1、14.1 14.1 平方根平方根第十四第十四章章 实实数数知知1 1讲讲知识点知识点平方根的定义和性质平方根的定义和性质11.平方根平方根 一般地，如果一个数一般地，如果一个数 x 的平方等于的平方等于 a，即，即 x2=a，那么那么这个数这个数 x 就叫做就叫做 a 的平方根，也叫做的平方根，也叫做 a 的二次方根的二次方根.知知1 1讲讲特别解读特别解读1.平方根的定义中，平方根的定义中，a 是非是非负数，即负数，即a 0.所以所以只有只有非负数才有非负数才有平方根平方根.2.平方根是它本身的平方根是它本身的数只有数只有0.2.平方根的性质平方根的性质(1)一一个正数有个正数有两个两个平方
2、根，它们平方根，它们互为相反数互为相反数；(2)0 只有一个平方根，是只有一个平方根，是 0 本身；本身；(3)负数负数没有平方根没有平方根.知知1 1讲讲知知1 1讲讲知知1 1讲讲说明说明知知1 1练练解题秘方解题秘方：先根据平方运算找出平方后等于这先根据平方运算找出平方后等于这个数的数，个数的数，然后然后根据平方根的定义根据平方根的定义确定平方根确定平方根.例1知知1 1练练解解：因为：因为(11)2121，所以所以121的的平方根是平方根是11.带分数要化成假分带分数要化成假分数再求平方根数再求平方根.(3)(4)3；(4)17知知1 1练练解解：(4)3=64，因为，因为(8)2=6
3、4，所以所以(4)3的的平方根是平方根是8.知知1 1练练知知1 1练练1-1.下列说法中正确下列说法中正确的有的有()(5)2 的平方根是的平方根是+5；m2 没有平方根没有平方根；非负数非负数 a 的平方根是非的平方根是非负数负数；负数没有平方根；负数没有平方根；0 和和 1 的平方根的平方根等于本身等于本身A.1个个 B.2 个个C.3 个个 D.4 个个A知知1 1练练解解：1的平方根是的平方根是1.知知1 1练练(3)29，(3)29，(3)2的平方根是的平方根是3.知知1 1练练(1)若若某个正数的两个平方根分别为某个正数的两个平方根分别为 m3 和和 3m1，求该求该正数的值；正
4、数的值；(2)已知已知 2m3 与与 4m5 是某非负数的平方根，求该是某非负数的平方根，求该非负数非负数.例2知知1 1练练解解：因为：因为 m3 与与 3m1是是一个正数的两个平方根，一个正数的两个平方根，所以所以(m3)+(3m1)=0，解得，解得 m=1.所以所以 m3=2，所以这个正数所以这个正数为为(2)2=4.解题秘方解题秘方：若一个正数的平方根是若一个正数的平方根是 a，b，则，则 a+b=0；(1)若若某个正数的两个平方根分别为某个正数的两个平方根分别为 m3 和和 3m1，求该求该正数的值正数的值；知知1 1练练解解：根据题意，：根据题意，分以下两种情况：分以下两种情况：当
5、两个平方根相等，当两个平方根相等，即即 2m3=4m5时时，解得，解得 m=1.此时这个非负数此时这个非负数为为(2m3)2=(2 1 3)2=1.解题秘方解题秘方：若若 a，b 是一个非负数的平方根，则是一个非负数的平方根，则 a=b 或或 a+b=0.(2)已知已知 2m3 与与 4m5 是某非负数的平方根，求该是某非负数的平方根，求该非负数非负数.因为题设条件未指明因为题设条件未指明2m-3 与与4m-5 是相等还是是相等还是互为相反数，所以注意应互为相反数，所以注意应分两种情况讨论分两种情况讨论.知知1 1练练知知1 1练练2-1.期末期末沧州任丘市沧州任丘市 一一个正数个正数 x 的
6、两个的两个平方根分别平方根分别是是 2a 3 和和 5 a.(1)求求 a 和和 x 的值的值；解解：一个正数一个正数x的两个平方根分别是的两个平方根分别是2a3和和5a，2a35a0，解得，解得a2，x(2a3)249.知知1 1练练(2)求求 x+12a 的平方根的平方根.解：解：将将x49，a2代入代入x12a，得得x12a492425.25的平方根为的平方根为5，x12a的平方根为的平方根为5.知知2 2讲讲知识点知识点开平方开平方2开平方开平方 我们把求一个数的我们把求一个数的平方根平方根的运算，的运算，叫做开平方叫做开平方.说明说明：(1)一一个非负数的平方根是数，是这个非负数个非
7、负数的平方根是数，是这个非负数开开平方平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，指的的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，指的是一是一种运算，是求平方根的过程种运算，是求平方根的过程.(2)平方和平方和开平方互为逆运开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.知知2 2讲讲特别提醒特别提醒1.开平方时，开平方时，被开方数必须被开方数必须是非负数是非负数.2.开平方是求一个非开平方是求一个非负数负数的平方根，其的平方根，其结果有结果有一正一负两一正一负两个数个数(0除外除外).知知2 2练练例3知知2 2练练解题秘方
8、解题秘方：根据平方根的性质进行开方，注意前根据平方根的性质进行开方，注意前面的符号面的符号.知知2 2练练知知2 2练练知知3 3讲讲知识点知识点算术平方根算术平方根3知知3 3讲讲2.算术平方根与平方根的区别与联系算术平方根与平方根的区别与联系名称名称关系关系 算术平方根算术平方根 平方根平方根区别区别定义定义一般地，如果一个数一般地，如果一个数 x 的平方等于的平方等于 a，即即 x2=a，那么这个数那么这个数 x 就叫做就叫做 a 的平方根，也叫做的平方根，也叫做 a 的的二次方根二次方根个数个数 一个正数的算术平一个正数的算术平方根只有一个方根只有一个一个正数的平方根一个正数的平方根有
9、有两两个，它们互为相反数个，它们互为相反数知知3 3讲讲续表续表名称名称关系关系 算术平方根算术平方根 平方根平方根区别区别表示方法表示方法取值范围取值范围正数的算术平方根一正数的算术平方根一定是正数定是正数 正数的平方根是一正一正数的平方根是一正一负负联系联系包含关系包含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的中正的那个那个(0 除外除外)存在条件存在条件平方根和算术平方根都只有非负数才有，平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的的平方根与算术平方根都是平方根与算术平方根都是 0知知3 3讲讲知知3 3练练例4 解题秘方解题秘方：先先根据平
10、方运算找出这个正数，根据平方运算找出这个正数，然后然后根根据算术据算术平方根平方根的定义求出算术平方根的定义求出算术平方根.知知3 3练练(3)0.36(4)52知知3 3练练知知3 3练练(5)(5)2(6)13对于开方开不尽的数，对于开方开不尽的数，算术平方根不能化简算术平方根不能化简.知知3 3练练4-1.下列说法正确下列说法正确的是的是()A.5 是是 25 的算术平方根的算术平方根B.4 是是 16 的算术的算术平方根平方根C.6 是是(6)2 的的算术平方根算术平方根D.0.01 是是 0.1 的算术平方根的算术平方根A知知3 3练练解解：152225，225的算术平方根是的算术平方根是15.72的算术平方根的算术平方根是是7.(6)23662，(6)2的算术平方根是的算术平方根是6.平方根平方根平平方方根根性质性质正数有两个互为正数有两个互为相反数的平方根相反数的平方根算术算术平方根平方根0的平方根是的平方根是0负数没有平方根负数没有平方根
