2020-2021年中考数学重难题型突破：规律探究.docx

1、2020-2021 年中考数学重难题型突破：规律探究 “规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。这类试题要求学生有一定的数感 与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般 通式。不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。因此规 律探究类问题一直成为命题的热点。 1、规律探索型问题的特点：基础知识广、形式灵活善变、思维量大、解法多样化 2、基本题型：数式规律、图形规律、数形结合规律等。多以填空题和选择题出现，近几年，解答题的规律 探究题型开始增多。 3、规律探究类问题架构： 一阶等差规律意思

2、是第一次做差差为常数。主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字 变化，从数字变化中去发掘规律。这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项 模块一 题组一 规律探究第一次做差为常数 公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。 1 1、规律分析：、规律分析：问题本质： 前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少） 的个数。 2 2、一阶等差的实质：、一阶等差的实质： 通过观察图形可知：后一幅图形比前一幅图形多了一个 在每一幅图形中，找出个数，把图形按规律表示如下： 113 123 133 13n 由一阶等差的实

3、质可得规律为：由一阶等差的实质可得规律为：bdnan。d为求出的不变差，b的求解可带第一组值求解。 3 3、首差法通项公式（通法）、首差法通项公式（通法） （1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为 1 a以此第n个数记为 n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d，即d后项前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n项满足：dnaan) 1( 1 （4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),( n an，设通项公式为：bknan，代入前 2 组数据， 通过解一次函数方法，即可得到通项公式； 例 1 1 如图所示，摆第一个“小屋子”要 5 枚棋子，摆第二个要 11 枚棋子，摆第

4、三个要 17 枚棋子，则摆 第 30 个“小屋子”要 枚棋子 (1) (2) (3) 【规范答题】 法一：套通项公式。有图可得数据 61171 ， 6d ，带入公做差 6511 ， 式，得到： 166) 1(5nnan 。 1791-306 30 a 法二：用一阶等差实质进行分析。根据题意分析可得：第 1 个图案中棋子的个数 5 个 第 2 个图案中棋子的个数5611个 每个图形都比前一个图形多用 6 个第 30 个图案中棋子的个数为5296179个故答案为： 179 例 2 观察下列数： 1 4 ， 3 9 ， 5 16 ， 7 25 ， 9 36 ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第

5、n个数是( ) A 2 21n n B 2 21n n C 2 21 (1) n n D 2 21 (1) n n 【规范答题】 法一：观察分析。 2 12 1 1 4(1 1) ， 2 3221 9(21) ， 2 523 1 16(31) ， 2 7241 25(41) ， 2 9251 36(51) ， 由上可知，第n个数是 2 21 (1) n n 故选：D 法二：赋值思想。令1n，A1 1 1212 2 n n ，A 错；B3 1 1212 2 n n ，B 错； C 4 3 4 12 1 12 2 n n ，C 对； D 4 1 4 12 1 12 2 n n ，D 错。 n 1

6、2 3 n a 5 11 71 1 给定一列按规律排列的数：1， 3 4 ， 5 9 ， 7 16 ，则第(1)n n个数为( ) A 2 2 1n n B 2 2n n C 2 21n n D 2 21n n 【解答】由已知观察，分母是自然数 1，2，3，n的平方，分子是正奇数，则第n个数是 2 21n n ，故选： C 2 已知下列一组数：1， 3 4 ， 5 9 ， 7 16 ， 9 25 ，；用代数式表示第n个数，则第n个数是( ) A 21 32 n n B 2 21n n C 21 32 n n D 2 21n n 【解答】 2 2 1 1 1 1 ； 2 3221 42 ； 2

7、5231 93 ；第n个数是： 2 21n n 故选：B 3 按一定规律排列的一列数依次是 2 3 、1、 8 7 、 11 9 、 14 11 、 17 13 按此规律，这列数中第 100 个数是( ) A 299 199 B 299 201 C 301 201 D 303 203 【解答】由 2 3 、 5 5 、 8 7 、 11 9 、 14 11 、17 13 、可得第n个数为 31 21 n n 100n ，第 100 个数为： 299 201 故选：B 4 如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第 1 个图案中有 6 根小棒，第 2 个图案中有 11 根小棒，则第n个图

8、案中有 根小棒 【解答】第 1 个图案中有516 根小棒，第 2 个图案中有252111 根小棒， 第 3 个图案中有3 53216根小棒， 第n个图案中有5(1)51nnnn根小棒故答案为：51n 5 如图是用棋子摆成的“小屋” ，按照这样的方式摆下去，第 6 个这样的“小屋”需要 枚棋子 【解答】第 1 个“小屋” ，下边正方形棋子4 244，上边 1 枚，共415 ， 第 2 个“小屋” ，下边正方形棋子4348，上边 3 枚，共8311， 第 3 个“小屋” ，下边正方形棋子4 4412 ，上边 5 枚，共12517， 第n个“小屋” ，下边正方形棋子4 (1)44nn，上边21n枚，

9、共42161nnn ， 当6n 时，6166135n 故答案为：35 6 用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子 枚 （用含n的代数式表示） 【解答】第一个图需棋子314 ；第二个图需棋子3217 ；第三个图需棋子3 3110 ； 第n个图需棋子(31)n枚故答案为：(31)n 7 如图所示，是一个水平摆放的小正方体木块，图（1） 、 （2） 、 （3）是由这样的小正方体木块叠放而成， 按照这样的规律继续叠放下去， 至第n个叠放的图形中， 最下面一层小正方体木块总数应是 【解答】观察图形知：第 1 个图形中最下面一层的小正方体的个数为114(1 1)

10、 个； 第 2 个图形中最下面一层的小正方体的个数为514(2 1) 个； 第 3 个图形中最下面一层的小正方体的个数为914(3 1) 个； 第n个图形中最下面一层的小正方体的个数为14(1)(43)nn个；故答案为：43n 8 下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n个图形中的个数为 (n为正整数） 【解答】第一个图形有1 33个，第二个图形有236个，第三个图形有3 39个，第四个图形有 4312 个，第n个图形共有：33nn故答案为：3n 9 用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案， 按照这样的规律摆下去， 第 99 个图案需要的黑色五 角星 个 【解答】当n为奇数时：通过

11、观察发现每一个图形的每一行有 1 2 n 个，故共有 1 3() 2 n 个； 当n为偶数时，中间一行有1 2 n 个，故共有 3 1 2 n 个所以当99n 时，共有 991 3150 2 个 再差为常数涉及二次项，通过观察数据很难观察出通项公式是多少，需要利用一定的数据分析方法转 化。 1 1、再差法通项公式、再差法通项公式 （1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为 1 a以此第n个记为 n a （2）对数据求差，第一次做差的第一个结果记为c，二次差的结果为一个固定常数，记为d； （3）则该类型的规律为：任意的第n项满足： )2( 2 ) 1( 1 n d cnaan （4）若记不住公

12、式，可设为：cbnknan 2 ，代入开始的 3 组数据，即可得到通项公式。 例 3 将半径相同的小圆按如图所示的规律摆放： 第 1 个图形有 6 个小圆， 第 2 个图形有 10 个小圆， 第 3 个图形有 16 个小圆， 第 4 个图形有 24 个小圆， ， 依次规律， 第 6 个图形有 个小圆 【规范答题】 法一：通项公式法。有图可得数据 模块二 题组一 规律探究再差为常数 第二次做差得常数 2d ，第一次做差的第一个数 4c 带入公式计算，得到： )2( 2 2 4) 1(6nnan 4 2 nn 。 464662 6 a 法一：二次函数法。设：cbnknan 2 ，代入6 , 1、1

13、0, 2、16, 3 得： cbk cbk cbk 3916 2410 6 ，解方程组，得 4 1 1 c b k ，所以 n a 4 2 nn ， 464662 6 a 10 如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要 3 个黑色棋子，第二个图形 需要 8 个黑色棋子，按照这样的规律摆下去，第(n n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是 （用含n的代数式表示） 【解答】结合图形，发现：第 1 个图形中的棋子数是2331 33 （个)；第 2 个图形中的棋子数是 344248（个)； 第 3 个图形中的棋子数是4553 515（个)， 以此类推， 发现： 第(n n是正整数

14、）个图形需要黑色棋子的个数是 2 (2)2n nnn（个) 11 观察下列砌钢管的横截面图，则第n个图的钢管数是 （用含n的式子表示） 【解答】第一个图中钢管数为123；第二个图中钢管数为2349； 第三个图中钢管数为345618；第四个图中钢管数为4567830， 依此类推，第n个图中钢管数为 2 233 (1)(2)2(2) 2222 nnn nnnnnnnn ， 故答案为： 2 33 22 nn n 1 2 3 4 n a 6 10 16 24 12 如图是由火柴棒搭成的几何图案， 则第n个图案中有 根火柴棒。 （用含n的代数式表示） 【解答】依题意得：1n ，根数为：42 1 (1 1

15、) ；2n，根数为：122 2 (2 1) ； 3n，根数为：242 3 (3 1) ；nn时， 根数为：2 (1)n n故答案为：2 (1)n n 13 将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第 行左起第 个数 【解答】由图可知，第一行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3 个数，则第n行n个数， 故前n个数字的个数为： (1) 123 2 n n n ，当63n 时，前 63 行共有 6364 2016 2 个 数 字，202020164，2020在第 64 行左起第 4 个数，故答案为：64，4 14 按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第 14 个图案中黑色小正方形地砖

16、的块数 是 【解答】第 1 个图案只有 1 块黑色地砖，第 2 个图案有黑色与白色地砖共 2 39，其中黑色的有 5 块， 第 3 个图案有黑色与白色地砖共 2 525，其中黑色的有 13 块， 第n个图案有黑色与白色地砖共 2 (21)n，其中黑色的有 2 1(2 1)1 2 n， 当14n 时，黑色地砖的块数有 2 11 (2 141)1730365 22 故答案为：365 15 当n等于 1，2，3时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中 白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 （用n表示，n是正整数） 【解答】第 1 个图形：白色正方形 1 个，黑色正方

17、形4 14 个，共有145个； 第 2 个图形：白色正方形 2 24个，黑色正方形428个，共有4812个； 第 3 个图形：白色正方形 2 39个，黑色正方形4312个，共有91221个；， 第n个图形：白色正方形 2 n个，黑色正方形4n个，共有 2 4nn个故答案为： 2 4nn 通过作商得到一个固定的值，则可以套通项公式求出规律。这部分内容亦可以通过观察题目所给的数 据分析得到正确答案，运用观察法分析问题时需注意每一项符号之间的变化规律。 1 1、商比法规律探究、商比法规律探究 （1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为 1 a以此第n个记为 n a （2）对这组数据两两之间做比，比

18、为一个固定常数，记为d； （3）则该类型的规律为：任意的第n项满足： 1 1 n n daa 例 4 按一定规律排列的单项式：a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a， 6 a，第n个单项式是( ) A n a B n a C 1 ( 1)n n a D( 1)n n a 【规范答题】 法一：观察分析。a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a， 6 a， 1 ( 1)n n a 故选：C 法一：套公式。可得数据 n 1 2 3 4 5 模块三 题组一 规律探究作商为常数 做比得常数 ad ，带入公式计算，得到： nnn n aaaa 11 ) 1()( 。因为 1 ) 1( n 与 1 )

19、 1( n 等价，所以选C 法三：赋值思想。 例 5 如图， 在Rt 1 APB中，30A， 1 90APB，148 3PB ，C在 1 AP上，CDAB于D， 且20CD ， 过 1 P作 11 PQAB于 1 Q，过 1 Q作 121 Q PAP于 2 P，过 2 P作 22 PQAB于 2 Q，过 2 Q作 231 Q PAP于 3 P 则有 11 PQ ，若 nn P Q在线段CD的右侧，则n的最大值为 【规范答题】在Rt 11 APQ中， 1 48 3BP ，30A， 111 3 72 2 PQBP， 由30的 直 角 三 角 形 的 性 质 可 知 ， 2211 33 72 44

20、PQPQ， 2 3322 33 72( ) 44 PQPQ， 1 3 72( ) 4 n nn PQ 由题意 1 3 72( )20 4 n ，可得n的最大值为 5，故答案为 5来源:163文库 16 按一定规律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，第 n 个单项式是（ ） A （1）n 1x2n1 B （1）nx2n 1 C （1）n 1x2n+1 D （1）nx2n+1 【解答】 31 12 1 1 ( 1)xx ， 52 12 2 1 ( 1)xx ， 73 12 3 1 ( 1)xx ， 94 12 4 1 ( 1)xx ， 115 12 5 1 ( 1)xx ， 由上可知，第

21、n个单项式是： 121 ( 1)n n x ，故选：C 17 如图，在ABC中，1BC ，点 1 P， 1 M分别是AB，AC边的中点，点 2 P， 2 M分别是 1 AP， 1 AM的 中点， 点 3 P， 3 M分别是 2 AP， 2 AM的中点， 按这样的规律下去， nn P M的长为 (n为正整数） n a a 2 a 3 a 4 a 5 a 【解答】 在ABC中，1BC ，点 1 P， 1 M分别是AB，AC边的中点，点 2 P， 2 M分别是 1 AP， 1 AM的中 点，点 3 P， 3 M分别是 2 AP， 2 AM的中点，可得： 11 1 2 PM ， 22 111 224

22、P M ，故 1 2 nn n P M ， 18 如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n 之间的关系是 【解答】观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，n，右边三角形的数字规律为：2， 2 2， 2n， 下边三角形的数字规律为：12， 2 22，2nn，2nyn 周期性变化规律是中学阶段的中点内容，该部分又主要涉及两类：图形的周期性变化及数字周期重复 出现。 周期类型的关键是找准余数，用余数对照第一个周期内的变化。题目求的量设为m，周期记为T，周 期数为n,余数记为d。则该类型的规律为：dnTm 例 6 在平面直角坐标系xOy中，对于点( ,

23、 )P x y，我们把点(1,1)Pyx 叫做点P伴随点已知点 1 A的 伴随点为 2 A， 点 2 A的伴随点为 3 A， 点 3 A的伴随点为 4 A， 这样依次得到点 1 A， 2 A， 3 A， n A， 若点 1 A的坐标为(3,1)，则点 3 A的坐标为 ，点 2014 A的坐标为 ；若点 1 A的坐标 为( , )a b，对于任意的正整数n，点 n A均在x轴上方，则a，b应满足的条件为 模块四 题组一 规律探究周期性循环 【规范答题】 1 A的坐标为(3,1)， 2(0,4) A， 3( 3,1) A ， 4(0, 2) A， 5(3,1) A， 依此类推，每 4 个点为一个循

24、环组依次循环，20144503余 2，点 2014 A的坐标与 2 A的坐标 相同， 为(0,4)； 点 1 A的坐标为( , )a b， 2( 1,1)Aba ， 3( ,2)Aab ， 4( 1,1)A ba ， 5( , ) A a b， 依此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环，对于任意的正整数n，点 n A均在x轴上方， 10 10 a a ， 20 0 b b ，解得11a ，02b故答案为：( 3,1)，(0,4)；11a 且 02b 例7 如图， 在平面直角坐标系中， 将ABO绕点A顺时针旋转到 11 ABC的位置， 点B、O分别落在点 1 B、 1 C处，点 1 B在x轴上

25、，再将 11 ABC绕点 1 B顺时针旋转到 112 A B C的位置，点 2 C在x轴上，将 112 A B C绕点 2 C顺时针旋转到 222 A B C的位置，点 2 A在x轴上，依次进行下去若点(3,0)A， (0,4)B，则点 2014 B的横坐标为 【规范答题】3AO ，4BO ，5AB， 112 35412OAABBC， 2 B的横坐标为：12，且 22 4B C ， 4 B的横坐标为：2 1224， 201421007，点 2014 B的横坐标为：1007 1212084故答案为：12084 19 如图，在平面直角坐标系内，边长为 4 的等边ABC的顶点B与原点重合，将ABC绕

26、顶点C顺时针 旋转60的 1 ACA，将四边形 1 ABCA看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则 2017 A的 坐标为 【解答】边长为 4 的等边ABC的顶点B与原点重合，4OABC，60AOC， 如图，过点A作ADx轴于D， 1 2 2 BDDCBC， 3 sin42 3 2 ADOAAOD， (2A，2 3)将ABC绕顶点C顺时针旋转60的 1 ACA，四边形 1 AOCA是平行四边形， 1 4AAOC， 1/ / AAOC， 1(2 4A，2 3)，即 1(6 A，2 3)； 将四边形 1 ABCA看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移， 2(2 42A，2 3)，即

27、 2(10 A，2 3)； 3(2 43A，2 3)，即 3(14 A，2 3)； 2017 A的坐标为(24 2017 ，2 3)，即 2017(8070 A，2 3)；故答案为(8070，2 3) 20 如图，在直角坐标系中，已知点 0 P的坐标为(1,0)，将线段 0 OP按照逆时针方向旋转45，再将其长度 伸长为 0 OP的 2 倍，得到线段 1 OP；又将线段 1 OP按照逆时针方向旋转45，长度伸长为 1 OP的 2 倍， 得到线段 2 OP； 如此下去， 得到线段 3 OP， 4 OP，( n OP n为正整数） ， 则点 8 P的坐标为 【解答】由题意可得， 0 1OP ， 1

28、 2 12OP ， 2 2 2 22OP ， 23 3 2 22OP ， 34 4 2 22OP ， 78 8 2 22256OP ， 每一次都旋转45，360458 ，每 8 次变化为一个循环组， 8 P在4x的正半轴上， 8(256,0) P，故答案为(256,0) 21 如图，动点P从(0,3)出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形OABC的边时反弹，反弹后的路径与 长方形的边的夹角为45，第 1 次碰到长方形边上的点的坐标为(3,0)，则第 3 次碰到长方形边上的 点的坐标为 ，第 2015 次碰到长方形边上的点的坐标为 【解答】根据题意，如下图示： 根据图形可知，第 3 次碰到长方形边

29、上的点的坐标为(8,3)；通过上图观察可知，每碰撞 6 次回到 始 点201563355，第 2015 次碰到长方形边上的点的坐标为(1,4) 故答案为：(8,3)，(1,4) 22 如图，在直角坐标系中，已知点( 3,0)A ，(0,4)B，对OAB连续作旋转变换，依次得到三角形、 、 、，则三角形直角顶点的坐标为 的直角顶点的坐标为 【解答】求出D到x轴的距离以及得出EO的长，即可得出三角形直角顶点的坐标，再利用勾股定理计算 出AB，然后根据旋转的性质观察OAB连续作旋转变换，得到OAB每三次旋转后回到原来的 状态，并且每三次向前移动了34512个单位，于是判断三角形和三角形的状态一样，

30、然后可计算出它的直角顶点的横坐标，从而得到三角形的直角顶点的坐标 过点D作DEx轴于点E，点( 3,0)A ，(0,4)B，4OB，3OA ， 22 345AB， 5FM，4DF ，3DM ，DEFMDFDM， 12 5 DE， 22 1216 4() 55 EF 1636 4 55 EO，D点坐标为： 36 ( 5 ， 12) 5 ，即三角形直角顶点的坐标为： 36 ( 5 ， 12) 5 ， 对OAB连续作如图所示的旋转变换， OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了34512个单位， 而103 31 ，三角形和三角形的状态一样，则三角形与三角形的直角顶点相同， 三角形的直角

31、顶点的横坐标为3 1236，纵坐标为 0故答案为： 36 ( 5 ， 12) 5 ，(36,0) 23 如图，Rt ABC中，90ACB，1BC ，30A ，且BC边在直线a上， 将ABC绕点B 顺时针旋转到位置可得到点 1 P， 此时 1 2BP ； 将位置的三角形绕点 1 P顺时针旋转到位置， 可 得到点 2 P，此时 2 23BP ；将位置的三角形绕点 2 P顺时针旋转到位置， 可得到点 3 P，此 时 3 33BP ；，按此规律继续旋转，直至得到点 2015 P为止，则 2015 BP 【解答】由图可知， 每旋转 3 次为一个循环组依次循环，2015 36712 ， 2015 AP为

32、671 个循环组的长度 2 BP， 3 33BP ， 2015 671 (33)232015 672 3BP ，故答案为：2015672 3 模块五 推理型规律探究中，对恒等式的规律探究以及证明往往比较容易，这部分规范性很重要；而针对反比 例函数中的推理规律数形结合思想很重要，而且这部分内容综合性较强，需对函数知识点、坐标系的知识 点、三角形的知识点熟练掌握。 1 1、恒等式推理、恒等式推理 （1）这部分内容对规律发掘不是很难，可以利用前面的一阶等差和二阶等差综合分析。 （2）这部分内容往往需要证明发现的恒等式。在证明中主要要体现： “左边= =右边”的主线 2 2、反比例函数推理、反比例函数

33、推理 （1）这部分内容实则是考察坐标系中的知识点，对反比例函数，抓住一个原则：只要有点落在反比例函数只要有点落在反比例函数 上，就需要表示点的坐标，一般先设成未知数，在列方程求解。上，就需要表示点的坐标，一般先设成未知数，在列方程求解。 （2）常用的知识点： 三角板中的勾股比例，这部分内容，考试时要能迅速通过成倍放大或缩小得出三边的边长。 （也可以 通过三角函数求出其它边长，但是对选择填空而言，用三角函数就是在浪费时间） 来源:163文库 ZXXK 一次函数的快速求法：一次函数的快速求法： o o xx yy k 1 1 tan，b代表直线的纵截距， 看直线与y轴相交的点的纵坐标。 k的几何意

34、义与面积模型 的几何意义与面积模型 k的 几的 几 何意义何意义 过双曲线)0( k x k y上任意一点作x轴、y轴的垂 线，所得矩形的面积为定值k. SPMPNyxxy 过双曲线 x k y (k0) 上任意一点作一坐标轴的垂 题组一 规律探究推理型规律探究 线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 2 k . 例 9 观察下列各个等式的规律： 第一个等式： 22 211 1 2 ，第二个等式： 22 321 2 2 ，第三个等式 22 431 3 2 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： （1）直接写出第四个等式； （2）猜想第n个等式（用n的代数式表示） ，并证明你猜想的等式是正确的来

35、源:学_科_网 Z_X_X_K 【规范答题】 （1）由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是： 22 541 4 2 ； （2）猜想第n个等式是： 22 (1)1 2 nn n ， 证明： 左边= 22 (1)1 2 nn(1)(1) 1 2 nnnn 21 1 2 n 2 2 n n =右边， 第n个等式是： 22 (1)1 2 nn n 例 10 如图，点 11 (P x， 1) y，点 22 (P x， 2) y，点( nn P x，) n y在函数 1 (0)yx x 的图象上， 11 POA， 212 P A A， 323 P A A， 1nnn P AA 都是等腰直角三角形，斜边

36、1 OA、 12 A A、 23 A A， 1nn AA 都在x轴上(n是大于或等于 2 的正整数） ，则点 3 P的坐标是 ；点 n P的坐标是 （用含n的式子表示） 【规范答题】过点 1 P作 1 PEx轴于点E，过点 2 P作 2 P Fx轴于点F，过点 3 P作 3 PGx轴于点G， 11 POA是等腰直角三角形， 111 1 2 PEOEAEOA， 设点 1 P的坐标为( , )a a，(0)a ，将点 1( , ) P a a代入 1 y x ， 可得1a ，故点 1 P的坐标为(1,1)，则 1 2OA ， 设点 2 P的坐标为(2, )bb，将点 2( 2, )P bb代入 1

37、 y x ，可得21b ，来源:163文库 故点 2 P的坐标为( 21，21)，则 12 21AFA F， 2112 2 2OAOAA A， 设点 3 P的坐标为(2 2c ，)c，将点 3( 2 2P c ，)c代入 1 y x ，可得32c ， 故点 3 P的坐标为( 32，32)， 综上可得： 1 P的坐标为(1,1)， 2 P的坐标为( 21，21)， 3 P的坐标为( 32，32)， 总结规律可得： n P坐标为：(1nn，1)nn 24 观察下列等式： 112 1 2323 ； 113 23438 ； 114 345415 ； （1）猜想并写出第n个等式； （2）说明你写出的等式

38、成立的理由 【解答】 （1）第n个等式为 2 111 (1)(2)1(1)1 n n nnnn （2）理由：左边 22 1(2)21(1)1 (1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(2) n nnnnn n nnn nnn nnn nnn n ， 右边 22 111 21 12(2) nnn nnnnn n ，所以左边右边，即 2 111 (1)(2)1(1)1 n n nnnn 来源:学*科*网 25 观察下列式子： 011 121,23 122 2131 34,45 3344 （1）根据上述规律，请猜想，若n为正整数，则n （2）证明你猜想的结论 【解答】 （1）根据题意得： 1

39、1 (1) n nn nn ； （2）证明： 2 11(1)(1)11 1 (1) nnnn nn nnnnn ， 11 (1) n nn nn 26 如图，已知等边 11B OA，顶点 1 A在双曲线0 3 x x y上，点 1 B的坐标为)0 , 2(过 1 B作 121 /OAAB 交双曲线于点 2 A，过 2 A作 1122 /ABAB交x轴于点 2 B，得到第二个等边 221 BAB； 过 2 B作 2132 /ABAB交双曲线于点 3 A，过 3 A作 2233 /ABAB交x轴于点 3 B，得到第三个等边 332 BAB；以此类推，则点 6 B的坐标为 ，点 n B的坐标为 ，

40、【解答】过作轴交于点， 设，则，是等边三角形， 在中， ， 点在上，即， 解得或（舍去），经检验为原方程的解， 又， 作轴交于点，设，则，是等边三角形， ，在中， ， 点在上， ，即， 解得或（舍去），经检验为原方程的解， ， 坐标为， 点的坐标为 27 如图，已知 11 OPA、 122 AP A、 233 A P A、均为等腰直角三角形，直角顶点 1 P、 2 P、 3 P、在 函数 4 (0)yx x 图象上，点 1 A、 2 A、 3 A、在x轴的正半轴上，则点 2011 P的横坐标为 【解答】 分别过 1 P、 2 P、 3 P作x轴的垂线，垂足为 1 H、 2 H、 3 H， 则

41、11 OPH， 122 AP H， 233 A PH为等腰直角三角形，设 111 OHPHa，则 2 4a ， 解得2a （舍去负值） ，即 1 P的横坐标为 2，设 1222 AHP Hb，则(4)4b b， 解得2( 12)b （舍去负值） ，即 2 P的横坐标为42(12)b， 设 2333 A HPHc，则(22)4abc c，即(4 2)4c c，解得2(23)c （舍去负值） ， 即 3 P的横坐标为222( 23)abc， 2011 P的横坐标为2( 20102011) 故答案为：2( 20102011) 列项型规律特征很明显，只要属于列项型规律，往往与之伴随的会有求和。所以要抓

42、住列项的核心目 标是可以对复杂代数式进行化简的一种方法，考试时注意列项不要死记公式，关键要理解考点。 1 1、分式型列项、分式型列项 （1）记等式比例系数为k。则该类型的规律为：) 11 ( 1 大分母小分母大分母小分母 k （2）常见的列项有： 1 11 ) 1( 1 nnnn 、 nnnn 1 1 1 ) 1( 1 2 2、根式型列项、根式型列项 （1）根式列项的规律为：分母有理化过程. ba ba ba ba baba ba ba 22 )( )(1 （2）常见的列项有： nn nn nn nnnn nn nn 1 1 1 )1)(1( )1( 1 1 22 模块六 题组一 规律探究列项

43、求和型 例 12 阅读理解并回答问题 （1 1） 观察下列各式： 2 1 1 1 21 1 2 1 ， 3 1 2 1 32 1 6 1 ， 4 1 3 1 43 1 12 1 ， 5 1 4 1 54 1 20 1 请你猜想出上式的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示 ) 1( 1 xx （2 2）请利用上述规律计算： （要求写出计算过程） ) 1( 1 ) 1( 1 12 1 6 1 2 1 nnnn （3 3）请利用上述规律，解方程 1 1 ) 1( 1 ) 1( 1 ) 1)(2( 1 )2)(3( 1 )4)(3( 1 xxxxxxxxxxx 【规范答题】 （1） 111 (1)

44、1x xxx （2） 11111 2612(1)(1)nnn n 1111111111 12233411nnnn 1 1 1n 1 n n （3） 111111 (4)(3)(3)(2)(2)(1)(1)(1)1xxxxxxxxx xx 通过（1）中的规律化简得方程： 111 411xxx ， 两边同时乘以(4)(1)xx，得1 (4)4xxx 解得9x ，经检验9x 是原方程的解 例 13 阅读下面内容并且回答问题： 12 )12)(12( ) 12(1 12 1 ；23 )23)(23( )23(1 23 1 ； 25 )25)(25( )25(1 25 1 试求： （1）的值； （2）（

45、 为正整数）的值； （3）的值 【规范答题】 （1）由题目给的变化规律可得： （2）由题目给的变化规律可得： （3）利用（2）中的规律可得： 28 有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是 21 1 ； 第二个数是 32 1 ； 第三个数是 43 1 ； 对任何正整数n，第n个数与第1n个数的和等于 )2( 2 nn （1）经过探究，我们发现： 2 1 1 1 21 1 、 3 1 2 1 32 1 、 4 1 3 1 43 1 设这列数的第 5 个数为a，那么 6 1 5 1 a， 6 1 5 1 a， 6 1 5 1 a哪个正确？请你直接写出正确的结 论； （2）请你观察第 1 个数、

46、第 2 个数、第 3 个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并 且证明你的猜想满足“第n个数与第1n个数的和等于 )2( 2 nn ”； （3）设M表示 2 1 1 ， 2 2 1 ， 2 3 1 ， 2 2016 1 ，这 2016 个数的和，即 2222 2016 1 3 1 2 1 1 1 M， 求证： 2016 4031 2017 2016 M 【解答】 （1）由题意知第 5 个数 111 5656 a ； （2）第n个数为 1 (1)n n ，第(1)n个数为 1 (1)(2)nn ， 11111 () (1)(1)(2)12n nnnnnn 12 1(2) nn nn n 12(1) 1(2) n nn n