1、函数的应用 考向一 对勾函数模型 1、 某工厂拟生产并销售某电子产品 m 万件 （生产量与销售量相等） ， 为扩大影响进行销售， 促销费用 x（万元）满足 2 4 x m （其中0 xa，a为正常数） 。已知生产该产品还需 投入成本 1 6 1 2 m m 万元（不含促销费用） ，产品的销售价格定为 30 4 m 元/件。 （1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？ 答案（1） 316 29(0) 2 yxxa x （2）当4a时，利润最大值为 17 万元，当4a 时，最大利润 316 29 2 a a 万元 解析（1）
2、301 46 1 2 ymxm m m ，将 2 4 x m 代入 21 2306 4 x yxx x 14 326 42 x x 324 29 2 x x 316 29(0) 2 xxa x （2）令 16 ( )g xx x ，( )g x在(0,4)单减，(4,)单增 min ( )(4)8g xg 当4a时，利润最大值为 17 万元 当4a 时，最大利润 316 29 2 a a 万元 2、某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与 年促销费用m万元（ 0m ）满足3 1 k x m （k为常数） ，如果不搞促销活动，则该产 品的年销售量只能是 1 万
3、件.已知年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品 需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品 成本包括固定投入和再投入两部分资金）. （1）将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 答案（1） 16 28 1 ym m ； （2）厂家年促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大 解析（1）由题意可知，当0m时，1x （万件） ， 所以13-k，所以2k ，所以 2 3 1 x m ， 每件产品的销售价格为 8 16 1.5 x x （万元） ， 所以年利润 8 1
4、616 1.58 164828 1 x yxxmxmm xm 所以 16 28 1 ym m ，其中0m . （2）因为0m 时， 16 18 1 m m ，即 16 7 1 m m 所以 28721y ，当且仅当 16 1 1 m m ，即3m （万元）时， max 21y （万 元）. 所以厂家年促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大. 3、经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时) 之间有函数关系： 2 920 0 31600 v yv vv (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精 确到 0.01)
5、(2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时， 则汽车的平均速度应控制在什么范围 内？ 解 (1)y 920v v23v1 600 920 v1 600 v 3 920 2v 1 600 v 3 920 83 11.08. 当 v1 600 v ，即 v40 千米/小时，车流量最大，最大值为 11.08 千辆/小时-7 分 (2)据题意有： 920v v23v1 60010， 化简得 v289v1 6000，即(v25)(v64)0， 所以 25v64. -14 分 所以汽车的平均速度应控制在 25v64 这个范围内 -15 分 4、山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区
6、域性国家发展战略，也是中 国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略。泰安某高新技术企业决定抓住发展机遇， 加快企业发展。已知该企业的年固定成本为 500 万元，每生产设备 x(x0)台，需另投入成本 y1万元若年产量不足 80 台，则 y11 2x 240 x；若年产量不小于 80 台，则 y 1101x8 100 x 2 180.每台设备售价为 100 万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完 (1)写出年利润 y(万元)关于年产量 x(台)的关系式； (2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 解 (1)当 0x80 时，y100 x 1 2x 240 x 5001 2x 260
7、 x500； 当 x80 时，y100 x 101x8 100 x 2 180 5001 680 x8 100 x . 所以当 0x80 时，y1 2x 260 x500；当 x80 时，y1 680 x8 100 x . (2)当 0x80 时，y1 2(x60) 21 300，当 x60 时，y 取得最大值，最大值为 1 300. 当 x80 时，y1 680 x8 100 x 1 6802x 8 100 x 1 500， 当且仅当 x8 100 x ，即 x90 时，y 取得最大值，最大值为 1 500. 所以当年产量为 90 台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为
8、1 500 万元 考向二 二次函数模型 1、某商店进货单价为 45 元，若按 50 元一个销售，能卖出 50 个；若销售单价每涨 1 元，其 销售量就减少 2 个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_元 【答案】60 【解析】设涨价 x 元，销售的利润为 y 元， 则 y(50 x45)(502x)2x240 x250 2(x10)2450， 所以当 x10，即销售价为 60 元时，y 取得最大值 2、某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，假设每箱售价不得低于 50 元且不得高于 55 元市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平
9、均每天少销售 3 箱 (1)求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【解析】 (1)根据题意，得 y903(x50)， 化简，得 y3x240(50 x55，xN) (2)因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量 每箱销售利润 所以 w(x40)(3x240)3x2360 x9 600(50 x55，xN) (3)因为 w3x2360 x9 6003(x60)21 200， 所以当 x60 时，w 随
10、 x 的增大而增大 又 50 x55，xN，所以当 x55 时，w 有最大值，最大值为 1 125. 所以当每箱苹果的售价为 55 元时，可以获得最大利润，且最大利润为 1 125 元 考向三 分段函数模型 1、在一次为期 15 天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比 赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐 40 人，已知第 t 日参加比赛的运动员人数 M 与 t 的关 系是 M(t) 2 3060,16, 36188,715, tttZ ttttZ 为了保证赛会期间运动员都能按时参赛， 主办 方应至少准备大巴车的数量是( ) A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 【解析
11、】当16t 时，函数为一次函数，单调递增，当6t 时取得最大值，即 30 660 8 40 .当 715t 时， 函数为开口向下的二次函数， 其对称轴为 61 6 t ， 由于t为 整数，故当0t 时取得最大值，即 30061088 10 40 ，故选D. 2、表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距 80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城 所行驶的路程与时间之间的函数关系， 有人根据函数图象， 提出了关于这两个旅行者的如下 信息： 骑自行车者比骑摩托车者早出发 3 h，晚到 1 h； 骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； 骑摩托车者在出发 1.5 h 后追上了骑自行车者； 骑摩托
12、车者在出发 1.5 h 后与骑自行车者速度一样 其中，正确信息的序号是_ 【答案】 【解析】 看时间轴易知正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动， 而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此正确；两条曲 线的交点的横坐标对应着 4.5，故正确，错误 故答案为. 3、某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为 10000 元,每天需要 房租水电等费用 100 元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入 P 与店面 经营天数 x 的关系是 P(x)= 2 1 300,0300 2 45000,300 xxx x
13、则总利润最大时店面经营天数是_. 【答案】200 【解析】设总利润为 L(x), 则 L(x)= 2 1 20010000,0300 2 10035000,300 xxx xx 则 L(x)= 2 1 (200)10000,0300 2 10035000,300 xx xx 当 0 x400 时，y60000100 x20000. 综上，当 x300 天时，总利润最大 5、经过市场调查,某种商品在销售中有如下关系:第 x(1x30,xN+)天的销售价格(单位:元/ 件)为f(x)= 40,110, 60- ,1030, xx xx 第x天的销售量(单位:件)为g(x)=a-x(a为常数),且在
14、第20天该 商品的销售收入为 1 200 元(销售收入=销售价格销售量). (1)求 a 的值,并求第 15 天该商品的销售收入; (2)求在这 30 天中,该商品日销售收入 y 的最大值. 【答案】(1) a=50. 第 15 天该商品的销售收入为 1 575 元. (2) 当 x=5 时,该商品日销售收入最大,最大值为 2 025 元. 【解析】(1)当 x=20 时,由 f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1 200, 解得 a=50. 从而可得 f(15)g(15)=(60-15)(50-15)=1 575(元), 即第 15 天该商品的销售收入为 1 575 元. (2
15、)由题意可知 y= (40)(50- ),110, (60- )(50- ),1030, xxx xxx 即 y= 2 2 -102000,110, -1103000,1030, xxx xxx 当 1x10 时,y=-x2+10 x+2 000=-(x-5)2+2 025. 故当 x=5 时 y 取最大值,ymax=-52+105+2 000=2 025. 当 10x30 时,y102-11010+3 000=2 000. 故当 x=5 时,该商品日销售收入最大,最大值为 2 025 元. 6、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车 流速度v（单位：千米/
16、小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度 达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流 速度为 60 千米/小时研究表明：当20020 x时，车流速度v是车流密度x的一次函数 （）当2000 x时，求函数)(xv的表达式； （）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 /小时）)()(xvxxf可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时） 答案：见解析 解析：（）由题意，当020 x时，( )60v x ； 当20200 x时，设( )v xaxb 再由已知得 2000 2060 ab
17、 ab ，解得 1 3 200 3 a b . 故函数( )v x的表达式为 60,020 ( ) 1 (200),20200 3 x v x xx . （）依题意并由（）可得 60 ,020 ( ) 1 (200),20200 3 xx f x xxx . 当020 x时，( )f x为增函数，故当20 x时，( )f x在区间0,20上取得最大值 60 201200. 当20200 x时， 2 111000010000 ( )(200)(100) 3333 f xxxx ，当且仅当 100 x时，等号成立. 所以，当100 x 时，( )f x在区间(20, 200上取得最大值10000
18、3 综上，当100 x 时，( )f x在区间0, 200上取得最大值100003333 3 . 即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时 7、某景区提供自行车出租，该景区有辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是 每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超 出6元， 则每超过1元， 租不出的自行车就增加3辆 为了便于结算， 每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y （元） 表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部
19、分） （1）求函数 yf x的解析式； （2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 答案： （1） 2 50115,36, 368115,620, xxxZ f x xxxxZ ； （2）当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多 解析： （1）当6x时， 50115yx ，令501150 x，解得2.3x ， x是整数， 36x ，xZ ； 当6x时， 2 5036115368115yxxxx ， 令 2 3681150 xx，有 2 3681150 xx，结合x为整数得620 x，xZ. 2 50115,36, 368115,620, xxxZ f x xxxxZ ； （2）对于50115 36,yxxxZ，显然当6x时， max 185y ； 对于 2 2 34811 3681153620, 33 yxxxxxZ ， 当11x时， max 270y. 270 185Q，当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多
