1、15.1 15.1 二二次根式次根式第十五章第十五章 二二次根式次根式知知1 1讲讲知识点知识点二次根式的定义二次根式的定义1知知1 1讲讲知知1 1讲讲知知1 1讲讲知知1 1练练例1解题秘方解题秘方：紧扣二次根式定义中的紧扣二次根式定义中的“两个条件两个条件”进行识别进行识别.知知1 1练练知知1 1练练B知知1 1练练A知知2 2讲讲知识点知识点二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件2知知2 2讲讲2.求使含有字母的式子有意义的字母的取值范围的方法求使含有字母的式子有意义的字母的取值范围的方法(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意
2、义的条件是各个是各个二次根式中的二次根式中的被开方数都必须是非负数被开方数都必须是非负数.(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义意义的条件是二次根式中的的条件是二次根式中的被开方数是非负数被开方数是非负数，分式的，分式的分母分母不等于不等于 0.知知2 2讲讲(3)如果一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或如果一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或负整数负整数指数幂，那么它有意义的条件是二次根式中的指数幂，那么它有意义的条件是二次根式中的被开方数是被开方数是非非负数负数且零指数幂或负整数指数幂的且零指数幂或负整数指数幂的底
3、数不等于底数不等于 0.知知2 2讲讲巧记口诀巧记口诀二次根式有意义，二次根式有意义，被开方数非负数；被开方数非负数；二次根式无意义，二次根式无意义，被开方数是负数；被开方数是负数；单个二次根式时，单个二次根式时，列出不等式求解；列出不等式求解；复合形式的式子，复合形式的式子，列不等式组求解列不等式组求解.知知2 2练练例2 解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“求使含有字母的式子有意义的求使含有字母的式子有意义的字母的字母的取值范围取值范围的方法的方法”求解求解.知知2 2练练知知2 2练练知知2 2练练B知知2 2练练D知知3 3讲讲知识点知识点二次根式的性质二次根式的性质3二次根式具有双重非负性二
4、次根式具有双重非负性.知知3 3讲讲知知3 3讲讲表达式表达式 不不同同点点取值范围取值范围 a 为全体实数为全体实数 a 0运算顺序运算顺序 先平方后开方先平方后开方 先开方后平先开方后平方方运算结果运算结果相同点相同点 知知3 3讲讲知知3 3练练例39B知知3 3练练当互为相反数的两个数同时当互为相反数的两个数同时作为二次根式的被开方数时，作为二次根式的被开方数时，这两个被开方数都为这两个被开方数都为0.知知3 3练练几个非负数的和等于几个非负数的和等于0，那么，那么每个非负数都等于每个非负数都等于 0.知知3 3练练5知知3 3练练12知知3 3练练例4 解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“二
5、次根式的性质的两公式二次根式的性质的两公式”进进行计算行计算.知知3 3练练知知3 3练练积的乘方积的乘方等于等于各因式各因式乘方乘方的积的积.知知3 3练练B知知3 3练练D知知3 3练练在实数范围内分解因式：在实数范围内分解因式：(1)x2 5；(2)x4 4x2+4.例5逆用此公式时，必须先确定该数逆用此公式时，必须先确定该数为非负数，故一般只对数进行变为非负数，故一般只对数进行变形形，对，对字母必须谨慎字母必须谨慎.知知3 3练练(1)x2 5(2)x4 4x2+4.知知3 3练练5-1.在实数范围内在实数范围内分解分解因式：因式：(1)x49；(2)x32x；(3)4x44x2+1.
6、知知4 4讲讲知识点知识点积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质4知知4 4讲讲知知4 4讲讲特别提醒特别提醒公式中的公式中的 a，b 既既可以可以是一个数，也可以是一个数，也可以是一是一个式子，但必须都为个式子，但必须都为非负数非负数，若不是非负，若不是非负数，数，应将应将其化成非负数再其化成非负数再运用公式化运用公式化简简.知知4 4练练例6 解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质”进行进行化简化简.知知4 4练练知知4 4练练知知4 4练练知知4 4练练知知5 5讲讲知识点知识点商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质5知知5 5讲讲知知5 5讲讲特别提醒
7、特别提醒利用商的算术利用商的算术平方根平方根的性质可以把的性质可以把被开方被开方数数中含有分母的二次中含有分母的二次根式根式化成被开方数不含化成被开方数不含分分母母的二次根式的二次根式.知知5 5练练例7解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质”进行进行化简化简.知知5 5练练知知5 5练练方法点拨：方法点拨：利用商的算术平方根的性质化简二次根式利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法的方法：若被开方数的分母是一个完全平方若被开方数的分母是一个完全平方数数(式式)，则可以直接则可以直接利用利用商的算术平方根的性质，先将分子、商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别
8、开平方，然后求商分母分别开平方，然后求商.若被开方数的分母不是完全平方若被开方数的分母不是完全平方数数(式式)，可根据分式的可根据分式的基本基本性质，先将被开方数的分子、分母同时乘一个不性质，先将被开方数的分子、分母同时乘一个不等于等于0的的数数(式式)，使，使分母变成一个完全平方分母变成一个完全平方数数(式式)，然后然后利用商的算术平方根利用商的算术平方根的性质的性质进行化简进行化简.知知5 5练练知知5 5练练知知6 6讲讲知识点知识点最简二次根式最简二次根式61.定义定义 一般一般地，如果一个二次根式地，如果一个二次根式满足满足下面下面两个条件两个条件，那么那么，我们，我们把这样的二次根
9、式叫做最简二次根式：把这样的二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数被开方数的因数是整数，因式是整式；的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数被开方数中不含能开得尽方的因数或因式中不含能开得尽方的因数或因式.知知4 4讲讲2.化简二次根式的一般方法化简二次根式的一般方法方法方法 举例举例将被开方数中能开得尽方的将被开方数中能开得尽方的因数因数(式式)进行进行开方开方化去根化去根号里的号里的分母分母若被开方数中含有带分数，若被开方数中含有带分数，则应先将带分数化成假分则应先将带分数化成假分数数若被开方数中含有小数，若被开方数中含有小数，则应先将小数化成分数则应先将小数化成分数被开方数是多项式的要
10、先进行因式被开方数是多项式的要先进行因式分解分解知知6 6讲讲特别提醒特别提醒判断一个二次根式判断一个二次根式是不是是不是最简二次根式，最简二次根式，要紧扣要紧扣两个条件：两个条件：(1)被开方数被开方数中不中不 含分母含分母；(2)被开方数中每个被开方数中每个因数因数(式式)的指数都的指数都小于根指数小于根指数2，即每个，即每个因因数数(式式)的指数都是的指数都是1.注意注意：分母中含有：分母中含有二次二次根式的式子不是最根式的式子不是最简二简二次根式次根式.知知6 6练练例8 分母不在根号内分母不在根号内.知知6 6练练解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“最简二次根式的定义最简二次根式的定义”进行判断进行判断.解解：(1)不是不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母；最简二次根式，因为被开方数中含有分母；(3)不是不是最简二次根式，因为被开方数是最简二次根式，因为被开方数是小数小数(即即含有含有分母分母)；(4)不是不是最简二次根式，因为被开方数中含有开得尽方的最简二次根式，因为被开方数中含有开得尽方的因数；因数；(2)(5)是是最简二次根式最简二次根式.知知6 6练练5(答案不唯一答案不唯一)知知6 6练练8二次根式二次根式二二次次根式根式a 0定定义义性性质质最简最简二次二次根式根式
