1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 3.13.1 椭圆椭圆 3.1.23.1.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 第第2 2课时课时 椭圆的标准方程及性质的应用椭圆的标准方程及性质的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.进一步掌握椭圆的方程及其 性质的应用， 会判断直线与椭圆 的位置关系(重点) 2能运用直线与椭圆的位置关 系解决相关的弦长、中点弦问 题(难点) 1.通过直线与椭圆位置关系的判 断，培养学生的逻辑推理核心素 养 2通过弦长、中点弦问题及椭圆 综合问题的学习， 提升学生的逻辑 推理、 直观想象及数学运算的核心 素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 大
2、家知道， 直线与圆有三种位置关系， 设圆心到直线的距离为 d， 圆的半径为 R，则 dR 时直线与圆相离； dR 时直线与圆相切； dR 时直线与圆相交 那么直线与椭圆有几种位置关系呢？又如何来判定呢？ 1点与椭圆的位置关系 点 P(x0，y0)与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的位置关系： 点 P 在椭圆上_； 点 P 在椭圆内部_； 点 P 在椭圆外部_. x2 0 a2 y2 0 b21 x2 0 a2 y2 0 b21 2直线与椭圆的位置关系 直线 ykxm 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的位置关系： 联立 ykxm， x2 a2 y2 b21， 消去 y 得一个关
3、于 x 的一元二次方程 位置关系 解的个数 的取值 相交 _解 _0 位置关系 解的个数 的取值 相切 _解 _0 相离 _解 _0 两 一 无 0直线与椭圆相交； 0直线与椭圆相切； b0)， 由 c 3，a2b2c2，代入方程 x2 b23 y2 b21， 又椭圆过点 1， 3 2 ， 得 1 b23 3 4 b21，解得 b 21，a24. 椭圆的方程为x 2 4 y21. (2)设直线 MN 的方程为 xky6 5， 联立直线 MN 和椭圆的方程可得 xky6 5， x2 4 y21， 得(k24)y212 5 ky64 250， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2,0)，
4、 y1y2 64 25k24，y1y2 12k 5k24， 则AM AN (x12，y1) (x22，y2) (k21)y1y24 5k(y1y2) 16 250， 即可得MAN 2. MAN 的大小是定值 2. 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1 解决直线与椭圆的位置关系问题， 经常利用设而不求的方法， 解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为 x1x2，x1 x2或 y1y2，y1 y2，进而求 解
5、2求定值问题常见的方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得 到定值 3解决椭圆的中点弦问题的三种方法 (1)方程组法 通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组， 利用一元二次方程根 与系数的关系及中点坐标公式求解 (2)点差法 设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 AB 的中点 (x0，y0)和斜率 kAB有关的式子，可以大大减少运算量我们称这种代 点作差的方法为“点差法”，事实上就是椭圆的垂径定理 利用 kABy 1y2 x1x2
6、 b2 a2 x1x2 y1y2 b2 a2 x0 y0，转化为中点(x0，y0)与直 线 AB 的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法 (3)中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标， 再借助中点得出弦的另一个端点的 坐标，分别代入椭圆方程作差可得 1 若点 P(a,1)在椭圆x 2 2 y 2 3 1 的外部， 则 a 的取值范围为( ) A 2 3 3 ，2 3 3 B 2 3 3 ， ，2 3 3 C 4 3， D ，4 3 B 由题意知a 2 2 1 31，即 a 24 3，解得 a 2 3 3 或 a2 3 3 . 2已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的左、
7、右顶点分别为 A1，A2， 且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切， 则 C 的离心 率为( ) A 6 3 B 3 3 C 2 3 D1 3 A 由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a. 又直线 bxay2ab0 与圆相切， 圆心到直线的距离 d 2ab a2b2a，解得 a 3b， b a 1 3， ec a a2b2 a 1 b a 2 1 1 3 2 6 3 . 故选 A. 3设椭圆x 2 4 y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过焦点 F1的 直线交椭圆于 M， N 两点， 若MNF2的内切圆的面积为 ， 则 SMNF2 _. 4
8、 如图，已知椭圆 x2 4 y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，a 2，过焦点 F1的直线交椭圆于 M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，MNF2 的内切圆的面积为 ， MNF2的内切圆半径 r1. MNF2的面积 S1 21(|MN|MF2|NF2|)2a4. 4椭圆 x24y216 被直线 y1 2x1 截得的弦长为_ 35 由 x24y216， y1 2x1， 消去 y 并化简得 x22x60. 设直线与椭圆的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x22，x1x26. 弦长|MN| 1k2|x1x2| 5 4x1x2 24x 1x2 5 4424 35. 5
9、设椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)过点(0,4)，离心率为 3 5. (1)求椭圆 C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4 5的直线被 C 所截线段的中点的坐标 解 (1)将(0,4)代入 C 的方程，得16 b2 1，b4. 由 ec a 3 5，得 a2b2 a2 9 25，即 1 16 a2 9 25，a5， 椭圆 C 的方程为 x2 25 y2 161. (2)过点(3,0)且斜率为4 5的直线方程为 y 4 5(x3) 设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线 AB 的方程 y4 5(x3)代入 C 的方程，得 x2 25 x32 25 1， 即 x23x80， 则 x1x23，x 1x2 2 3 2， y1y2 2 2 5(x1x26) 6 5， 即中点的坐标为 3 2， 6 5 . 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
