1、二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解 一、本节知识点一、本节知识点 （1 1）一元二次不等式的概念）一元二次不等式的概念. . （2 2）三个二次的关系）三个二次的关系. . （3 3）一元二次不等式的解法）一元二次不等式的解法. . 知识点拓展知识点拓展: : （4 4）分式不等式的解法）分式不等式的解法. . （5 5）高次不等式的解法）高次不等式的解法. . 二、本节题型二、本节题型 （1 1）解不含参数的一元二次不等式）解不含参数的一元二次不等式. . （2 2）解含参数的一元二次不等式）解含参数的一元二次不等式. . （
2、3 3）三个二次之间的关系）三个二次之间的关系. . （4 4）简单高次不等式、分式不等式的解法）简单高次不等式、分式不等式的解法. . （5 5）不等式恒成立问题）不等式恒成立问题. . （6 6）一元二次不等式的应用）一元二次不等式的应用. . 三、知识点讲解三、知识点讲解. . 知识点知识点 一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念 我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次 不等式.即形如0 2 cbxax（0）或0 2 cbxax（0） （其中0a）的 不等式叫做一元二次不等式. 元二次不等式的解与解集元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x的值,
3、叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合, 叫做这个一元二次不等式的解集. 注意注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. . 知识点知识点 三个二次的关系三个二次的关系 一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧 密的联系. 一元二次方程00 2 acbxax与二次函数00 2 acbxaxy的关 系是: （1）当acb4 2 0 时,一元二次方程00 2 acbxax有实数根,二次函 数00 2 acbxaxy的图象与x轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交 点的横坐标亦是方程的解; 当0时,一元二次方程00 2 ac
4、bxax有两个不相等的实数根,二次函 数00 2 acbxaxy的图象与x轴有两个不同的交点; 当0时,一元二次方程00 2 acbxax有两个相等的实数根,二次函数 00 2 acbxaxy的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）. （2） 当04 2 acb时,一元二次方程00 2 acbxax无实数根,二次函数 00 2 acbxaxy的图象与x轴没有交点. 具体关系见下页表（1）所示. 一元二次不等式与二次函数00 2 acbxaxy的关系是: （ 1 ） 一 元 二 次 不 等 式0 2 cbxax（ 0 ） 的 解 集 就 是 二 次 函 数 00 2 acbxaxy的图象位于x
5、轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变 量的取值范围; （ 2 ） 一 元 二 次 不 等 式0 2 cbxax（ 0 ） 的 解 集 就 是 二 次 函 数 00 2 acbxaxy的图象位于x轴下方（包括x轴）的部分所对应的自变 量的取值范围. 由表可知由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. . 知识点知识点 一一元二次不等式的解法元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是: （1 1）利用不等式的性质）利用不等式的性质, ,将二次项系数化为正数将二次项系数化为正数; ; （2 2）计算）计算acb4 2
6、 的值的值, ,并判断并判断的符号的符号; ; （3 3）当）当0 0 时时, ,求出相应的一元二次方程的根求出相应的一元二次方程的根; ; （4 4）画出对应的二次函数的简图）画出对应的二次函数的简图; ; （5 5）根据一元二次不等式的形式）根据一元二次不等式的形式, ,结合简图结合简图, ,写出其解集写出其解集. . 注意注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系. . 其中,当0时,一元二次不等式00 2 acbxax的解集在“两根之外”,即 “大于大根或小于小根”;一元二次不等式00 2 acbxax的解集在
7、“两根之 内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于 0 取两边,小于 0 取中间”; 当0时,一元二次不等式00 2 acbxax的解集为 a b xx 2 ;一元 二次不等式00 2 acbxax的解集为; 当0时,一元二次不等式00 2 acbxax的解集为 R;一元二次不等式 00 2 acbxax的解集为. 表（表（1 1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系: : 判别式判别式acb4 2 0 0 0 二次函数二次函数 00 2 acbxaxy 的图象的图象（0a） x y x1 = x2O x y O 图象说明图象说明
8、图象与x轴有两个不同的 交点 图象与x轴只有一个交点 （顶点在x轴上） 图象与x轴没有交点 一元二次方程一元二次方程 00 2 acbxax的解的解 有两个不相等的实数根 21 xx 有两个相等的实数根 a b xx 2 21 没有实数根 00 2 acbxax的解集的解集 21 xxxxx或 a b xx 2 R 00 2 acbxax的解集的解集 21 xxxx 一元二次不等式在一元二次不等式在 R 上恒成立的问题上恒成立的问题 （1）0 2 cbxax在 R 上恒成立,则有: 04 0 2 acb a 或 0 0 c ba ; （2）0 2 cbxax在 R 上恒成立,则有: 04 0
9、2 acb a 或 0 0 c ba ; （3）一元二次不等式cbxax 2 0 在 R 上恒成立,则有: 04 0 2 acb a ; （4）一元二次不等式cbxax 2 0 在 R 上恒成立,则有: 04 0 2 acb a . 补充概念补充概念 二次函数的零点二次函数的零点 我们把使一元二次方程0 2 cbxax的实数x叫做二次函数cbxaxy 2 的零点零点. 对零点的理解 （1）二次函数的零点即相应一元二次方程0 2 cbxax的实数根; （2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x轴的交点的横坐标, 且交点的个数等于零点的个数; （3）并非所有的二次函数都有零点.当ac
10、b4 2 0 时,一元二次方程有实数 根,相应二次函数存在零点. 知识点知识点 分式不等式的解法分式不等式的解法 分式不等式的概念分式不等式的概念 分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式. 利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: 0 )( )( xg xf ; )( )( xg xf 0; 0 )( )( xg xf ; )( )( xg xf 0. 分式不等式的解法分式不等式的解法 解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解. 解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0 )( )( xg xf 与不等式组 0)( 0)( xg
11、xf 或 0)( 0)( xg xf 同解,与不等式0)()(xgxf同 解; （2） )( )( xg xf 0 与不等式组 0)( 0)()( xg xgxf 同解; （3）0 )( )( xg xf 与不等式组 0)( 0)( xg xf 或 0)( 0)( xg xf 同解,与不等式0)()(xgxf同 解; （4） )( )( xg xf 0 与不等式组 0)( 0)()( xg xgxf . 由以上解法可以看出由以上解法可以看出: :将分式不等式转化为标准形式后将分式不等式转化为标准形式后, ,再将其转化为不等式组或同解再将其转化为不等式组或同解整式整式 不等式进行求解不等式进行求
12、解. . 知识点知识点 高次不等式的解法高次不等式的解法 解高次不等式,一般用“数轴标根法数轴标根法”,也叫“穿根引线法穿根引线法”,其步骤如下: （1） 把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是 0 的形式,注意每个因式最 高次项的系数必须为正; （2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出; （4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上 去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过奇过偶不过; （5）写出解集: 若不等号为“ ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为 “ ”,则取数
13、轴下方穿根线以内的范围. 四、例题讲解四、例题讲解 例例 1. . 解不等式045 2 xx. 分析分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写 成区间或集合的形式. 解解: : 原不等式可化为:045 2 xx. 对于方程045 2 xx,094145 2 该方程有两个不相等的实数根,解之得:4, 1 21 xx. 不等式045 2 xx的解集为41 xx. 点评点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二 次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）. 例例 2. . 已知关于x的不等式02 2 cxax的解集为 2 1 3 1 x
14、x,求不等式 02 2 axcx的解集. 分析分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的 关系定理,求出ca,的值. 注意注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. . 解解: : 由题意可知:0a. 关于x的不等式02 2 cxax的解集为 2 1 3 1 xx 2 1 , 3 1 21 xx是方程02 2 cxax的两个实数根 由根与系数的关系定理可得: 2 1 3 1 2 1 3 12 a c a ,解之得: 2 12 c a . 02 2 axcx即01222 2 xx 06 2 xx,解之得
15、:32x. 不等式02 2 axcx的解集为32xx. 例例 3. . 一元二次不等式052xx的解集为 【 】 （A）52xxx或 （B）25xxx或 （C）52xx （D）25xx 分析分析 本题可用数轴标根法数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项 的系数化为正数. 解解: : 原不等式可化为:052xx. 方程052xx的根为5, 2 21 xx. 不等式052xx的解集为52xx,即原不等式的解集. 选择答案【 C 】. 例例4. . 已知不等式04 2 axx的解集为空集,则实数a的取值范围是 【 】 （A）44aa （B）44aa （C）44aaa或 （D）44
16、aaa或 分析分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以 转化为一元二次不等式恒成立的问题. 不等式04 2 axx的解集为空集,即相应的二次函数4 2 axxy的图象 位于x轴上及其上方,或者不等式4 2 axx0 在 R 上恒成立. 解解: : 不等式04 2 axx的解集为空集 16 2 a0,解之得:4a4. 实数a的取值范围是44aa. 选择答案【 A 】. 例例5. . 若关于x的不等式021xmx的解集为 2 1 x m x,则实数m的取 值范围是 【 】 （A）0mm （B）20 mm （C） 2 1 mm （D）0mm 分析分析 本题由题意可知:0
17、m. 解解: : 021xmx 0212 2 xmmx. 其解集为 2 1 x m x 0m. 实数m的取值范围是0mm. 选择答案【 D 】. 例例 6. . 已知函数18 2 bxaxy的定义域为6 , 3,则实数a的值为_, 实数b的值为_. 解解: : 函数18 2 bxaxy的定义域为6 , 3 一元二次不等式18 2 bxax0 的解集为6 , 3. 由根与系数的关系定理可得: 63 18 63 a a b ,解之得: 3 1 b a . 实数a的值为1,实数b的值为 3. 例例 7. . 已知函数mxxy 2 . （1）当2m时,求不等式0y的解集; （2）若0, 0ym的解集为
18、bxax,求 ba 41 的最小值. 解解: :（1）2m时,2 2 xxy. 0y,0212 2 xxxx 解之得:1x或2x. 不等式0y的解集为21xxx或; （2）0 2 mxxy的解集为21xxx或 mabba, 1,且041m,解之得: 4 1 m. 0m,0, 0ba, 4 1 0 m. a b b a ba ba ba 4 5 4141 9 4 25 a b b a . 当且仅当 a b b a 4 ,即 3 2 , 3 1 ba时,等号成立.此时 4 1 9 2 3 2 3 1 m,符合题意. ba 41 的最小值为 9. 例例 8. . 解关于x的不等式0 2 xax（0a
19、）. 分析分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时, 要对二次项系数的正负进行讨论 （一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符 号有关）. 解解: : 0 2 xax,01 axx 0 1 a xax. 0a,分为两种情况: 当0a时,原不等式的解集为 0 1 x a xx或; 当0a时,原不等式的解集为 0 1 x a x. 综上所述,当当0a时,原不等式的解集为 0 1 x a xx或,当0a时,原不等式 的解集为 0 1 x a x. 另解另解: : 解方程0 2 xax（0a）得: a xx 1 , 1 21 . 分为两种情况: 当0a时,原不等式的解集为
20、0 1 x a xx或; 当0a时,原不等式的解集为 0 1 x a x. 综上所述,当当0a时,原不等式的解集为 0 1 x a xx或,当0a时,原不等式 的解集为 0 1 x a x. 点评点评 不等式0 2 xax（0a）可化为0 1 a xax.当0a时,根据不等式的 性质可知,原不等式同解于不等式0 1 a xx;当0a时,原不等式同解于不等 式0 1 a xx. 例例 9. . 若对于0 x, 13 2 xx x a恒成立,则实数a的取值范围是 【 】 （A） 3 1 aa （B） 3 1 aa （C） 5 1 aa （D） 5 1 aa. 解解: : 13 2 xx x a恒成
21、立 只需a max 2 13 xx x 即可. 0 x 3 1 1 13 2 x x xx x 5 1 3 1 2 1 x x . 当且仅当 x x 1 ,即1x时,等号成立. 5 1 13 max 2 xx x . a 5 1 ,即实数a的取值范围是 5 1 aa. 选择答案【 D 】. 例例 10. .（1）若关于x的不等式023 2 xax（aR）的解集为bxxx 或1 （bR）,求ba,的值; （2）解关于x的不等式axxax523 2 （aR）. 解解: :（1）由题意可知:0a. 一元二次方程023 2 xax的根为bxx 21 , 1. 由根与系数的关系定理可得: b a b a
22、 1 2 1 3 ,解之得: 2 1 b a . a的值为 1,b的值为 2; （2）axxax523 2 （aR） 033 2 xaax. 当0a时,原不等式为523 x,解之得:1x. 原不等式的解集为1xx; 当0a时,原不等式可化为0 3 1 a xxa. 若0a,则原不等式的解集为 1 3 x a xx或; 若03a时,原不等式同解于0 3 1 a xx,且1 3 a 原不等式的解集为 1 3 x a x; 若3a,原不等式为013 2 x,其解集为; 若3a,则1 3 a ,则原不等式的解集为 a xx 3 1. 综上所述,当0a时, 原不等式的解集为1xx; 当0a时,原不等式的
23、解集为 1 3 x a xx或; 当03a时,原不等式的解集为 1 3 x a x; 当3a时,原不等式的解集为; 当3a时,原不等式的解集为 a xx 3 1. 例例 11. .已知关于x的不等式0 8 3 2 2 kxkx. （1）若不等式的解集为 1 2 3 xx,求实数k的值; （2）若不等式0 8 3 2 2 kxkx恒成立,求实数k的取值范围. 解解: :（1）由题意可知:0k. 一元二次方程0 8 3 2 2 kxkx的根是1, 2 3 21 xx. 由根与系数的关系定理: 1 2 3 2 8 3 k ,解之得: 8 1 k. 实数k的值为 8 1 ; （2）当0k时,0 8 3
24、 恒成立,符合题意; 当0k时,由题意可知: 0 8 3 24 02 2 kk k ,解之得:03k. 综上所述,实数k的取值范围为03kk. 例例 12. . 若1x4,不等式42 2 xax1a恒成立,求实数a的取值范 围. 分析分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为 相应二次函数在闭区间上的最值问题. 解解: : 42 2 xax1a 1xa52 2 xx. 1x4 当1x时,显然0a4521成立,aR; 当x14 时,01x a 1 52 2 x xx 恒成立,只需a min 2 1 52 x xx 即可. 1 4 1 1 41 1 52 2 2 x x
25、 x x x xx 4 1 4 12 x x. 当且仅当 1 4 1 x x,即3x时,等号成立.此时3x4 , 1,符合题意. a4. 综上所述,实数a的取值范围是4 ,. 例例 13. . 已知不等式01 2 mxmx. （1）当xR 时不等式恒成立,求实数m的取值范围; （2）当x31 xx时不等式恒成立,求实数m的取值范围. 解解: :（1）当0m时,01恒成立,符合题意; 当0m时,则有 04 0 2 mm m ,解之得:04m. 综上,实数m的取值范围是0 , 4; （2）当0m时,显然x31 xx时,01恒成立,符合题意; 当0m时,11 xmx. 若1x,显然10 恒成立,此时
26、mR; 若x13,则01 xx 1 1 xx m恒成立,只需 min 1 1 xx m即可. 4 1 2 1 11 1 1 22 x xxxx 6 1 4 1 2 1 3 1 2 6 1 1 1 min xx m. 综上所述,实数m的取值范围为 6 1 ,. 例例 14. . 解关于x的不等式mxmmx1 22 0. 解解: : 当0m时,x0,解之得:x0. 原不等式的解集为0 xx; 当0m时,原不等式可化为mxmx10 mx m xm 1 0. 方程mxmmx1 22 的两个实数根分别为mx m x 21 , 1 . 当0m时,原不等式的解集为 mx m xx或 1 ; 当0m时,原不等
27、式同解于mx m x 1 0,且m m 1 . 原不等式的解集为 mm m x 1 . 综上所述,当0m时,原不等式的解集为0 xx; 当0m时,原不等式的解集为 mx m xx或 1 ; 当0m时,原不等式的解集为 mm m x 1 . 例例 15. . 已知关于x的不等式22 2 xkxkx. （1）当2k时,解不等式; （2）当kR 时,解不等式. 解解: :（1）当2k时,242 2 xxx 0252 2 xx 0212xx. 解之得:2x或 2 1 x. 原不等式的解集为 2 1 2xxx或; （2）原不等式可化为0212 2 xkkx. 当0k时,02x,解之得:2x. 原不等式的
28、解集为2xx; 当0k时,原不等式可化为012kxx 0 1 2 k xxk. 方程22 2 xkxkx的根为 k xx 1 , 2 21 . 当0k时,原不等式同解于0 1 2 k xx,且2 1 k . 原不等式的解集为 2 1 x k x; 当0k时,原不等式同解于0 1 2 k xx. 若 2 1 k,则2 1 k ,原不等式的解集为 k xxx 1 2或; 若 2 1 k,则2 1 k ,原不等式的解集为2xx; 若 2 1 0 k,则2 1 k ,原不等式的解集为 2 1 x k xx或. 综上所述,当0k时,原不等式的解集为2xx; 当0k时,原不等式的解集为 2 1 x k x
29、; 当 2 1 0 k时,原不等式的解集为 2 1 x k xx或; 当 2 1 k时,原不等式的解集为2xx; 当 2 1 k时,原不等式的解集为 k xxx 1 2或. 例例 16. . 已知关于x的不等式062 2 kxkx. （1）若不等式的解集为23xxx或,求实数k的取值; （2）若不等式的解集为 R,求实数k的取值范围. 解解: :（1）由题意可知:0k. 一元二次方程062 2 kxkx的两个实数根分别为2, 3 21 xx. 由根与系数的关系定理可得: 23 2 k ,解之得: 5 2 k. 实数k的值为 5 2 ; （2）当0k时,原不等式的解集为0 xx,不符合题意; 当
30、0k时,则有: 0244 0 2 k k ,解之得: 6 6 k. 综上所述,实数k的取值范围是 6 6 kk. 例例 17. . 已知12 2 axax0 恒成立,解关于x的不等式0 22 aaxx. 解解: :12 2 axax0 恒成立 当0a时,10 恒成立,符合题意; 当0a时,则有: 044 0 2 aa a ,解之得:a01. 综上,实数a的取值范围是1 , 0. 对于不等式0 22 aaxx 当 0a1 时,原不等式可化为01 axax 01axax,方程0 22 aaxx的根为axax1, 21 . 若a 2 1 1,则aa1,原不等式的解集为axax1; 若 2 1 a,则
31、aa1,原不等式的解集为; 若 2 1 0 a,则aa1,原不等式的解集为axax1. 综上所述,对于不等式0 22 aaxx: 当a 2 1 1 时,不等式的解集为axax1; 当 2 1 a时,不等式的解集为; 当 0 2 1 a时,不等式的解集为axax1. 例例 18. . 不等式 xa cxbx 0 的解集为321xxx或,则cb 【 】 （A）5 （B）2 （C）1 （D）3 解解: : 原不等式可化为 ax cxbx 0,同解于 0 0 ax cxbxax . 方程 0 ax cxbx 的解为cxbx 21 ,. 该不等式的解集为321xxx或 2a, 3 1 c b 或 1 3
32、 c b , 3 1 c b 或 1 3 c b . 2cb. 选择答案【 B 】. 例例 19. . 已知函数 bax x y 2 （ba,为常数）,且方程012 xy的两个根为 3 1 x,4 2 x. （1）求ba,的值; （2）设1k,解关于x的不等式 x kxk y 2 1 . 解解: :（1）由题意可得: 0124 4 16 0123 3 9 ba ba ,整理得: 1 4 2 1 3 1 ba ba ,解之得: 2 1 b a . a的值为1,b的值为 2; （2）由（1）可知: x x y 2 2 . x kxk y 2 1 , x kxk x x 2 1 2 2 . 0 2
33、1 2 1 2 x kxx x kxkx . 原不等式同解于021kxxx. 1k 当21 k时,原不等式的解集为21xkxx或; 当2k时,021 2 xx,原不等式的解集为21xxx且; 当2k时,原不等式的解集为kxxx或21. 综上所述,当21 k时,原不等式的解集为21xkxx或;当2k时,原不等 式的解集为21xxx且;当2k时,原不等式的解集为kxxx或21. 例例 20. . 已知集合0132axxxA, 0 1 2 ax ax xB. （1）当2a时,求BA; （2）若AB ,求实数a的取值范围. 解解: :（1）当2a时 72072xxxxxA,520 5 2 xx x x
34、 xB 52xxBA; （2）aR,恒有aa1 2 , 010 1 2 2 axaxx ax ax xB 1 2 axaxB. 当213a,即 3 1 a时,132axxA. AB , 131 2 2 aa a ,解之得: 2a3. 实数a的取值范围是3 , 2; 当213a,即 3 1 a时,02 2 xxA,显然不符合题意; 当213a,即 3 1 a时,213xaxA. AB , 21 13 2 a aa ,解之得: 1a 2 1 . 实数a的取值范围是 2 1 , 1. 综上所述,实数a的取值范围是3 , 2 2 1 , 1 . 例例 21. . 已知不等式44 2 mxmxx. （1
35、）若对任意实数x不等式恒成立,求实数m的取值范围; （2）若对于 0m4 不等式恒成立,求实数x的取值范围. 解解: :（1）44 2 mxmxx 044 2 mxmx. 对任意实数x不等式恒成立 0444 2 mm,解之得: 40 m. 实数m的取值范围是4 , 0; （2）44 2 mxmxx 0441 2 xxmx. 对4 , 0m,不等式恒成立 04441 04401 2 2 xxx xxx ,解之得:0 x且2x. 实数x的取值范围是2200 xxxx或或. 点评点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元, ,谁是参数谁是参数. .一般情况下一般情况下
36、, ,知道谁的范围知道谁的范围, ,就选就选 谁当主元谁当主元, ,求谁的范围求谁的范围, ,谁就谁就是参数是参数, ,构造以主元为变量的函数构造以主元为变量的函数, ,根据主元的取值范围求解根据主元的取值范围求解. . 例例 22. . 设 1 2 mxmxxf,求使 0 xf,且m1 恒成立的x的取值范围. 解解: : 0 xf,m1,01 2 mxmx,1 , 1m. 01 2 mxx对1 , 1m恒成立. 设 1 2 mxxmg,则有: 0111 0111 2 2 xxg xxg ,解之得: 2 51 2 51 x. 实数x的取值范围是 2 51 , 2 51 . 重要结论重要结论 一
37、次函数一次函数 bkxxf0k在区间在区间nm,上的恒成立问题上的恒成立问题: : （1 1）若）若 0 xf恒成立恒成立, ,则则 0 0 nf mf ; ; （2 2）若）若 0 xf恒成立恒成立, ,则则 0 0 nf mf . . 例例 23. . 设函数 1 2 mxmxxf0m,若对于3 , 1x, 5 mxf恒成立, 求m的取值范围. 解解: : 5 mxf在3 , 1x上恒成立 06 2 mmxmx在3 , 1x上恒成立. 令 6 2 mmxmxxg,只需 0 max xg即可. 函数 xg图象的对称轴为直线 2 1 2 m m x. 当0m时, xg在3 , 1上单调递增 0
38、673 max mgxg,解之得: 7 6 m. 7 6 0 m; 当0m时, xg在3 , 1上单调递减 061 max mgxg,解之得:0m. 综上所述,m的取值范围是 7 6 00mmm或. 另解另解: : 06 2 mmxmx在3 , 1x上恒成立 61 2 xxm在3 , 1x上恒成立. 0 4 3 2 1 1 2 2 xxx 1 6 2 xx m在3 , 1x上恒成立. 只需 7 6 133 6 1 6 2 min 2 xx m即可. 0m m的取值范围是 7 6 00mmm或. 例例 24. . 已知集合04 2 t tA,对于任意的At,使不等式12 2 xttxx 恒成立的
39、x的取值范围是_. 解解: : 2204 2 ttt tA. 当At时,不等式12 2 xttxx恒成立 0121 2 xxtx恒成立. 设 121 2 xxtxtf,则有: 012 0342 2 2 xf xxf ,解之得:1x或3x. x的取值范围是31xxx或. 例例 25. . 对一切实数x,不等式1 2 xax0 恒成立,则实数a的取值范围是 _. 解解: : 当0 x时,显然对aR 成立; 当0 x时,a x x x x x x111 2 ,只需a max 1 x x即可. x x 1 2 1 2 x x 2 1 max x x, a2. 实数a的取值范围是 , 2. 例例 26.
40、 . 已知0, 0yx,且14415 2 yxmyx0 恒成立,则实数m的 取值范围是_. 解解: : 0, 0yx,0 yx. 14415 2 yxmyx0 恒成立 15m yx yx yx yx 144144 2 恒成立,只需15m min 144 yx yx即 可. yx yx 144 24 144 2 yx yx（当且仅当12 yx时,等号成立） 24 144 min yx yx,15m24,解之得:m5. 实数m的取值范围是5 ,. 例例 27. . 已知 6 1 k,对任意正实数yx,不等式kyxk 2 1 3xy2恒成立,求实 数k的取值范围. 解解: : 6 1 k,0 2 1
41、 3k. kyxk 2 1 3xykkkyxk 2 1 32 2 1 32 2 . 当且仅当kyxk 2 1 3,即x k k y 2 1 3 时,等号成立. kyxk 2 1 3的最小值为xykk 2 1 32 2 不等式kyxk 2 1 3xy2恒成立 xykk 2 1 32 2 xy2 xykk 2 1 34 2 xy2,解之得:k 2 1 . 实数k的取值范围是 , 2 1 . 例例 28. . 若关于x的不等式 0 1 211 2 2 xx xkxk 的解集为 R,则实数k的取值 范围是_. 解解: : 0 4 3 2 1 1 2 2 xxx在 R 上恒成立 原不等式同解于不等式0211 2 xkxk,其解集为 R 当1k时,02 在 R 上恒成立,符合题意; 当1k时,则有: 0181 01 2 kk k ,解之得:91 k. 综上所述,实数k的取值范围是9 , 1.
