心,DF为半径的圆上, 当点F在DM上时,S2最小. BD=4,DMAB,ABC=60,MD=2, 3 S2的最小值=6(2-2)=6-6. 又S1=23=3, S最大值=3-(6-6)=6-3. 1 2 33 1 2 33 333 EHBC,C=60,CH=,EH=EC. GBD=HBE,BGD=BHE=90, BGDBHE,=,=, EC=-1,AE=AC-EC=7-. 2 EC3 2 DG BG EH BH 3 13 3 2 6- 2 EC EC 13 13 (
10、3)如图,过点D作DGEF于点G,过点E作EHCD于点H. CDE关于DE对称的图形为FDE, DF=DC=2,EFD=C=60. 又GDEF,FG=1,DG=. BD2=BG2+DG2,16=BG2+3,BG=. 3 13 思路分析思路分析 (1)由轴对称的性质和等边三角形的性质可得DFC=A,可证DFAB. (2)过点D作DMAB,交AB于点M,由题意可得点F在以D为圆心,DF为半径的圆上,由ACD的面积S1的 值是定值,可得当点F在DM上时,SABF最小,S最大. (3)过点D作DGEF于点G,过点E作EHCD于点H,由勾股定理可求BG的长,通过证明BGDBHE, 可求EC的长,即可求A
11、E的长. 考点二 直角三角形 1.(2020广东,17,4分)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠, 等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,ABC =90,点M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分 别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 . 答案答案 2-2 5 解析解析 连接BE,在此滑动过程中,MN的长度始终保持不变,ABC=90,BE=MN,长度也始终保持不 变.显然点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上.如图,当B
12、、D、E三点共线时,DE有最小值. ABC=90,MN=4,E为MN的中点,BE=2. 点D到BA,BC的距离分别为4和2, BD=2, DE最小值=BD-BE=2-2. 1 2 1 2 22 425 5 解题关键解题关键 确定猫与老鼠的距离DE的最小值需判断点E的运动轨迹,利用直角三角形斜边的中线等于 斜边的一半确定点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上是解题的关键. 1 2 2.(2017广州,20,10分) 如图,在RtABC中,B=90,A=30,AC=2. (1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE,垂足为E,交AB于点D;(保留作图痕迹,不写作法) (2)若ADE的周长为a,先化
13、简T=(a+1)2-a(a-1),再求T的值. 3 解析解析 (1)如图. (2)T=(a+1)2-a(a-1)=a2+2a+1-a2+a=3a+1. AE=AC=2=,AD=2, DE=ADsin A=2=1,a=+1+2=3+, T=3(3+)+1=3+10. 1 2 1 2 33 cos AE A 3 3 2 1 2 33 3 3 3.(2016广东,21,7分)如图,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB交AB于D.以CD为较短的直角边向 CDB的同侧作RtDEC,满足E=30,DCE=90,再用同样的方法作RtFGC,FCG=90,继续用同样 的方法作RtHIC,HCI=90
14、.若AC=a,求CI的长. 解析解析 RtABC中,B=30,ACB=90, A=60. 又CDAB,ADC=90,ACD=30. AC=a, 在RtADC中,AD=AC=, CD=AD=a. 同理可得,RtDFC中,DF=CD=a, CF=DF=a. 在RtFHC中,FH=CF=a, CH=FH=a. 1 22 a 3 3 2 1 2 3 4 3 3 4 1 2 3 8 3 3 3 8 在RtCHI中,CI=CH=a. 3 9 8 B组 20162020年全国中考题组 考点一 等腰三角形 1.(2020海南,7,3分)如图,在RtABC中,C=90,ABC=30,AC=1 cm,将RtABC
15、绕点A逆时针旋转得到 RtABC,使点C落在AB边上,连接BB,则BB的长度是( ) A.1 cm B.2 cm C. cm D.2 cm 33 答案答案 B C=90,ABC=30,AC=1 cm,BAC=60,AB=2 cm.由旋转的性质可得BAC=BAB=60 ,AB=AB.所以ABB是等边三角形.BB=AB=2 cm.故选B. 解题关键解题关键 解决本题的关键在于根据旋转的性质得出ABB是等边三角形. 2.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该 结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是( ) A.作APB的平分线
16、PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C 答案答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C, 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B. 3.(2017天津,11,3分)如图,在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列 线段的长等于BP+EP最小值的是 ( ) A.BC B.CE C.AD D.AC 答案答案 B 如图,连接PC,AB=AC,BD=CD,ADBC, PB=PC,PB+PE=PC
17、+PE. 又PE+PCCE, 当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE的长,故选B. 思路分析思路分析 先证PB=PC,从而可得当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE的长. 4.(2020江苏南京,15,2分)如图,线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O.若1=39,则AOC= . 答案答案 78 解析解析 如图,连接BO并延长,设l1交AB于点D,l2交BC于点E. 线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O, OA=OB=OC,A=OBA,C=OBC, AOP=2ABO,COP=2CBO, AOC=AOP+COP=2(ABO+CBO)=2ABC
18、. BDO=BEO=90, DOE+ABC=360-BDO-BEO=180, DOE+1=180,ABC=1=39, AOC=2ABC=78. 解题关键解题关键 本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、同角的补角相等等性质,掌握线段 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解决本题的关键. 5.(2019辽宁大连,13,3分)如图,ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,AB=2,则AD的长 为 . 答案答案 2 3 解析解析 ABC是等边三角形,AB=2, BC=CA=AB=2,ABC=BCA=BAC=60. CA=CD=2,CAD=D,BD=CB+CD=4. A
19、CB=CAD+D,2D=ACB=60, D=60=30, BAD=180-B-D=180-60-30=90. 在RtABD中, AD=2, 故答案为2. 1 2 22 -BD AB 22 4 -23 3 6.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD=AC,则等腰ABC底角的度 数为 . 1 2 答案答案 15或45或75 解析解析 如图,当BA=BC时, BDAC,AD=CD=AC, 又BD=AC,AD=BD=CD, A=C=(180-90)=45. 如图,当AB=AC且A为锐角时, 1 2 1 2 1 2 BD=AC=AB,A=30, ABC=ACB=
20、75. 如图,当AB=AC且BAC为钝角时, 1 2 1 2 BD=AC=AB, BAD=30, ABC=ACB=30=15. 同理,当BC=AC时,可求得CBA=CAB=75或15. 故答案为15或45或75. 1 2 1 2 1 2 方法点拨方法点拨 等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论. 7.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D. 求证:AD=BC. 证明证明 AB=AC,A=36,ABC=C=72. BD平分ABC,ABD=36,ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72,BDC=C, B
21、D=BC,AD=BC. 考点二 直角三角形 1.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD =AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为( ) A.17.5 B.12.5 C.12 D.10 答案答案 D AB=AC,B=C,又B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE, AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D. 2.(2017陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合, 点C落在边AB上,连接BC.若ACB=AC
22、B=90,AC=BC=3,则BC的长为( ) A.3 B.6 C.3 D. 3 221 答案答案 A 由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3,AB=3. 在ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC=3. 22 22 3(3 2) 3 3.(2019湖北黄冈,7,3分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m, 点C是的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m,则这段弯路所在圆的半径为( ) A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m AB AB 答案答案 A 连接OD,因为点C、D分别是圆弧AB和线
23、段AB的中点,所以O、D、C三点共线.BD=AB=20 m,设OB=x m,则OD=(x-10)m,在RtOBD中,OD2+BD2=OB2,即(x-10)2+202=x2,解得x=25,故选A. 1 2 思路分析思路分析 连接OD,利用点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点及弦心距的性质将问题转化到直角三 角形中,然后由勾股定理求出. 4.(2020新疆,9,5分)如图,在ABC中,A=90,D是AB的中点,过点D作BC的平行线交AC于点E,作BC的垂 线交BC于点F,若AB=CE,且DFE的面积为1,则BC的长为( ) A.2 B.5 C.4 D.10 5 5 答案答案 A 由DEBC可得A
24、DEABC,又D为AB的中点,故=,E为AC的中点. 过A作AHBC于H,交DE于G, 则AHDE,由相似三角形的性质可知=, 故AG=GH=DF,SADE=SDEF=1, 从而SABC=4SADE=4. 设AB=x,则AC=2x,而BAC=90, AE AC AD AB 1 2 AG AH AD AB 1 2 x 2x=4,x=2(负值舍去), 故由勾股定理得BC=2.故选A. 1 2 22 ABAC 22 245 5.(2019北京,12,2分)如图所示的网格是正方形网格,则PAB+PBA= (点A,B,P是网格线交 点). 答案答案 45 解析解析 如图,延长AP到C,使PC=PA,连接
25、BC.易证PBC是等腰直角三角形,CPB=45.PAB+ PBA=45. 6.(2020新疆,15,5分)如图,在ABC中,A=90,B=60,AB=2,若D是BC边上的动点,则2AD+DC的最小 值为 . 答案答案 6 解析解析 作ABC关于BC对称的EBC,则ACB=ECB=30,过A作AFCE于F,交BC于D,则DC=DF. 此时AD+DC最小,即为AF的长度. 易求得AC=2,因此AF=3, 2AD+DC的最小值为23=6. 1 2 1 2 3 解后反思解后反思 此题主要考查了利用特殊角的三角函数求线段长以及线段和的最值问题,难度较大.如何将 DC转化为DF的长是难点,充分利用含30角
26、的直角三角形的性质,将AD+DC转化为AD+DF,然后利 用“垂线段最短”的性质巧妙解决. 1 2 1 2 一题多解一题多解 如图所示,作点A关于BC的对称点A,连接AA交BC于点H,连接AD,过D作DEAC于E. 在RtABH中,B=60,AB=2, AH=,AA=2, 在RtCDE中,DE=CD,即2DE=DC, 2AD+DC=2(AD+DE). A与A关于BC对称, AD=AD,AD+DE=AD+DE, 当A,D,E在同一直线上时,AD+DE的最小值等于AE的长, 在RtAAE中,AE=sin 60 AA=2=3, AD+DE的最小值为3,即2AD+DC的最小值为6, 故答案为6. 33
27、 1 2 3 2 3 7.(2020贵州贵阳,16,8分)如图,在44的正方形网格中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下 列要求画三角形. (1)在图中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数; (2)在图中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数; (3)在图中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数. 解析解析 (答案不唯一) (1)如图. (2)如图. (3)如图. 8.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN, BN. (1)求证:BM=MN; (2)若BAD=60,A
28、C平分BAD,AC=2,求BN的长. 解析解析 (1)证明:在ABC中,ABC=90,M为AC的中点, BM=AC. M,N分别为AC,CD的中点, MN=AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由题意得MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90. AD=AC=2, BM=AC=1,MN=AD=1, 1 2 1 2 1 2 1 2 在RtBMN中,BN=. 22 BMMN 2 C组 教师专用题组 考点一 等腰三角形 1.(2019吉林长春,7,3分)如图,在ABC中,AC
29、B为钝角,用直尺和圆规在边AB上确定一点D,使ADC=2 B,则符合要求的作图痕迹是( ) 答案答案 B 选项B中作的是线段BC的垂直平分线,则DB=DC,B=DCB,ADC=B+DCB=2B. 思路分析思路分析 利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,找出与B相等的角,进而借助三 角形外角与内角的关系分析. 2.(2020黑龙江齐齐哈尔,15,3分)等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是 . 答案答案 10或11 解析解析 等腰三角形的两条边长分别为3和4,计算周长分两种情况讨论: 若3为腰长,则4为底边长,此时周长为3+3+4=10; 若4为腰长,则3为底边长
30、,此时周长为4+4+3=11. 故其周长为10或11. 3.(2020辽宁营口,17,3分)如图,ABC为等边三角形,边长为6,ADBC,垂足为点D,点E和点F分别是线段 AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 . 答案答案 3 3 解析解析 过C作CFAB于点F,交AD于E,此时CE+EF的值最小,且CE+EF的最小值为CF的长. ABC为等边三角形,边长为6, BF=AB=6=3, CF=3,CE+EF的最小值为3. 1 2 1 2 22 -BC BF 22 6 -333 解题关键解题关键 解决本题的关键是将CE+EF的最小值转化为点C到直线AB的距离,进而借助勾股
31、定理求出 线段CF的长. 4.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的 中点,连接DG,则DG的长为 . 答案答案 19 2 解析解析 如图,连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC=AC=2. EFAC,EFC=90,DEG=90. FEC=30,EF=, 又G是EF的中点,EG=. 在RtDEG中,DG=. 1 2 3 3 2 22 DEEG 2 2 3 2 2 19 2 思路分析思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,判断出DEG是直角三角形,且得到EF的长,
32、再 根据勾股定理即可求解DG的长. 疑难突破疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线定理求线段DG的长,DG与图 中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长. 5.(2017湖北武汉,15,3分)如图,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,点D,E都在边BC上,DAE=60.若 BD=2CE,则DE的长为 . 3 答案答案 3-3 3 解析解析 如图,将ABD沿AD翻折得AFD,连接EF, AB=AF=AC,BD=DF,AFD=B=30. BAC=120,DAE=60,BAD+CAE=60, 又BAD=FAD,FAD+C
33、AE=60, CAE=FAE, ACEAFE(SAS),CE=EF,AFE=C=30, DFE=60. 过点E作EHDF,交DF于点H,过点A作AMBC,交BC于点M. 设CE=2x(x0), 则BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=x,DH=3x, 又BC=2BM=2AB cos 30=6,DE=6-6x. 在RtDEH中,DE2=DH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2, 解得x1=,x2=(舍去),DE=6-6x=3-3. 3 3 3- 3 2 33 2 3 一题多解一题多解 如图,将ABD绕点A逆时针旋转120得ACF,连接EF,则AD=AF,CF=
34、BD.可证ADE AFE,DE=EF. ACD=B=30,FCE=60. 过点E作EHCF,交CF于点H,设CE=2x, 则BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH=x. 过点A作AMBC,交BC于点M, 则BC=2CM=2AC cos 30=22=6, FE=DE=6-6x, 在RtEFH中,FE2=FH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2, 解得x1=,x2=(舍去),DE=6-6x=3-3. 3 3 3 2 3 3- 3 2 33 2 3 6.(2019重庆A卷,20,10分)如图,在ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD.BE平分ABC交AC于点 E
35、,过点E作EFBC交AB于点F. (1)若C=36,求BAD的度数; (2)求证:FB=FE. 解析解析 (1)AB=AC,ABC=C. 又D是BC的中点, AD平分BAC,即BAD=BAC. C=36,BAC=180-2C=180-236=108. BAD=54. (2)证明:BE平分ABC,FBE=EBD. EFBC,FEB=EBD, FBE=FEB,FB=FE. 1 2 7.(2019河南,22,10分)在ABC中,CA=CB,ACB=.点P是平面内不与点A、C重合的任意一点,连接AP, 将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP. (1)观察猜想 如图1,当=60时,
36、的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 . (2)类比探究 如图2,当=90时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由. (3)解决问题 当=90时,若点E、F分别是CA、CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时 的值. BD CP BD CP AD CP 解析解析 (1)1;60.(注:若填为60,不扣分) 如图,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O. 由题意得PAD=CAB=60,CAP=BAD, 又CA=BA,PA=DA,APCADB(SAS), CP=BD,ACP=ABD, 又AOC=BOE,BEO
37、=CAO=60. =1,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60. (2),直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45. BD CP 2 (注:若没写出,但后续证明正确,不扣分) 理由如下: ACB=90,CA=CB,CAB=45,=. 同理可得PAD=45,=. =,CAB=PAD, CAB+DAC=PAD+DAC,即DAB=PAC. DABPAC, =,DBA=PCA. 设BD交CP于点G,交CA于点H. BHA=CHG,CGH=BAH=45. (3)的值为2+或2-.注:若把2-写为,不扣分 AB AC 2 AD AP 2 AB AC AD AP BD CP AB AC 2 A
38、D CP 222 2 21 提示:分两种情况.如图,可设CP=a,则BD=a.设CD与AB交于点Q,则PQ=CP=a,进而可证DQB= DBQ=67.5,则DQ=BD=a.易得AD=PD=2a+a,所以=2+. 如图,可设AP=DP=b,则AD=b.由EFAB,得PEA=CAB=45,可证ECD=EAD=22.5,CD= AD=b,CP=b+b,所以=2-. 图 2 222 AD CP 2 2 22 AD CP 2 图 思路分析思路分析 (1)当=60时,可得ABC、APD均为等边三角形,进一步证得APCADB,可得结论; (2)当=90时,在RtPAD,RtCAB中,=,DAB=PAC,可证
39、DABPAC,可得结论;(3) 以AC为直径作圆交直线EF于点P,则点P即为所求作的点,分情况画出图形,可求出答案. AD AP AB AC 2 8.(2019吉林,24,8分)性质探究 如图,在等腰三角形ABC中,ACB=120,则底边AB与腰AC的长度之比为 . 理解运用 (1)若顶角为120的等腰三角形的周长为8+4,则它的面积为 ; (2)如图,在四边形EFGH中,EF=EG=EH. 求证:EFG+EHG=FGH; 在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若FGH=120,EF=10,直接写出线段MN的长. 3 类比拓展 顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 (用含的式子表
40、示). 解析解析 性质探究 . 理解运用 (1)4. (2)证明:EF=EG=EH, EFG=EGF,EGH=EHG, EFG+EHG=EGF+EGH=FGH. 5. 提示:由可知EFG+EHG=FGH. FGH=120,EFG+EHG=120. FEH+EFG+EHG+FGH=360, FEH=120. 如图,连接FH. 3 3 3 EF=EH, EFH是顶角为120的等腰三角形,由性质探究可知FH=EF. 又EF=10,FH=10. M,N分别为FG和GH的中点, MN为FHG的中位线, MN=FH=5. 类比拓展 2sin . 3 3 1 2 3 提示:如图,作ADBC于点D,BAD=,
41、BD=ABsin ,BC=2ABsin ,底边BC与腰AB的长度之比为 2sin . 评分说明:结果写成1,2sin 1不扣分. 3 9.(2017北京,28,7分)在等腰直角ABC中,ACB=90,P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),连接AP,延 长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QHAP于点H,延长交AB于点M. (1)若PAC=,求AMQ的大小(用含的式子表示); (2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)ACB是等腰直角三角形, CAB=45,PAB=45-. QHAP,AMQ=90-PAB=45+. (2)线段MB与PQ之间的数量关系为PQ=M
42、B. 证明:如图,连接AQ,过点M作MNBQ于点N, 则MNB为等腰直角三角形,MB=MN. MQN+APQ=PAC+APQ=90, MQN=PAC. ACPQ,CP=CQ, 2 2 AP=AQ,PAC=QAC,MQN=QAC. QAM=BAC+QAC=B+MQN=AMQ, QA=QM. RtQACRtMQN,QC=MN, PQ=2QC=2MN=MB. 2 解题关键解题关键 解决本题第(2)问的关键是要通过添加辅助线构造全等三角形,从而找出边与边之间的数量 关系. 考点二 直角三角形 1.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和
43、点D,再分 别以点B,D为圆心,大于BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC 的长度是( ) A.2 B.3 C. D. 1 2 35 答案答案 D 由作图叙述可知CEAB,AE=2,BE=1,AB=AC=3,在RtACE中,CE=,故选D. 22 3 -2 5 2.(2020河北,16,2分)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种 正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图中的方式组成图案,使所围成的三角形 是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( ) A.1,4,5
44、B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,4 答案答案 B 围成的三角形的三边长就是正方形纸片的边长,根据勾股定理可知选取的三块纸片的面积的 关系为两个面积较小的正方形纸片的面积和等于最大的正方形纸片的面积,所以选项C不符合题意.其 他三个选项,A选项中,直角三角形的面积为1;B选项中,直角三角形的面积为;D选项中,直角三角形的 面积为1,所以选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,所围成的三角形面积最大,故选B. 6 2 解题关键解题关键 熟练掌握勾股定理在直角三角形中的应用,以及直角三角形面积的计算是解本题的关键. 3.(2020广西北部湾经济区,11,3分)九章算术是古代东方数学代表作
45、,书中记载:今有开门去阃(读k n,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双 门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是( ) 图1 图2 A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 答案答案 C 如图,过O作OECD于E,易知四边形EDFO为矩形,O为AB的中点,E为DC的中点,故FO=DE= DC=1寸. 设AO=AD=BC=OB=x寸, 则AF=(x-1)寸, 在RtADF中,AD2=AF2+DF2,即x2=(x-1)2+102, 解得x=, 故AB=2x=101寸,故选C
46、. 1 2 101 2 4.(2020湖南常德,15,3分)如图1,已知四边形ABCD是正方形,将DAE,DCF分别沿DE,DF向内折叠得 到图2,此时DA与DC重合(A,C都落在G点),若GF=4,EG=6,则DG的长为 . 答案答案 12 解析解析 设正方形ABCD的边长为x(x0),由翻折可得DG=DA=DC=x, GF=4,EG=6, AE=EG=6,CF=GF=4, BE=x-6,BF=x-4,EF=6+4=10,如图所示: 在RtBEF中,由勾股定理得BE2+BF2=EF2, (x-6)2+(x-4)2=102, x2-12x+36+x2-8x+16=100, x2-10 x-24
47、=0,(x+2)(x-12)=0,x1=-2(舍),x2=12. DG=12. 思路分析思路分析 设正方形ABCD的边长为x,由翻折及已知线段的长,可分别表示出BE、BF及EF的长.在Rt BEF中,由勾股定理得到关于x的方程,解得x的值,即为DG的长. 5.(2019山西,15,3分)如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=10 cm,点D为ABC内一点,BAD=15,AD=6 cm,连接BD,将ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于 点F,则CF的长为 cm. 答案答案 (10-2) 6 6CF=AC-AF=(10-2)cm.故CF的长为(10-2)cm. 解析解析 如图,过点A作AGDE于点G, 由旋转的性质知AD=AE,DAE=90,CAE=BAD=15, AED=45,AFD=AED+CAE=60. 在RtADG中,AG=DG=3cm, 在RtAFG中,GF=cm,AF=2FG=2cm, 2 AD 2 3 AG 6 6 6 方法指导方法指导 我们经常通过观察图形将所求的角或者线段转化到直角三角形中(没有直角三角形时,设法 构造直角三角形),再利用锐角三角函数得到所求结果. 6.(2017湖南常德,14,3分)如图,已知RtABE中,A=90,B=60,BE=10,D是线段AE上一动点,
