1、2025年高考数学一轮复习课时作业-利用导数研究恒(能)成立问题【原卷版】(时间:45分钟分值:40分)1.(10分)设函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x(aR),若f(x)1恒成立,求a的取值范围.【加练备选】 已知函数f(x)=ax3+bx2+6x+c,当x=-1时,f(x)取极小值为-5,当x=2时,f(x)取极大值.(1)求函数f(x);(2)存在x01,3,使得f(x0)t2-2t成立,求实数t的取值范围.2.(10分)已知函数f(x)=xln x(x0).(1)求函数f(x)的极值;(2)若存在x(0,+),使得f(x)-x2+mx-32成立,求实数m的最小值.【加练备选
2、】 已知函数f(x)=ex-ax-1.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;(2)若f(x)x2在0,+)上有解,求实数a的取值范围.3.(10分)(2023宝鸡模拟)已知函数f(x)=ex+aln(-x)+1,f(x)是其导函数,其中aR.(1)若f(x)在(-,0)上单调递减,求a的取值范围;(2)若不等式f(x)f(x)对x(-,0)恒成立,求a的取值范围. 已知函数f(x)=ex-1-ax+ln x(aR).若不等式f(x)ln x-a+1对一切x1,+)恒成立,求实数a的取值范围.4.(10分)(2023唐山模拟)已知函数f(x)=2x3+5x2+4x,g(x)=x2+2x-
3、m-7(xR).(1)求f(x)的单调区间;(2)若x1-3,3,x2-3,1,使得g(x1)=f(x2),求m的取值范围.2025年高考数学一轮复习课时作业-利用导数研究恒(能)成立问题【解析版】(时间:45分钟分值:40分)1.(10分)设函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x(aR),若f(x)1恒成立,求a的取值范围.【解析】f(x)=(2x-a)(x-1)x,x0,由题意f(x)1,则f(x)min1,当a0时,令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0x0时,存在f(1)=-a-10时,f(x)1不恒成立,综上,a-2.故实数a的取值范围是(-,-2.【加练备选】 已知函数f(
4、x)=ax3+bx2+6x+c,当x=-1时,f(x)取极小值为-5,当x=2时,f(x)取极大值.(1)求函数f(x);【解析】(1)因为f(x)=3ax2+2bx+6,由f(-1)=f(2)=0,得3a-2b+6=0,12a+4b+6=0.解得a=-1,b=32.又f(-1)=-5,所以c=-32,经检验,a=-1,b=32,c=-32时,f(x)=-x3+32x2+6x-32满足题意,所以f(x)=-x3+32x2+6x-32.(2)存在x01,3,使得f(x0)t2-2t成立,求实数t的取值范围.【解析】(2)存在x01,3,使得f(x0)t2-2t成立,等价于f(x)mint2-2t
5、,因为f(x)=-3x2+3x+6=-3(x-2)(x+1),当x1,2)时,f(x)0;当x(2,3时,f(x)0).(1)求函数f(x)的极值;【解析】(1)由f(x)=xln x,得f(x)=1+ln x,令f(x)0,得x1e;令f(x)0,得0x0).g(x)=2x+1-3x2=x2+2x-3x2=(x+3)(x-1)x2.由g(x)0,得x1;由g(x)0,得0x1,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=4,则m4,故m的最小值为4.【加练备选】 已知函数f(x)=ex-ax-1.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;【解
6、析】(1)当a=1时,f(x)=ex-x-1,所以f(x)=ex-1,当x0时,f(x)0时,f(x)0,所以f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,所以当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=0,无极大值,即f(x)的单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+),极小值为0,无极大值.(2)若f(x)x2在0,+)上有解,求实数a的取值范围.【解析】(2)因为f(x)x2在0,+)上有解,所以ex-x2-ax-10在0,+)上有解,当x=0时,不等式成立,此时aR;当x0时,不等式等价于aexx-(x+1x)在(0,+)上有解,令g(x)=exx-(x+1x,则g(x
7、)=ex(x-1)x2-(x2-1x2)=(x-1)ex-(x+1)x2.由(1)知当a=1时,f(x)f(0)=0,即ex-(x+1)0,所以当0x1时,g(x)1时,g(x)0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以当x=1时,g(x)min=e-2,所以ae-2,综上可知,实数a的取值范围是e-2,+).3.(10分)(2023宝鸡模拟)已知函数f(x)=ex+aln(-x)+1,f(x)是其导函数,其中aR.(1)若f(x)在(-,0)上单调递减,求a的取值范围;【解析】(1)f(x)=ex+ax,因为f(x)在(-,0)上单调递减,所以f(x)=ex+ax0
8、在(-,0)上恒成立,即a-xex在(-,0)上恒成立.令g(x)=-xex(x0),则g(x)=-ex-xex=-(x+1)ex,当x0,当-1x0时,g(x)0,所以函数g(x)在(-,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,所以g(x)max=g(-1)=1e,所以a的取值范围为1e,+).(2)若不等式f(x)f(x)对x(-,0)恒成立,求a的取值范围.【解析】(2)由f(x)f(x)得aln(-x)+1ax,即aln(-x)-ax+10对x(-,0)恒成立,令h(x)=aln(-x)-ax+1(x0),h(x)=ax+ax2=a(x+1)x2(x0时,令h(x)=0,得x=-1
9、,x(-,-1)-1(-1,0)h(x)-0+h(x)极小值h(-1)=a+1,h(x)min=h(-1)=a+10,舍去;当a0时,令h(x)=0,得x=-1,x(-,-1)-1(-1,0)h(x)+0-h(x)极大值h(-1)=a+1,h(x)max=h(-1)=a+1,由a+10a1时,令(x)=0,得x=ln a+11.当x1,ln a+1)时,(x)0,所以(x)在1,ln a+1)上单调递减,在(ln a+1,+)上单调递增,所以(x)min=(ln a+1)1不符合题意.综上,实数a的取值范围为a|a1.4.(10分)(2023唐山模拟)已知函数f(x)=2x3+5x2+4x,g
10、(x)=x2+2x-m-7(xR).(1)求f(x)的单调区间;【解析】(1)f(x)=6x2+10x+4=(x+1)(6x+4).在(-,-1)和(-23,+)上,f(x)0,f(x)单调递增,在(-1,-23)上,f(x)0,f(x)单调递减.综上,f(x)的单调递增区间为(-,-1)和(-23,+),单调递减区间为(-1,-23).(2)若x1-3,3,x2-3,1,使得g(x1)=f(x2),求m的取值范围.【解析】(2)由(1)可知,f(x)在-3,-1)和(-23,1上单调递增,在(-1,-23)上单调递减.又f(-3)=-21,f(-1)=-1,f(-23)=-2827,f(1)=11,所以在-3,1上,-21f(x)11.又g(x)=x2+2x-m-7=(x+1)2-m-8,所以在-3,3上,g(x)min=g(-1)=-m-8,g(x)max=g(3)=-m+8,即-m-8g(x)-m+8.因为x1-3,3,x2-3,1,g(x1)=f(x2),所以-m-8-21,-m+811,解得-3m13,故m的取值范围是-3,13.
