1、第9讲 平行四边形的性质与判定（学生版）目标层级图课前检测1、下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D是轴对称图形2、下列说法不正确的是A有两组对边分别平行的四边形是平行四边形B平行四边形的对角线互相平分C平行四边形的对角互补，邻角相等D平行四边形的对边平行且相等3、如图，在四边形中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且点恰好为边的中点，连接（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若于点，求的长课中讲解一.平行四边形的性质1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（平行四边形属于中心对称图形）2.性质（1）两组对角分别 ，邻角 （2）对角线 （3
2、）两组对边分别 对称性3.衍生性质（1）夹在两条平行线间的平行的 相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）（2）连接任意四边形各边的中点所得图形是 （推论）（3）平行四边形的面积等于 （4）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。（5）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（6）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份例1.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D是轴对称图形例2.如图，在中，点的坐标为，则点的坐标为AB，C，D例3.如图，在周长为的中，、相交于点，
3、交于，则的周长为ABCD例4.如图，在中，以点为圆心长为半径作弧交于点，分别以点、为圆心，同样长度为半径作弧，交于点，连结并延长交于点，若，则的长为 例5.下列说法：平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（）A1个 B2个 C3个 D4个例6.如图，在中，垂足为，垂足为，若，的周长为40，则的长为891215过关检测1.下列说法不正确的是A平行四边形的两组对边分别相等 B平行四边形的对角线互相平分C平行四边形的对角互补，
4、邻角相等 D平行四边形的对边平行且相等2.如图，已知平行四边形的顶点，分别在直线和上，点是坐标原点，则点的横坐标为A3B4C5D103.在中，是、的交点，过点与垂直的直线交边于点，若的周长为，则的周长为ABCD4.如图，已知的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：以点为圆心、适当长度为半径作弧，分别交、于点，；分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交边于点则点的坐标为A，B，C，D，5.如图，在中，过作于点，延长至点，使，连接若，则的面积为 6、在面积为15的平行四边形中，过点作垂直于直线于点，作垂直于直线于点，若，则的值为ABC或D或二.平行四边形的判定1.判定方法
5、：（1）两组对边 的四边形是平行四边形（定义判定法）；（2）一组对边 的四边形是平行四边形；（3）两组对边 的四边形是平行四边形；（4）两组对角 的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；（5）对角线 的四边形是平行四边形。例1.如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是A，B，C，D，例2.如图：在中，点，分别是，边的中点，过点作交的延长线于点，连接，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求证：平分；（3）在（2）的条件下，若，求的长过关检测1.已知四边形，对角线与交于点，从下列条件中：；，任取其中两个，以下组合能够判定四边形是平行四边形的是ABCD2.
6、如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且点恰好为边的中点，连接（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若于点，求的长3.如图，在四边形中，点和点是对角线上的两点，且（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求的长三.综合运用例1.如图，在中，与交于点，点在上，点是的中点，若点以秒的速度从点出发，沿向点运动；点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动 秒时，以、为顶点的四边形是平行四边形过关检测1.平行四边形中，点在边上，由点向点运动，速度为每秒，点在边上，由点向点运动，速度为每秒，连接，设运动时间为秒（1）当为何值时，四边形为平行四边形；（2
7、）设四边形的面积为，请用含有的代数式表示的值；（3）当运动至何处时，四边形的面积是面积的四分之三？例2.如图，在平行四边形中，过对角线的中点的直线分别交、于点、，交的延长线于点，交的延长线于点，连结、（1）证明：四边形为平行四边形；（2）求的长度；（3）求四边形的面积过关检测1.如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为边的中点，与交于点，与交于点，（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）若，求的周长学习任务1.能判定四边形是平行四边形的是A，B，C，D，2.有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形，则与的数量关系
8、为 3.如图，在中，以点的圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的长为 4.如图，在平行四边形中，是边的中点，延长，与延长线相交于点，连接、（1）求证：；（2）若，请判断并证明四边形的形状第9讲 平行四边形的性质与判定（解析版）目标层级图本节内容：本节涉及主要版块分别是平行四边形的性质、判定和综合运用。本节课的课程目标主要是让学生能够比较透彻的掌握平行四边形的性质和判定，教师需要带着学生仔细梳理平行四边形的性质，几种平行四边形的判定方法也要求学生通过本节课能够熟练掌握。1、 在平行四边形的性质中需要说明针对边、角、
9、对角线、对称性对平行四边的性质进行说明，性质证明结合三角形全等的知识进行说明；在衍生性质第五条的证明上比较繁琐，需要结合勾股定理进行证明；2、 平行四边形的综合运用主要讲了两种例题，一是平行四边形结合动点的存在性问题，二是平行四边形性质判定的综合运用课前检测1、下列性质中，平行四边形不一定具备的是（D）A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D是轴对称图形2、下列说法不正确的是A有两组对边分别平行的四边形是平行四边形B平行四边形的对角线互相平分C平行四边形的对角互补，邻角相等D平行四边形的对边平行且相等【解答】解：、平行四边形的判定定理：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项正确；、
10、平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故本选项正确；、平行四边形的对角相等，邻角互补，故本选项错误；、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，故本选项正确；故选：3、如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且点恰好为边的中点，连接（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若于点，求的长【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，点恰好为边的中点，四边形是平行四边形；（2）解：四边形是平行四边形，平分，课中讲解一 平行四边形的性质1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（平行四边形属于中心对称图形）2、性质（1）两组对角分别相等，邻角互补（2）对角线互相平分（3）两组对边分
11、别互相平行3、衍生性质（1）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）（2）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形（推论）（3）平行四边形的面积等于底和高的积（4）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。（5）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（6）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份衍生性质（5）证明如下：例1、下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D是轴对称图形例2、如图，在中，点的坐标为，则点的坐标为平行四边形边的性质结合
12、特殊三角形边角关系AB，C，D【解答】解：点的坐标为，解得：，四边形是平行四边形，点坐标为：，故选：例3、如图，在周长为的中，、相交于点，交于，则的周长为中垂线的性质ABCD【解答】解：四边形是平行四边形，是的线段垂直平分线，的周长故选：例4、如图，在中，以点为圆心长为半径作弧交于点，分别以点、为圆心，同样长度为半径作弧，交于点，连结并延长交于点，若，则的长为角平分线的尺规作图画法结合平行四边形边的性质【解答】解：如图，连接，设交于点由作图可知：，平分，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是菱形，在中，故答案是：例5、下列说法：平行四边形衍生性质判定平行四边形的任意一条对角线把平行四
13、边形分成两个全等三角形平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（）A1个 B2个 C3个 D4个例6、如图，在中，垂足为，垂足为，若，的周长为40，则的长为891215【解答】解：四边形是平行四边形，根据平行四边形的面积公式，得，故选：过关检测1、下列说法不正确的是A平行四边形的两组对边分别相等B平行四边形的对角线互相平分C平行四边形的对角互补，邻角相等D平行四边形的对边平行且相等【解答】解：、平行四边形的判定定理：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项正确；、平行四
14、边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故本选项正确；、平行四边形的对角相等，邻角互补，故本选项错误；、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，故本选项正确；故选：2、如图，已知平行四边形的顶点，分别在直线和上，点是坐标原点，则点的横坐标为坐标系下点的平移A3B4C5D10【解答】解：过点作直线，交直线于点，过点作轴，交轴于点，直线与交于点，与轴交于点，直线与交于点，如图所示：四边形是平行四边形，直线与直线均垂直于轴，四边形是平行四边形，在和中，点的横坐标为：，故选：3、在中，是、的交点，过点与垂直的直线交边于点，若的周长为，则的周长为中垂线ABCD【解答】解：四边形是平行四边形，又，的
15、周长为，的周长故选：4、如图，已知的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：以点为圆心、适当长度为半径作弧，分别交、于点，；分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交边于点则点的坐标为角平分线尺规作图A，B，C，D，【解答】解：的顶点，中，由题可得，平分，又，故选：5、如图，在中，过作于点，延长至点，使，连接若，则的面积为【解答】解：四边形是平行四边形，在和中，四边形是矩形，在中，的面积，故答案为：6、 在面积为15的平行四边形中，过点作垂直于直线于点，作垂直于直线于点，若，则的值为有多解分为高在内部和高在外部ABC或D或【解答】解：四边形是平行四边形，如图1中：过点作垂
16、足为，过点作垂足为，由平行四边形面积公式得：，求出，在和中，由勾股定理得：，把，代入求出，同理，即在的延长线上（如上图），即，如图2中，过点作垂足为，过点作垂足为，在中，由勾股定理得：，同理，由知：，故选：二 平行四边形的判定1、判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。例1、如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是A，B，C，D，【解答】
17、解：、，四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；、，四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；、，四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；、，无法得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意；故选：例2、如图：在中，点，分别是，边的中点，过点作交的延长线于点，连接，（1）求证：四边形是平行四边形；两组对边分别平行（2）若，求证：平分；直角三角形斜边中线（3）在（2）的条件下，若，求的长【解答】（1）证明：点，分别是，边的中点，是的中位线，又，四边形是平行四边形；（2）解：，是边的中点，平行四边形为菱形，平分；（3）解：，为等腰直角三角形，是边的中点，四边形是菱形，四边形为正方形，过关检测1、已知四边
18、形，对角线与交于点，从下列条件中：；，任取其中两个，以下组合能够判定四边形是平行四边形的是ABCD【解答】解：以作为条件，能够判定四边形是平行四边形理由：，在和中，四边形是平行四边形故选：2、如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且点恰好为边的中点，连接（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若于点，求的长【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，点恰好为边的中点，四边形是平行四边形；（2）解：四边形是平行四边形，平分，3、如图，在四边形中，点和点是对角线上的两点，且（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求的长【解答】（1）证明：，即，在和中，四边形是平行四边形；（2）解：，三 综合
19、运用例1、如图，在中，与交于点，点在上，点是的中点，若点以秒的速度从点出发，沿向点运动；点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动3或5秒时，以、为顶点的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等，线段表示上注意加绝对值【解答】解：四边形是平行四边形，点是的中点，要使点、为顶点的四边形是平行四边形，则即可，设当点运动秒时，点、为顶点的四边形是平行四边形，根据题意得：或，解得：或故答案为：3或5过关检测1、平行四边形中，点在边上，由点向点运动，速度为每秒，点在边上，由点向点运动，速度为每秒，连接，设运动时间为秒（1）当为何值时，四边形为平行四边形；（2）设
20、四边形的面积为，请用含有的代数式表示的值；（3）当运动至何处时，四边形的面积是面积的四分之三？【解答】解：（1）由已知可得：，四边形为平行四边形，秒时，四边形为平行四边形； （2）过作于，在中，即；（3）有（2）得，当与重合时，四边形的面积是面积的四分之三例2、如图，在平行四边形中，过对角线的中点的直线分别交、于点、，交的延长线于点，交的延长线于点，连结、（1）证明：四边形为平行四边形；对角线互相平分（2）求的长度；证明全等三角形全等进行边的转换（3）求四边形的面积转化成平行四边的面积的一半【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，是平行四边形的对角线的交点，在和中，四边形为平行四边形；（2）解
21、：，四边形是平行四边形，在和中，；（3）解：过点作于，如图所示：在中，易证：，过关检测1、如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为边的中点，与交于点，与交于点，（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）若，求的周长【解答】（1）证明：是等边三角形，为的中点，在和中，；（2）证明：是等边三角形，四边形为平行四边形；（3）解：为边的中点，四边形是平行四边形；，的周长学习任务1、能判定四边形是平行四边形的是A，B，C，D，【解答】解：，四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故选：2、有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地
22、放在一起，重合部分为四边形，则与的数量关系为【解答】解：过作于、作于，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，故答案为：3、如图，在中，以点的圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的长为3【解答】解：根据作图的方法得：平分，四边形是平行四边形，故答案为：34、如图，在平行四边形中，是边的中点，延长，与延长线相交于点，连接、（1）求证：；（2）若，请判断并证明四边形的形状【解答】解：（1）证明：四边形是平行四边形，点为的中点，在和中，；（2）四边形是矩形理由：由（1）知，则，故四边形是平行四边形，四边形是矩形 家长签字：_41
